Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 4. März 2014, 01:15

Doch, das ist was anderes und was Du illustrierst ist nur die Notation oder eine mögliche Notation, Mike.
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon M_Hammer_Kruse » Dienstag 4. März 2014, 01:20

Was ist da "was anderes"?

Gruß
mike
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 4. März 2014, 01:30

Hallo Mike,

mit
M_Hammer_Kruse hat geschrieben:√2 oder π.

wird keineswegs
M_Hammer_Kruse hat geschrieben:ein bestimmter Punkt auf der Zahlengeraden bezeichnet wird.

ein bestimmter Wert bezeichnet (auch wenn Konventionen darüber herrschen). Dieser ist nicht exakt.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Etwas anderes ist 3 oder Null-Komma-Periode-drei auch nicht.

Doch, das ist wohl etwas anderes, weil sich derlei in anderen Zahlensystemen exakt darstellen lässt. Anders als oben, da geht es in keinem Zahlensystem.

Gruß
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon M_Hammer_Kruse » Dienstag 4. März 2014, 02:01

Das ist doch vollkommen egal. Eine Zahl ist nicht deswegen mehr oder minder eine solche, weil sie "in einem Zahlensystem" eine bestimmte Schreibweise zulässt. Was du meinst, ist auch nicht ein "Zahlensystem", sondern eine g-adische Schreibweise für Zahlen. Das ist die allgemeine Bezeichnung für die 10er-, 2er-, Haxadezimal- usw. Schreibweise.

Weil es sinnvoll, praktisch und notwendig war, hat man im Lauf der Kulturgeschichte solche Schreibweisen entwickelt. Es sind aber etliche andere Zahlenschreibweisen möglich. Zum Beispiel die Römischen Zahlzeichen oder die Keilschrift-Schreibweise der Babylonier. Die haben sich aber allesamt als nicht so leistungsfähig erwiesen wie die Stellenschreibweisen.

Aber auch unser Zehnersystem ist nicht der Weisheit letzter Schluss. Es ist zunächst nur zur Darstellung der natürlichen Zahlen gedacht gewesen. Die Ergänzung um das Komma und die Nachkommastellen für Bruchzahlen, bis hin zur Periodenschreibweise kam erst relativ spät dazu. Eben, damit man weitere Zahlen damit darstellen kann, die sonst nicht darstellbar wären.

Überhaupt hätte man im Altertum auch den Brüchen die Eigenschaft abgesprochen, eine Zahl zu sein. Dazu waren sie viel zu unhandlich und dem gemeinen Volk war der Umgang damit auch nicht vertraut. Sogar die Bruchrechnung, die wir heute in der Schule lernen, ist eine recht neue Sache. Das gleiche gilt für die Null. Die war im Hochmittelalter noch nicht als Zahl anerkannt.

Mittlerweile hat die Mathematik bezüglich des Zahlbegriffs aber bedeutende Fortschritte gemacht. Überall da, wo man feststellte, dass gewisse Rechenoperationen nicht ausführbar waren, weil dafür die Zahlen fehlten, hat man den Zahlbereich um die notwendigen Zahlen ergänzt. Von den Natürlichen Zahlen über die Null zu den Ganzen Zahlen, zu den Rationalen und den Irrationalen Zahlen. Und hier wieder der Reihe nach zu den algebraisch irrationalen und den transzendent irrationalen Zahlen. Schließlich noch die Erweiterung um die Imaginären zu den Komplexen Zahlen. Von Quaternionen, Galois-Feldern, Restklassenringen und anderen besonderen Zahlkonstruktionen ganz zu schweigen. Da sind die Übergänge zwischen Zahlen und Elementen algebraischer Strukturen heute eher fließend.

Niemand kann bestreiten, dass das alles Zahlen sind, mit jeweils ganz spezifischen Eigenschaften. Und wenn du der √2 die Zahleigenschaft absprechen will, dann liegt das nur daran, dass du irrtümlich meinst, eine Zahl müsse auf ganz bestimmte Weise dargestellt werden können.
Wo steht denn das geschrieben? Mit dem gleichen Anspruch haben ungebildete Menschen im Mittelalter die Null und die negativen Zahlen abgelehnt.
Weil sie damit nicht umzugehen gelernt hatten. So what?

Also: Mit der Schreibweise hat das nichts zu tun, ob eine Zahl eine Zahl ist. Dafür sind wir aber heute viel weiter als früher, was die Möglichkeit zur Schreibung vom Zahlen betrifft. Wir können je nach Bedarf statt 0,2 auch 1/5 schreiben oder 20 %. Ist alles das Gleiche. Und wir wissen heute, dass das Verhältnis von Kreisumfang und -durchmesser pi ist und nicht 3,14159. Denn das letztere ist nicht einmal ungenau. Es ist eine andere Zahl! Wenn wir aber das Symbol π dafür schreiben, dann ist das so genau wie nur was. Denn das bezeichnet jene Zahl exakt und ohne jeden Rundungsfehler.

Gruß
mike
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 4. März 2014, 03:20

hey Mike,

dass das Verhältnis von Kreisumfang und -durchmesser pi ist und nicht 3,14159. Denn das letztere ist nicht einmal ungenau. Es ist eine andere Zahl!

So? welche denn? Genau? Wirklich noch eine echte Zahl, mit genauem Wert? ja? Nein? Sie kann nicht exakt werden, darum ging es hier.

Wenn wir aber das Symbol π dafür schreiben, dann ist das so genau wie nur was.

Absolut, volle Zustimmung.

Denn das bezeichnet jene Zahl exakt und ohne jeden Rundungsfehler.

Die Notation kann die Exaktheit ohne Rundungsfehler vollbringen, ohne Frage.

Kannst Du mir mal bitte definieren was eine Zahl ist?
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 4. März 2014, 04:34

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Das ist doch vollkommen egal.

was ist vollkommen egal? Du bist mir schon mal nicht vollkommen egal.
M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Eine Zahl ist nicht deswegen mehr oder minder eine solche, weil sie "in einem Zahlensystem" eine bestimmte Schreibweise zulässt. Was du meinst, ist auch nicht ein "Zahlensystem", sondern eine g-adische Schreibweise für Zahlen.

g-adisch ok, aja.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Das ist die allgemeine Bezeichnung für die 10er-, 2er-, Haxadezimal- usw. Schreibweise.

Hm, gut, dies stellt also keine qualitativen Unterschiede dar.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Weil es sinnvoll, praktisch und notwendig war, hat man im Lauf der Kulturgeschichte solche Schreibweisen entwickelt. Es sind aber etliche andere Zahlenschreibweisen möglich. Zum Beispiel die Römischen Zahlzeichen oder die Keilschrift-Schreibweise der Babylonier. Die haben sich aber allesamt als nicht so leistungsfähig erwiesen wie die Stellenschreibweisen.

Aber auch unser Zehnersystem ist nicht der Weisheit letzter Schluss. Es ist zunächst nur zur Darstellung der natürlichen Zahlen gedacht gewesen. Die Ergänzung um das Komma und die Nachkommastellen für Bruchzahlen, bis hin zur Periodenschreibweise kam erst relativ spät dazu. Eben, damit man weitere Zahlen damit darstellen kann, die sonst nicht darstellbar wären.

ja, soweit so gut. Bei der Periode noch ein Muckser, aber gut is. Alles prima.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Überhaupt hätte man im Altertum auch den Brüchen die Eigenschaft abgesprochen, eine Zahl zu sein. Dazu waren sie viel zu unhandlich und dem gemeinen Volk war der Umgang damit auch nicht vertraut. Sogar die Bruchrechnung, die wir heute in der Schule lernen, ist eine recht neue Sache. Das gleiche gilt für die Null. Die war im Hochmittelalter noch nicht als Zahl anerkannt.

Ja gut möglich, dass ich mich weigere, nur deswegen. Oder geweigert hatte. Bruchrechnung und erst recht die Null waren große Meilensteine, die nicht jeder schlucken wollte. Mir geht es aber hier vielmehr um ein semantisches Problem, um Definitionen, um Begriffe, Wortwahl, Dinge, die sich qualitativ unterscheiden.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Mittlerweile hat die Mathematik bezüglich des Zahlbegriffs aber bedeutende Fortschritte gemacht. Überall da, wo man feststellte, dass gewisse Rechenoperationen nicht ausführbar waren, weil dafür die Zahlen fehlten, hat man den Zahlbereich um die notwendigen Zahlen ergänzt. (Von den Natürlichen Zahlen über die Null zu den Ganzen Zahlen, zu den Rationalen...

Genau hier hake ich ein, bis dahin alles paletti.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:und den Irrationalen Zahlen.

hier nicht mehr. Ich will mal meinen Ton verschärfen: Das sind keine Zahlen! Das sind ab jetzt Dinge, die sich nicht mehr Zahlen schimpfen dürfen, anders eben, weil der Begriff der Zahl, durch seine Definition schon vergeben ist. Die Definition war/ist ein exakter Wert, die Exaktheit gegeben.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben: Und hier wieder der Reihe nach zu den algebraisch irrationalen und den transzendent irrationalen Zahlen. Schließlich noch die Erweiterung um die Imaginären zu den Komplexen Zahlen. Von Quaternionen, Galois-Feldern, Restklassenringen und anderen besonderen Zahlkonstruktionen ganz zu schweigen.

jep, und dies alles sind keine Zahlen, sondern Mutanten, Zombies, Unzahlen. Hab nicht jeden der Liste überprüft. Aber wie Pi und e keine diesseits. Eben keine konkreten Zahlen, die exakt wären, alle ohne Exaktheit.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Niemand kann bestreiten, dass das alles Zahlen sind,

doch, ich.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:mit jeweils ganz spezifischen Eigenschaften.

Ahaaa, Haahaaa. So spezifisch, dass sie schon die Grundlage verloren haben, noch als Zahl per Definitiom zu gelten.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Und wenn du der √2 die Zahleigenschaft absprechen will, dann liegt das nur daran, dass du irrtümlich meinst, eine Zahl müsse auf ganz bestimmte Weise dargestellt werden können.
Wo steht denn das geschrieben? Mit dem gleichen Anspruch haben ungebildete Menschen im Mittelalter die Null und die negativen Zahlen abgelehnt.
Weil sie damit nicht umzugehen gelernt hatten. So what?
So what? Nur Du meinst irrtümlich, dass die Qualitäten dieser Dinger alle gleich wären, und wenn ich jetzt so vergleiche, vielleicht... ich sag lieber nix. Null und Negativ haben ihre eigen Definition genossen. Du spielst mir zu.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Also: Mit der Schreibweise hat das nichts zu tun, ob eine Zahl eine Zahl ist.
natürlich nicht.

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Dafür sind wir aber heute viel weiter als früher, was die Möglichkeit zur Schreibung vom Zahlen betrifft. Wir können je nach Bedarf statt 0,2 auch 1/5 schreiben oder 20 %. Ist alles das Gleiche.

Unterschätz die Alten nicht!

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Und wir wissen heute, dass das Verhältnis von Kreisumfang und -durchmesser pi ist und nicht 3,14159. Denn das letztere ist nicht einmal ungenau. Es ist eine andere Zahl! Wenn wir aber das Symbol π dafür schreiben, dann ist das so genau wie nur was. Denn das bezeichnet jene Zahl exakt und ohne jeden Rundungsfehler.

Darauf habe ich oben als erstes geantwortet. Aber Du meinst sicherlich nicht
M_Hammer_Kruse hat geschrieben:3,14159. Denn das letztere ist nicht einmal ungenau.

sondern nicht genau.
Ja, eine andere Zahl. Eine Zahl, die es nicht unbedingt verdient noch länger Zahl genennt zu werden.

Gruß,
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon M_Hammer_Kruse » Dienstag 4. März 2014, 07:35

Erstens:
Du fragst nach einer Definition, was eine Zahl ist?
Nichts einfacher als das: Eine Zahl ist ein Element eines Zahlkörpers.
Und was ist ein Zahlkörper? Ein Erweiterungskörper des Körpers der Rationalen Zahlen.
(Edit: P. S.: Das schließt die Ganzen Zahlen und die Natürlichen Zahlen mit ein, obwohl es sich bei diesen Mengen nur um einen Ring bzw. eine Gruppe handelt. Denn diese Mengen sind Teilmengen von Q. Lediglich die Verknüpfungen sind dann eingeschränkt.)

Und zweitens:
Dass der Begriff Zahl seinen Bedeutungsumfang im Rahmen der Kulturgeschichte geändert hat, ist nichts Ungewöhnliches. Das geschieht in allen Bereichen mit zunehmendem Wissensstand.

Was sind Pilze? Ursprünglich nur die Schwammerln, die man im Wald sammelte. Später auch Schimmel- und Hefepilze, die gar keinen Hut bilden. Heute neben Tieren und Pflanzen eine dritte Kategorie von Lebewesen, die sich durch Stoffwechsel und Zellbau von diesen unterscheidet. Dafür gelten die "niederen Pilze" heute nicht mehr als Pilze.

Was sind Planeten? Im Altertum alles, was sich vor dem Hintergrund des Himmelszeltes bewegt. Auch Sonne und Mond. Nicht aber die Erde. Seit der Renaissance alles, was um die Sonne kreist. Seit im frühen 20. Jahrhundert zu viele davon bekannt geworden waren, die Planetoiden aber nicht mehr. Ab 1931 auch Pluto. Ab 2005 der wieder nicht mehr. Wer weiß, was da noch kommt?

Was ist Musik? Dass sich das ständig ändert, weiß jeder, dessen Eltern fragen: "Was hörst du denn da? Das ist doch keine Musik!"

Was ist ein Element? Im Altertum Aristoteles zufolge Feuer, Wasser, Erde und Luft. Und - oft vergessen - die essentia quinta, aus welcher die Himmelskörper gemacht sind. Spätestens seit Meier und Mendelejew ein Mitglied des Periodensystems. Und der Weg zwischen diesen Polen war lang. Den mit seinen Irrwegen im Detail zu beschreiben, überlasse ich lieber den Chemikern. Die mögen dazu berufener sein; ich bin Physiker.

Also Beispiele zuhauf aus Biologie, Astronomie, Kultur, Chemie.

Und da darf sich doch auch die Auffassung ändern, was eine Zahl ist. Und es gibt keinen Grund sie bei einem bestimmten Stand der historischen Entwicklung festzunageln. Dein Unbehagen damit, irrationalen Zahlen ein Existenzrecht zu geben, ist ja ehrenwert. Aber hoffnungslos überholt. Georg Christoph Lichtenberg: "Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht. Alles andere ist Menschenwerk."
Da hat er (vielleicht) recht. Doch das hindert uns Menschen nicht, zu Gottes Schöpfung etwas hinzuzutun und das auch als Zahlen zu bezeichnen.

Gruß
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 4. März 2014, 12:24

M_Hammer_Kruse hat geschrieben:Erstens:
Du fragst nach einer Definition, was eine Zahl ist?
Nichts einfacher als das: Eine Zahl ist ein Element eines Zahlkörpers.
Und was ist ein Zahlkörper? Ein Erweiterungskörper des Körpers der Rationalen Zahlen.

Hallo Mike,

Einspruch: es genügt, dass der "Erweiterungskörper" eine nichtkommutative Jordan-Algebra ist.

Als anderen Ansatz gibt es übrigens auch noch die Nicht-Standard-Zahlen, obgleich die nicht einmal eine Gruppe bilden.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 4. März 2014, 12:33

Dgoe hat geschrieben:Ja, eine andere Zahl. Eine Zahl, die es nicht unbedingt verdient noch länger Zahl genennt zu werden.

Hallo Dgoe,

was ist denn Deiner Meinung nach eine Zahl ?

Wenn Du schreibst, dass es Elemente gibt, die es nicht mehr verdienen, eine Zahl genannt zu werden, so postulierst Du eine Zusatzeigenschaft. Wozu benötigst Du aber eine Zusatzeigenschaft, die überdies noch willkürlich ist ? Welchen Mehrwert bringt Dir diese Zusatzeigenschaft, welche die Lösungsmenge einschränkt ?

Was ist für Dich daran attraktiv, die Gleichung x2 - 2 ihrer Lösungen zu berauben ? Lösungen, die nota bene mit Zirkel und Lineal (und Einheitsmassstab) konstruierbar sind !!

Der korrekte Weg ist doch der, festzustellen, dass man mit der Dezimalbruch-Darstellung eben nur eine ganz kleine Teilmenge aller Zahlen darstellen kann. Diese Teilmenge ist übrigens so klein, dass sie eine Nullmenge bildet.

Oder anders gesagt:

Das Integral der Funktion f(x) = 1 für x rational und = 0 für x irrational ist 0.

Wenn man schon Zahlen die "Verdientheit" absprechen möchte, so müsste man es denjenigen absprechen, die nichts zum Integral beitragen können. Denjenigen, die nur eine letztlich wertlose Nullmenge bilden.


Ich persönlich würde übrigens einen naiveren Ansatz wählen: Zahlen sind "Dinger", mit denen man die 4 Grundrechenarten durchführen kann.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 4. März 2014, 12:40

Dgoe hat geschrieben:Ich will mal meinen Ton verschärfen: Das sind keine Zahlen! Das sind ab jetzt Dinge, die sich nicht mehr Zahlen schimpfen dürfen, anders eben, weil der Begriff der Zahl, durch seine Definition schon vergeben ist. Die Definition war/ist ein exakter Wert, die Exaktheit gegeben.

Hallo Dgoe,

nur weil Dir die Differenzialrechnung und die zugrundeliegende Epsilontik nicht vertraut sind kannst Du doch nicht schliessen, dass diesen Zahlen die Exaktheit fehlen würde. Selbstverständlich sind die exakt.

Mengentheoretisch begründet man das über das Kontinuum, zum Rechnen benötigt man die Stetigkeit und zum konkreten Rechnen dann noch die Begriffe der Folge, der Konvergenz sowie zwei weitere Gesetze, nämlich die Dreieckungleichung und die Schwarz'sche Ungleichung.

Diese Dinge kann man erlernen und dann kann man damit rechnen. Und zwar exakt !


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