Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 4. März 2014, 17:48

Dgoe hat geschrieben:hey Mike,

dass das Verhältnis von Kreisumfang und -durchmesser pi ist und nicht 3,14159. Denn das letztere ist nicht einmal ungenau. Es ist eine andere Zahl!

So? welche denn? Genau? Wirklich noch eine echte Zahl, mit genauem Wert? ja? Nein? Sie kann nicht exakt werden, darum ging es hier.

Hallo Dgoe,

Du fragst, welche es denn sei. Nun ganz einfach: es ist die Nullstelle des Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten p(x) = 100000 * x - 314159.

Man kann einfach zeigen, dass diese Zahl von der Kreiszahl pi(r), welche sich aus dem Quotienten Kreisumfang/Kreisdurchmesser eines Kreises vom Radius r ergibt und die zusätzlich sogar unabhängig vom Radius r des Kreises ist, verschieden ist. Beispielsweise, indem Du diese Zahl in das Polynom einsetzt und feststellst, dass dieses Polynom an der Stelle pi eben keine Nullstelle hat:

p(pi) = 100000 * pi - 314159 ist ungleich 0.

Das kann man alles ohne Dezimalkommadarstellung zeigen, Du benötigst hierfür insbesondere auch nicht, dass der Körper der reellen Zahlen anordbar ist, das heisst, eine "kleiner gleich"-Relation definiert ist.

Du reduzierst die Möglichkeiten der Mathematik wesentlich, wenn Du nur Dezimalkommadarstellungen zulässt.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 4. März 2014, 18:50

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Erstens:
Du fragst nach einer Definition, was eine Zahl ist?
Nichts einfacher als das: Eine Zahl ist ein Element eines Zahlkörpers.
Und was ist ein Zahlkörper? Ein Erweiterungskörper des Körpers der Rationalen Zahlen.

Hallo Mike,
Diese Definition ist leider ungültig, weil bis zuletzt der zu definierende Begriff in der Definition verwendet wird (Zirkel).

Aber Ralf hat ja schon nachgelegt, muss ich mir mal in Ruhe ansehen.

Gruß,
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 4. März 2014, 18:53

Dgoe hat geschrieben:Diese Definition ist leider ungültig, weil bis zuletzt der zu definierende Begriff in der Definition verwendet wird (Zirkel).

Hallo Dgoe,

ein Zirkelschluss läge höchstens dann vor, wenn Du auch den rationalen Zahlen ihre "Berechtigung", Zahlen zu sein, absprichst.

Wobei auch das nicht stimmt, weil man die rationalen Zahlen ohne jeden Zahlenbegriff definieren kann, da die Quotientenkörperbildung bis auf Isomorphie eindeutig ist und man die natürlichen Zahlen mit Hilfe der Peano-Axiome aus der leeren Menge konstruieren kann.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 4. März 2014, 23:35

ralfkannenberg hat geschrieben:ein Zirkelschluss läge höchstens dann vor, wenn Du auch den rationalen Zahlen ihre "Berechtigung", Zahlen zu sein, absprichst.

Hallo Ralf,

nein, das nicht. Aber in 'rationalen Zahlen' taucht das Wort 'Zahl(en)' nun mal eindeutig auf. Um 'Zahl(en)' zu definieren also nicht die besten Voraussetzungen.

Gruß,
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon M_Hammer_Kruse » Mittwoch 5. März 2014, 10:02

Manno, mach doch keine Probleme, wo keine sind.
Dann sag' statt "Rationale Zahlen" eben "Q".
Wie Ralf schon geschrieben hat, lasst sich dieser Körper ohne Bezug auf einen Zahlbegriff definieren.

Gruß
mike
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 5. März 2014, 12:00

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:ein Zirkelschluss läge höchstens dann vor, wenn Du auch den rationalen Zahlen ihre "Berechtigung", Zahlen zu sein, absprichst.

Hallo Ralf,

nein, das nicht. Aber in 'rationalen Zahlen' taucht das Wort 'Zahl(en)' nun mal eindeutig auf. Um 'Zahl(en)' zu definieren also nicht die besten Voraussetzungen.

Hallo Dgoe,

ich hatte Dich so verstanden, dass Du die rationalen Zahlen als "Zahlen" akzeptieren würdest.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 5. März 2014, 23:35

@Ralf:
ja stimmt.

@mike:
Du hast recht. Das war unnötig pingelig.

edit
P.S.:
bin bis Ostern ungefähr eher offline...


Gruß,
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Zuletzt geändert von Dgoe am Freitag 7. März 2014, 15:38, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 6. März 2014, 22:26

das gerade noch:

Wikipedia hat geschrieben:Der Begriff der Zahl ist nicht mathematisch definiert, sondern ist ein gemeinsprachlicher Oberbegriff für verschiedene mathematische Konzepte. Daher gibt es im mathematischen Sinn keine Menge aller Zahlen oder dergleichen. Die Mathematik spricht, wenn sie sich mit Zahlen befasst, stets über bestimmte wohldefinierte Zahlbereiche, d. h. nur über bestimmte Objekte unseres Denkens mit festgelegten Eigenschaften, die salopp alle als Zahlen bezeichnet werden.
Quelle: http://de.wikipedia.org/wiki/Zahl#Definition_von_Zahlen
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 7. März 2014, 11:31

Hallo Dgoe,

die Frage, was eine Zahl ist, ist heutzutage wohl eher philosophischer Natur.

In der Antike indes war das anders: da waren Zahlen letztlich Punkte auf einer Geraden bzw. der Abstand zwischen zwei Punkten; mathematisch gesprochen wäre das im ersten Fall ein eindimensionaler Vektor, also ein "Skalar", und im zweiten Fall das Ergebnis einer Bilinearform, beispielsweise eines (Standard-)Skalarproduktes oder einer Bilinearform der Minkowski-Raumzeit.

Mit Zirkel und Lineal (und Einheitsmassstab) kann man aus der Diagonale eines Quadrates also die Quadratwurzel aus 2 als Zahl konstruieren, denn sie ist ja ein Punkt auf dem Zahlenstrahl, also der x-Achse, während man die Zahl pi, die sich als Umfang eines Kreises mit Durchmesser 1 (also Radius 1/2) ergibt, zwar auch auf den Zahlenstrahl "abrollen" kann, dies gelingt aber nicht mit Zirkel und Lineal.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Freitag 7. März 2014, 15:48

Hallo Ralf,

jetzt hatte ich gerade ein Déjà-vu.
Gut, wenn die Zirkelspitze nur beliebig spitz wäre, könnte man den genauen Wert auf dem Zahlenstrahl nie ablesen. Gleiches gilt für Pi, das Ende des ausgerollten Kreises trifft auf dem beliebig genauen Zahlenstrahl nie einen konkreten Wert.

Gruß,
Dgoe

P.S.: aber stimmt, sie sind ja deswegen nicht weniger real. Nur nicht exakt messbar.
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