Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

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Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 22. Oktober 2013, 11:40

Hallo zusammen,

im astronews wird derzeitig (z.B. ab Beitrag #55) eine Thematik diskutiert, welche Kenntnisse der Integralrechnung benötigt. Diese ist bei den meisten Physikern vorhanden, bei den interessierten Laien indes in der Regel nicht.

Auch in diesem Forum wurde schon über diese Thematik gesprochen.

Dieser Thread soll nun mal eine allererste Idee vermitteln, wozu die Integralrechnung dient, und sie setzt keinerlei Vorkenntnisse voraus, insbesondere setze ich auch keine Kenntnisse der Infinitesimalrechnung (Stichwort: "stetige Funktionen") und der Differenzialrechnung (Stichwort: "erste Ableitung") voraus. Ich werde also einen rein geometrischen Ansatz mit Hilfe einfachster Figuren (Rechtecke, rechtwinklige Dreiecke) wählen.

Natürlich werden wir auf diese Weise nicht sehr weit kommen, aber darum geht es in diesem Thread auch nicht - es soll nur darum gehen, dass wir verstehen, um was es bei der Integralrechnung überhaupt geht. Und je nachdem können wir ja auch etwas ausholen.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 22. Oktober 2013, 12:28

Hallo zusammen,

wir stellen uns nun eine schöne Kurve vor ("schön" soll heissen, dass sie keine Löcher hat; Knicke darf sie schon haben). Diese Kurve sei der Einfachheit halber überall oberhalb der x-Achse - es geht ja nur darum, eine Idee zu bekommen.

Betrachten wir nun diese Kurve im Interval x=0 bis und mit x=2.

Jetzt unterteilen wir die x-Achse in feine Abschnitte, z.B. der Länge 1 mm, wobei diese feinen Abschnitte auch unterschiedlich lang sein dürfen.

Nun bilden wir folgende Rechtecke:
Ecke 1: auf der x-Achse der Punkt des Abschnittes
Ecke 2: der Funktionswert dieses Punktes
Ecke 3: auf der x-Achse der Punkt des nächsten Abschnittes
Ecke 4: derselbe Funktionswert wie Ecke 2, aber über der Ecke 3.

In der Mathematik macht man das noch etwas "cleverer", indem man 2 Rechtecke bildet, nämlich eines mit dem kleinsten Funktionswert zwischen den beiden Abschnitten und ein zweites mit dem grössten Funktionswert zwischen den beiden Abschnitten; das ist zwar wichtig, können wir uns aber für den Moment mal schenken; wir nehmen einfach den Funktionswert vom linken Punkt des Intervalles.

So, und nun bilden wir die Summe der Flächen aller dieser Rechtecke. Wie gross ist sie ungefähr ?

Nun, sie ist ungefähr so gross wie die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse ! Und je feiner wir die Abschnitte auf der x-Achse unterteilen, desto genauer wird die Summe dieser Rechtecke die wirkliche Fläche unter der Kurve sein.

Noch ein "technisches" Detail: es ist irgendwie klar, dass die Fläche unter der Kurve nicht von der Auswahl der Abschnitte auf der x-Achse abhängt, d.h. die Fläche zwischen x-Achse und Kurve ist keine Funktion der Wahl der Abschnitte.

Ok, und nun approximieren wir die Fläche zwischen der Kurve und der x-Achse wie folgt:

Fläche ist ungefähr Summe aller dieser Rechtecke.

Jedes Rechteck hat die Fläche "Abstand der beiden Punkte auf der x-Achse" mal "Funktionswert vom linken Punkt".

Also:
Fläche ungefähr = Summe aller Rechtecke
Fläche ungefähr = Summe aller: "Abschnittslängen" * "Funktionswerte von linken Punkt"

Die Abschnittslängen schreiben wir nun als dx - wir haben ja gesehen, dass die Fläche nicht von der Auswahl der Abschnitte abhängt und die Funktionswerte schreiben wir als f(x); streng genommen müsste man schreiben: f(x des linken Punktes), aber wenn die Abschnitte genügend fein gewählt sind so ist das ungefähr gleich gross. Natürlich muss man sowas streng beweisen, aber anschaulich ist das ja schon irgendwie klar, dass dem so ist.

Also:
Fläche ungefähr = Summe aller: "Abschnittslängen" * "Funktionswerte von linken Punkt"
Fläche ungefähr = Summe aller: dx * f(x)
Fläche ungefähr = Summe aller: f(x) * dx; es ist ja egal, ob ich Breite mal Höhe oder Höhe mal Breite schreibe.

Und diese Gleichung ist wichtig:
Fläche ungefähr = Summe aller: f(x) * dx


Und wenn man diese Abschnitte "unendlich" fein unterteilt, so erhält man die Fläche, und diese schreibt man als:
Fläche = Integral aller: f(x) * dx


Die Wortwahl "dx" soll heissen: "Differenz der x"


Freundliche Grüsse, Ralf


Bemerkung: das Original dieses Beitrages findet sich im o.g. Tread des astronews-Forums
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 22. Oktober 2013, 13:01

Hallo zusammen,

und nun wollen wir die Gelegenheit nutzen, mal einige ganz einfache Beispiele konkret auszurechnen.

Betrachten wir hierzu die folgenden drei einfachen Funktionen:
1. f(x) = 0
2. f(x) = 1
3. f(x) = x

Wir wollen für diese drei Funktionen die Fläche über der x-Achse von x=0 bis x berechnen. Mir ist bewusst, dass die Formulierung "bis x" etwas heikel ist, weil diese rechte Begrenzung der Fläche nicht fix, sondern variabel ist. Aber wir wollen das einfach so variabel definieren.

Tipps:

1. Das Integral der Nullfunktion
Das ist äusserst einfach und läuft lediglich auf die Frage hinaus, was 0*x ist.

2. Das Integral der konstanten Einsfunktion
Auch für f(x) = 1 ist das einfach, denn die Höhe der Funktion ist ja immer gleich 1, und die Fläche ergibt sich ja aus Höhe mal Länge. Man braucht also nur noch die Länge von 0 bis x bestimmen und dann in die Gleichung Höhe mal Länge einzusetzen.

3. Das Integral der (linearen) Identitätsfunktion
Geringfügig schwieriger ist das vielleicht für f(x) = x. Aber hier lässt sich ja die Fläche vom Quadrat, das von (0,0) bis (x,x) reicht, sehr einfach berechnen und die gesuchte Fläche ist ja nur der Teil unter der Kurve, das ist gerade die Hälfte.

Somit ist das Integral (über x) von 0 bis x der Funktion f(x) = x die Hälfte des Quadrates (0,0) bis (x,x) und dieses hat ja Kantenlänge x.


Freundliche Grüsse, Ralf


Bemerkung: das Original dieses Beitrages findet sich im o.g. Tread des astronews-Forums


EDIT 23.10.2013, 15:01 Uhr: die Fläche wird natürlich zunächst einmal über und nicht unter der x-Achse berechnet.
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am Mittwoch 23. Oktober 2013, 15:01, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Yukterez » Dienstag 22. Oktober 2013, 18:51

Sehr schön. Ich verlinke diesen Thread mit dem Beitrag über die Integration am Computer:
viewtopic.php?p=20023#p20023
Σιμον Τύραν, Vienna. ↯ yukterez.ist.org
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 22. Oktober 2013, 22:32

Hallo Ralf,

prima! :)

1. f(x)=0
x*0=0, also ist das Rechteck 0*0 und der Flächeninhalt auch =0

2. f(x)=1
hier ist das Rechteck immer x*1 also =x, gleich dem Flächeninhalt,
weil bei x=0 die Höhe 1 ist und die Breite immer x=x also x ist und 1*x ist x

3. f(x)=x
hier ist der Flächeninhalt immer x²/2, aber warum, weil das erste Rechteck bei x=0, entsprechend 0*0 also Flächeninhalt =0, weil 0 Höhe bei x=0 und bei der Breite wieder x=0 auch 0 Breite, das zweite Rechteck bei x=1 beispielsweise ergibt 1 Höhe und da wir bei Null anfangen und dort die Höhe 0 ist und bis x gehen (hier 1), siehe
die Fläche unter der x-Achse von x=0 bis x berechnen

bekommen wir für das Rechteck eine Höhe zwischen 0 und 1 also =1/2. Folglich wäre der Flächeninhalt zwischen x=0 und bei x=1, entsprechen 1/2 [Höhe] * 1 [Breite], also 1/2,
d.h. egal welches x man einsetzt, die Breite ist immer x und die Höhe immer zwischen 0 und x also =(1/2)*x, bzw. x/2,
der Flächeninhalt ist folglich genau:
x/2 [Höhe] * x [Breite] also = (x*x)/2 also = x²/2


Ich hatte hier erst ziemlich viel - mit der Zeit selbst identifizierten - Unsinn stehen, ich hoffe so passt es jetzt :? Ich hatte das mit der Höhe und der Breite genau andersherum zuletzt, kommt aber aufs gleiche raus, an sich lässt sich ja kein Rechteck konstruieren, daher dieser Umweg über die Argumentation die Höhe zu mitteln, also zu halbieren - was ich erst mit der Breite getan hatte, aber mit Höhe passt das besser nun, meine ich, anschaulicher...

Gruß,
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 23. Oktober 2013, 09:50

Yukterez hat geschrieben:Sehr schön. Ich verlinke diesen Thread mit dem Beitrag über die Integration am Computer:
viewtopic.php?p=20023#p20023

:?:

Hallo Yukterez,

bemühst Du auch den Computer, wenn Du 2*3 berechnen willst ?


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 23. Oktober 2013, 09:55

Dgoe hat geschrieben:also ist das Rechteck 0*0

Hallo Dgoe,

ist das ein Schreibfehler oder beabsichtigt: "also ist das Rechteck 0*0"

Dgoe hat geschrieben:hier ist das Rechteck immer x*1 also =x, gleich dem Flächeninhalt,
weil bei x=0 die Höhe 1 ist und die Breite immer x=x also x ist und 1*x ist x

Ich verstehe nicht, was Du damit sagen willst ...

Dgoe hat geschrieben:hier ist der Flächeninhalt immer x²/2, aber warum, weil das erste Rechteck

Was denn für ein "erstes Rechteck" ?

Dgoe hat geschrieben:bei x=0, entsprechend 0*0 also Flächeninhalt =0, weil 0 Höhe bei x=0 und bei der Breite wieder x=0 auch 0 Breite, das zweite Rechteck

Was denn für ein zweites Rechteck ?

Dgoe hat geschrieben:bei x=1 beispielsweise ergibt 1 Höhe und da wir bei Null anfangen und dort die Höhe 0 ist und bis x gehen (hier 1), siehe
die Fläche unter der x-Achse von x=0 bis x berechnen
bekommen wir für das Rechteck eine Höhe zwischen 0 und 1 also =1/2. Folglich wäre der Flächeninhalt zwischen x=0 und bei x=1, entsprechen 1/2 [Höhe] * 1 [Breite], also 1/2,
d.h. egal welches x man einsetzt, die Breite ist immer x und die Höhe immer zwischen 0 und x also =(1/2)*x, bzw. x/2,
der Flächeninhalt ist folglich genau:
x/2 [Höhe] * x [Breite] also = (x*x)/2 also = x²/2

Ich verstehe nur Bahnhof. Was genau ist Dein Ansatz ?


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 23. Oktober 2013, 13:01

ralfkannenberg hat geschrieben:ist das ein Schreibfehler oder beabsichtigt: "also ist das Rechteck 0*0"


Hallo Ralf,

beabsichtigt, Höhe mal Breite des Rechtecks!
...
Der Rest scheint immer noch Unsinn zu sein.

Gruß,
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 23. Oktober 2013, 13:13

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:ist das ein Schreibfehler oder beabsichtigt: "also ist das Rechteck 0*0"

beabsichtigt, Höhe mal Breite des Rechtecks!
...
Der Rest scheint immer noch Unsinn zu sein.

Hallo Dgoe,

ich fürchte, das ist mein Fehler.

Die Idee der Berechnung einer Fläche unter der Kurve einer stetigen Funktion über der x-Achse macht man im Allgemeinen, indem man die x-Achse in ganz schmale Abschnitte unterteilt und diese dann mit irgendeinem "passenden" Funktionswert multipliziert, um so ein Teil-Rechteck zu erhalten, und dann eben alle diese Teil-Rechtecke aufsummiert. Und das nennt man dann auch Integral.

Es gibt aber auch einfache Fälle, bei denen man das viel schöner machen kann und auf diese Aufspaltung der x-Achse verzichten kann, und die obigen 3 Beispiele sind gerade solche einfachen Fälle.

Bei diesen drei einfachen Fällen kann man die Fläche also direkt, damit meine ich rein geometrisch bestimmen, also ohne Aufspaltung, ohne Grenzwertbildung, ohne Konvergenzsätze und was es sonst eben noch alles so gibt.

Könntest Du also diese einfachen Aufgaben nochmals aus diesem Blickwinkel lösen ?

Tipp: die Lösungen sind sehr einfach, vermutlich so einfach, dass Du Dich nicht traust, sie aufzuschreiben.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 23. Oktober 2013, 14:57

ralfkannenberg hat geschrieben:Wir wollen für diese drei Funktionen die Fläche unter der x-Achse von x=0 bis x berechnen.


Hallo Ralf,

ok, nur das hier sehe ich jetzt erst, wieso eigentlich unter der x-Achse, ich dachte über der x-Achse? Also ich gehe jetzt von "über" aus.
Du willst doch den Flächeninhalt haben, der zwischen x=0 und x liegt und dem Graphen der Funktion, oder?
Also x ist Element der Menge der natürlichen Zahlen mit 0 (negative wollten wir ausblenden), habe ich so verstanden.

zu 1. Der Flächeninhalt einer Geraden ist null.
zu 1. und 2. Den Flächeninhalt eines Rechtecks berechnet man mit Höhe mal Breite.
zu 3. Den Flächeninhalt eines rechtwinkeligen gleichschenkeligen Dreiecks berechnet man mit Kathete zum Quadrat durch zwei.


1. f(x)=0
der Graph fällt mit der x-Achse zusammen, ist also eine Gerade auf der x-Achse. Wollte man ein Rechteck, so wäre egal welches x (Breite) man einsetzt die Höhe immer 0 auf der y-Achse.
Setzt man 0 ein, so ergibt das 0*0, bei x=1 ergibt das 1*0=0, bei x=2 entsprechend 2*0=0, usw.,
also immer x*0=0
Daher ist die Fläche immer gleich Null, zwischen x=0 und x und dem Graphen.

2. f(x)=1
der Graph verläuft parallel zur x-Achse, Abstand 1 (y-Achse). Egal welches x man einsetzt (Breite) die Höhe ergibt 1 auf der y-Achse.
Setzt man 0 ein, so ergibt das 0*1=0, bei x=1 ergibt das 1*1=1, bei x=2 entsprechend 2*1=2, usw.,
also immer x*1=x
Daher ist die Fläche immer gleich x, zwischen x=0 und x und dem Graphen.

3. f(x)=x
der Graph verläuft diagonal vom Ursprung aus, also für jedes x=y, was einen Strahl mit 45°Winkel ergibt. An jedem beliebigen positiven Punkt des Graphen lässt sich ein Lot auf die x-Achse fällen und wir erhalten ein rechtwinkeliges gleichschenkeliges Dreieck, dessen Hypotenuse der Graph ist.
Setzt man 0 ein, so ergibt das 0, bei x=1 ergibt das 1, bei x=2 entsprechend 2, usw.,
also immer x=y
von daher sind beide Katheten immer gleich lang bei dem Dreieck, dass sich bei bliebig positiven x bildet, indem man dort mit einer Geraden senkrecht zur x-Achse den Graphen und die x-Achse schneidet, bei letzterem liegt auch der rechte Winkel des Dreiecks.
Daher ist die Fläche immer gleich x²/2, zwischen x=0 und x und dem Graphen.

Gruß,
Dgoe
Alle sagten immer das geht nicht, dann kam jemand, der das nicht wusste, und hat es einfach gemacht!
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