in diesem Forum wurde eine Liste von 17 Beweisen zu diesem Thema genannt. Der erste dieser Beweise stammt vom Mathematiker Dedekind und verwendet im Gegensatz zum üblichen rein algebraischen Beweis, wie er hier vorgestellt wurde, mit analytischen Methoden geführt.
Auch wenn der Beweis Dedekinds kurz und bündig aussieht, so dürfte er für einen Laien nicht so ohne weiteres nachvollziehbar sein; ich selber habe rund 1 Stunde gebraucht, ehe ich ihn im vollen Umfang nachvollziehen konnte.
Hier also der Beweis:
Let D be a positive integer but not the square of an integer, then there exists a positive integer λ such that
λ² < D < (λ + 1)².
... If there exists a rational number whose square is D, then there exist two positive integers t, u, that satisfy the equation:
t² - Du² = 0,
and we may assume that u is the least positive integer possessing the property that its square, by multiplication by D, may be converted into the square of an integer t. Since evidently
λu < t < (λ + 1)u,
the number v = t - λu is a positive integer certainly less than u. If further we put
s = Du - λt,
s is likewise a positive integer, and we have
s² - Dv² = (λ² - D)(t² - Du²) = 0,
which is contrary to the assumption respecting u. Hence the square of every rational number is either less than D or greater than D ...
Man beachte, dass dieser Beweis für alle Quadratzahlen positiver ganzer Zahlen gültig ist. Wenn man den rein algebraischen Beweis entsprechend ergänzt, so wird er vom Umfang her vergleichbar wie derjenige Dedekinds. Die Ergänzung des rein algebraischen Beweises wird bei der Verallgemeinerung des Lemmas getätigt, welches besagt, ob aus x² durch k teilbar folgt, dass auch x durch k teilbar sein muss. In den Situationen, in denen das der Fall ist, kann man auf die Irrationalität der Quadratwurzel schliessen und man beweist das im Allgemeinen durch geeignete Betrachtungen der Restklassen modulo k.
Freundliche Grüsse, Ralf