Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

[Dgoe]

Hallo Ralf,

warum? Klar gibt es einen Näherungswert, den man immer genauer eingrenzen kann, aber eben ja nie ganz genau einen Wert, prinzipbedingt. Ist vielleicht grenzwertig zur Wortklauberei hin oder eben einfach Definitionssache, aber eben an letzterem mache ich die Kritik fest. Das sind weder Zahlen noch Variablen, sonder etwas ganz eigenes, finde ich.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

warum? Klar gibt es einen Näherungswert, den man immer genauer eingrenzen kann, aber eben ja nie ganz genau einen Wert, prinzipbedingt. Ist vielleicht grenzwertig zur Wortklauberei hin oder eben einfach Definitionssache, aber eben an letzterem mache ich die Kritik fest. Das sind weder Zahlen noch Variablen, sonder etwas ganz eigenes, finde ich.

Hallo Dgoe,

sowohl irrationale algebraische Zahlen als auch transzendente Zahlen sind exakt. Das kann man beweisen.

Algebraische Zahlen kann man sogar exakt im Computer darstellen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

echt? Wie exakt denn? Also ganz exakt? Verstehe ich jetzt nicht. Ich dachte das hört immer nach irgendeiner Kommastelle auf.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

echt? Wie exakt denn? Also ganz exakt? Verstehe ich jetzt nicht. Ich dachte das hört immer nach irgendeiner Kommastelle auf.

Hallo Dgoe,

Diagnoalen oder Verhältnisse von Umfang zu Durchmesser scheinen mir exakter zu sein als irgendwelche komische Dezimalkomma-Darstellungen, für die man unendlich viele Ziffern benötigt, um die exakt zu kriegen.

Das war jetzt umgangssprachlich; ersetze "scheinen mir ... zu sein" durch "sind" und "exakter zu sein als" durch "exakt, im Gegensatz zu".


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ja gewiss, geometrisch. Aber neben dem geometrischen, ist kein Zahlensystem in der Lage sie exakt abzubilden.
Aber ich will damit nicht aufhalten, oder Ärger machen, das ging mir nur schon länger durch den Kopf.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

ja gewiss, geometrisch. Aber neben dem geometrischen

Hallo Dgoe,

das hat nichts damit zu tun, dass diese beiden Beispiele der Geometrie entnommen sind, sondern nur damit, dass sie widerspruchsfrei definiert sind.

Die Euler'sche Zahl beispielsweise ist der Analysis entnommen und sie ist ebenfalls wohldefiniert und somit exakt.

ist kein Zahlensystem in der Lage sie exakt abzubilden.

Zahlensysteme sind ungeeignet, um Zahlen exakt darzustellen, weil man eine allfällige Exaktheit im Allgemeinen erst nach unendlich vielen Kommastellen erreichen kann; im Allgemeinen benötigt man aber unendlich viel Zeit, um soviele Kommastellen spezifizieren zu können.

Aber ich will damit nicht aufhalten, oder Ärger machen, das ging mir nur schon länger durch den Kopf.

Ganz im Gegenteil: diese Fragestellung ist sehr wichtig !


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

nun, eine gewisse Abstrusität lässt ist ja allein hier schon unverkennbar:

Zahlensysteme sind ungeeignet, um Zahlen exakt darzustellen, (...)

(unterstrichen von mir)
Konkret: Zahlensysteme sind ungeeignet, um irrationale und transzendente Zahlen exakt darzustellen.
Ich verspüre immer noch eine intuitive Ablehnung diese als vollwertige Zahlen zu begreifen, höchstens als Quasi-Zahlen meinetwegen... als 'seltsame' "Zahlen".
So gesehen, ist mir die Begriffswahl 'irrational', durchaus in doppeltem Sinne verständlich. Auch 'transzendent' lässt schon durchscheinen, dass es sich hier um höchst ungewöhnliche Kandidaten handelt.

Ich will das dann mal zumindest für's Protokoll so festhalten, dass ich da an dieser Stelle etwas zu meckert hatte.


Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

nun, eine gewisse Abstrusität lässt ist ja allein hier schon unverkennbar:

Zahlensysteme sind ungeeignet, um Zahlen exakt darzustellen, (...)

(unterstrichen von mir)
Konkret: Zahlensysteme sind ungeeignet, um irrationale und transzendente Zahlen exakt darzustellen.
Ich verspüre immer noch eine intuitive Ablehnung diese als vollwertige Zahlen zu begreifen, höchstens als Quasi-Zahlen meinetwegen... als 'seltsame' "Zahlen".
So gesehen, ist mir die Begriffswahl 'irrational', durchaus in doppeltem Sinne verständlich. Auch 'transzendent' lässt schon durchscheinen, dass es sich hier um höchst ungewöhnliche Kandidaten handelt.

Ich will das dann mal zumindest für's Protokoll so festhalten, dass ich da an dieser Stelle etwas zu meckert hatte.

Hallo Dgoe,

Du versuchst, das Pferd vom Schwanze her aufzuzäumen: eine Zahl kann man definieren und dann stellt sich die Frage, wie man diese darstellen kann. Das Zahlensystem, z.B. zur Basis 10 das Dezimalsystem , ist eine Möglichkeit, das zu tun, aber ob das eine gute Methode ist, müsste man zuerst beweisen.

Und dieser Beweis ist ausstehend und wie wir oben gesehen haben auch einfach widerlegbar.

Letztlich ist die Dezimaldarstellung nichts anderes als das untere Folgenglied der Cauchy-Folge, welche gegen diese Zahl konvergiert und die nach n Kommastellen abbricht.

Rationale Zahlen beispielsweise kann man exakt darstellen, indem man Zähler und Nenner als CARDINAL-Zahlen bzw. wenn man das Vorzeichen seperat führt als INTEGER-Zahlen darstellt.

Eine Quadratwurzel kann man exakt darstellen, wenn man sie als Nullstelle des Polynoms x²-r darstellt.

Algebraische Zahlen kann man ebenfalls exakt darstellen, indem man sie als Nullstelle desjenigen minimalen Polynoms darstellt, dessen Nullstelle sie sind.

Das sind exakte Darstellungsarten, aber die Dezimalschreibweise ist eben keine exakte Darstellung, da eine Folge nur bis zu einer endlichen Anzahl Kommastellen "exakt" darstelbar ist.


Freunldiche Grüsse, Ralf


EDIT 12:39 Uhr: Korrektur 2 Schreibfehler: vom Schwanze "her" sowie "Nenner"

[Herr Senf]

Hallo Dgoe,
Das mit den Sich-Zahlen-Vorstellen ist manchmal kontraintuitiv, weil wir an's Dezimalsystem gewöhnt sind.
So ist zum Beispiel die größte (unbekannte) Zahl "grün". Für dich gesucht und wiedergefunden.
Hier geht's zum Beweis http://www.relativ-kritisch.net/blog/kr ... ment-23459
Grüße Senf

[Dgoe]

Hallo,

ich hab das doch schon von dem Zehnersystem auf auch andere Zahlensysteme verallgemeinert.

Algebraische Zahlen kann man ebenfalls exakt darstellen, indem man sie als Nullstelle desjenigen minimalen Polynoms darstellt, dessen Nullstelle sie sind.

Wie ist das zu verstehen?

Gruß,
Dgoe


P.S.: Danke für den Link, 27! Weiß ist aber noch größer. :Beweiß