Symmetrische Zeitdilatation mit zwei relativistischen Booten

[Spacerat]

Hallo Ralf
Nein, wir reden nicht von verschiedenen Aufgaben. Das Forum hier unterschlägt nur leider "^2%29,+x%29" bei der Verlinkung. Yukterez hat das, was ich händisch aufgelöst habe über WolframAlpha auflösen lassen. Um das zu sehen, ist aber der letzte Teil, der vom Forum nicht verlinkt wird, mit relevant.

[ralfkannenberg]

Wenn ich es hinbekäme, t'=(t-vx/c²)/sqrt(1-v²/c²) nach v aufzulösen

Hallo Spacerat,

als erstes ersetze ich t' mit T, um Schreibfehler zu vermeiden.

T=(t-vx/c²)/sqrt(1-v²/c²)

1. Schritt: Quadrieren, um die Wurzel wegzukriegen
Achtung: hier kommt möglicherweise eine zusätzliche Lösung hinzu !
T²=(t-vx/c²)²/(1-v²/c²)

2. Schritt: bringe den Nenner hoch
T² * (1-v²/c²) = (t-vx/c²)²

3. Schritt: Multipliziere das Quadrat (auf der rechten Seite) aus
Bemerkung: ich mache das jetzt ohne binomische Formel
T² * (1-v²/c²) = (t-vx/c²) * (t-vx/c²)
T² * (1-v²/c²) = t² + t*(-vx/c²) + (-vx/c²)*t + (-vx/c²) * (-vx/c²)

4.Schritt: man beachte, dass die beiden mittleren Terme der rechten Seite gleich sind
T² * (1-v²/c²) = t² + t*(-vx/c²) + t*(-vx/c²) + (-vx/c²) * (-vx/c²)
T² * (1-v²/c²) = t² - 2t*(vx/c²) + (-vx/c²)²
T² * (1-v²/c²) = t² - 2t*(vx/c²) + (+v²x²/(c²*c²))

sorry, ich kann keinen Exponenten 4 finden, deswegen schreibe ich c²*c²


5.Schritt: multipliziere nun die linke Seite aus
T² - T²(v²/c²) = t² - 2t*(vx/c²) + (+v²x²/(c²*c²))

6.Schritt: bringe die Potenzen von v "aus der Klammer"
T² - v²(T²/c²) = t² - v(2tx/c²) + v²(x²/(c²*c²))

7.Schritt: innehalten und Term anschauen
Wir haben Summanden mit v², Summanden mit v und Summanden ohne v.

8.Schritt: rechte Seite = 0, d.h. subtrahiere alles, was rechts steht
T² - v²(T²/c²) - t² + v(2tx/c²) - v²(x²/(c²*c²)) = 0

9.Schritt: sortiere nach Potenzen von v
T² - v²(T²/c²) - t² + v(2tx/c²) + v²(x²/(c²*c²)) = 0
-v²(x²/(c²*c²)) - v²(T²/c²) + v(2tx/c²) + T² - t² = 0

10.Schritt: klammere die Potenzen von v aus
Genauer: bestimme die Koeffizienten der Potenzen von v
-v²(x²/(c²*c²) - T²/c²) + v(2tx/c²) + (T² - t²) = 0
multipliziere mit (-1)
v²(x²/(c²*c²) + T²/c²) - v(2tx/c²) - (T² - t²) = 0
Av² + Bv + C = 0

mit:
A=(x²/(c²*c²) + T²/c²) (Koeffizient des quadratischen Gliedes von v)
B=-2tx/c² (Koeffizient des linearen Gliedes von v)
C= -(T² - t²) (konstantes Glied oder meinetwegen Koeffizient des konstanten Gliedes, also 1)

Nun kannst Du die Lösungsformel einsetzen oder quadratisch ergänzen. Wenn Du quadratisch ergänzen möchtest, musst Du beachten, dass Du vorgängig alles durch A=(x²/(c²*c²) - T²/c²) dividierst, weil das Polynom ja normiert sein muss:

v² + (B/A)v + (C/A) = 0

Wie sieht die binomische Formel aus, bei der (B/A)v in der Mitte steht ? Das ist dort ja 2*X*v; also ist 2*X=B/A, also X=B/2A
Dessen Quadrat must Du also addieren und subtrahieren. Mit dem addierten term bildest Du die binomishce Formel und der subtrahierte Term kommt zum konstanten Glied dazu:

v² + (B/A)v + (B/2A)² - (B/2A)² + (C/A) = 0

Nun wenden wir für die 3 ersten Summanden die binomische Formel an:

(v + (B/2A) )² - (B/2A)² + (C/A) = 0

Konstantes Glied nach rechts:
(v + (B/2A) )² = (B/2A)² - (C/A)

Ersetze v durch v':= v + (B/2A)
(v')² = (B/2A)² - (C/A)

Quadratwurzel, v' wieder in v umrechnen und fertig ist.

Ich wiederhole mich: sowas ist zwar umständlich, aber eben: es ist elementar !!


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 25.4.2015, 1:03 Uhr: Vorzeichenfehler korrigiert, mit Dank an Spacerat für den Hinweis

[Spacerat]

Hallo Ralf:
Ja, elementar, umständlich und reine Übungssache. Letzteres fehlt irgendwie. Danke dafür.

[ralfkannenberg]

Hallo Ralf:
Ja, elementar, umständlich und reine Übungssache. Letzteres fehlt irgendwie. Danke dafür.

Hallo Spacerat,

fairerweise muss ich einräumen, dass ich hier einen Wettbewerbsvorteil habe. Zwar berechnet man sowas im Studium eher selten, aber man hat dem Laien gegenüber den Vorteil, dass man die algebraischen Zusammenhänge besser kennt und deswegen doch ziemlich zielstrebig vorgehen kann: Polynome normieren und/oder Terme ihrer Potenz nach sortieren ist dann irgendwie so selbstverständlich, dass man das im Schlaf beherrscht. Oder eben bei der quadratischen Ergänzung die geometrische Veranschulichung als "Offset" in x-Richtung - genauer: in (-x)-Richtung: die Parabel (x-1)² ist um eins nach rechts verschoben, denn wenn Du x=1 einsetzst berührt sie ja die x-Achse.

Dafür unterläuft "uns" häufiger ein Rechenfehler, eben weil wir es uns nicht gewohnt sind, sowas auch mal ganz konkret auszurechnen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Spacerat]

Hallo Ralf

Irgendwas stimmt bei der Rechnung noch nicht oder ich habe einen Denkfehler.

Ich habe das jetzt mal analog zu meiner anderen Umstellung wie folgt geändert:
v=+-sqrt((B/2A)²-C/A)-B/2A

Dann habe ich mit v=0,4c und einem Abstand von x=1Ls gerechnet. Also
t=x/v=2,5s
gamma=1,0911

LT Bewegt zu Ruhe:
T=2,2913s

Damit habe ich die Glieder A bis C berechnet:
A=-4,25
B=5
c=-1

Und so komme ich auf ein v von 0,2555Ls/s und 0,9210Ls/s

LT Ruhe zu Bewegt:
T=3,1642

A=-9,0119
B=5
C=-3,7619

Und so auf v=-0,4257Ls/s und v=0,9805Ls/s

Müsste da nicht eigentlich wieder 0,4c (Ls/s) heraus kommen?
Kann es möglicherweise sein, dass der Fehler bei deiner Umstellung in Schritt 4 zu finden ist? (-vx/c²)²=((v²x²)/(c²c²))? Ich versuch das mal.

Edit: STRIKE! Das wars!
Ich habe die Umstellung nebst Änderungen als Libre-Office-Dokument mal in meine Dropbox gepackt.
https://www.dropbox.com/s/ps105nvdmgjao ... 2.odt?dl=0

[Spacerat]

Hallo Manuel:
Da das ja nun dank Ralf so gut geklappt hat mit der Umformung, hier mal meine Idee, wie man am Gang der Uhren feststellen kann, ob man sich selbst bewegt.

Ich betrachte mein Raumschiff mal als ruhend und deines fliegt mit gemessen 0,4c relativ von mir weg, so etwas geht z.B. mit Radar. Nach einer Strecke von 1Ls messe ich eine Eigenzeit von 5s und bei dir 4,8990s, rein Rechnerisch sollten es aber 2,5s bei mir und 2,2913s bei dir sein.
Mit der Strecke, den beiden Zeiten und der umgestellten Formel kann ich nun die Relativgeschwindigkeit errechnen, mit welcher wir und relativ zueinander bewegen würden, wenn wir in die selbe Richtung flögen, das wären in diesem Fall 0,2c. Diese 0,2c ziehe ich von den gemessenen 0,4c ab, teile den Rest durch 2 und erhalte den Betrag, um welchen ich die Geschwindigkeit meines Raumschiffes verringern muss, um eine 2. Messung vorzunehmen, in diesem Fall 0,1c. Ergibt diese nächste Messung eine Relativgeschwindigkeit von 0,3c (Radar und Zeiten), weiß ich, dass ich im Medium ruhe bzw. mit 0,1c unterwegs war und du in selbigem mit 0,3c unterwegs bist. Andernfalls bin ich noch mit 0, 2c unterwegs und du mit 0,1c. Wenn man das Ganze experimentell bestätigen kann, sollte klar sein, dass das umgebende Medium für die Verlangsamung der bewegten Uhren veratwortlich ist, was mMn auch unbedingt logisch wär.

[Herr Senf]

Welches Boot ist schneller, das langsame oder das andere

Entschuldigung - Senf: in der Schule gibt's ne 6, weil's die 7 nicht gibt

[Spacerat]

[IRONIE]Hi Chief. Auch hier?[/IRONIE]

[nocheinPoet]

Moin Hartmut,

Man macht ein Beispiel so einfach wie es nur geht, alles andere lässt man eben weg.

Das ist mal ein entschiedener Satz. Aus meiner Sicht lässt du (und andere) einen entschiedenen Teil weg. Nicht ich ignoriere einen Unterschied von 0,14 sonst was bei der Zahl Pi sondern du. Im Gegensatz zu dir, lasse ich die Ausrichtung der Objekte, welche sich nicht ändert, wenn man sie aus einer Bewegung betrachtet, eben nicht weg. Für mich (und andere) ist genau diese Ausrichtung für die Unterscheidung zwischen Schein und Sein zu unterscheiden entscheidend. Genau so entlarvt man Bewegungen, auf denen sich tatsächlich zu keiner Zeit irgendwann ein Objekt bewegt.

Mit „und andere“ meinst Du alle Physiker und Studenten der letzten 400 Jahre und alle die es sonst noch verstehen?

Eventuell fügst Du auch nur unnötiges hinzu, wie gleich bei den länglichen Photonen? Aber gut, Du gehst ja nun mal echt in den Dialog, finde ich gut, darum mal weiter und ein neuer Ansatz, die Frage ist, wann hat etwas eine Wirkung? Wann ist es entscheidend wichtig? Nun willst Du zur absoluten Bewegung noch eine absolute Ausrichtung im Raum haben.

Eigenschaften von Objekten kann man am Objekt messen, man musst da generell im Ruhesystem des Objektes, da hat man dann Ladung und Masse und Temperatur um ein paar Eigenschaften zu nennen, solche dem Objekt eigene Eigenschaften nennt man intrinsisch. Nun lese ich eben bei Wikipedia dazu nach, dass man diese nicht von außen messen können soll, das ist nicht ganz so in meinen Sinne und meinem Verständnis, dem muss ich mal nachgehen und einen Physiker befragen, eventuell passt auch „immanent“.

Die Ausrichtung eines Objektes kannst Du immer nur in Bezug zu etwas angeben, Du kannst auch ein Ruhesystem definieren und sagen, das Objekt (von mir aus ein Stab) ist parallel zur y-Ache ausgerichtet. Nun kommt ich und definiere auch ein Ruhesystem das ist aber gegenüber Deinem nun um 90 Grad verdreht, ich sage, der Stab ist nun parallel zur x-Achse ausgerichtet, und wenn nun Kurt noch kommt und sein Ruhesystem des Stabes gegenüber unseren um 45 Grad gedreht ist, wird er erklären, wir beide sehen das falsch. Und dann gibt es ja im Raum drei Achsen,...

Wer hat dann nun Recht und wie könnte man am Objekt selber sein Ausrichtung messen?

Eben, gar nicht, denn der Raum hat keine Richtung nach der man sich orientieren könnte. Du ich und Kurt können die Masse messen, die Temperatur, die Ladung, können die Farbe bestimmen (messen die Frequenz der abgegebenen Strahlung) und wir drei können uns darauf einigen, denn diese Eigenschaften sind nicht relativ sondern absolut und dem Objekt eigen. Ausrichtung und Geschwindigkeit sind das nicht, das sind Relationen, diese Eigenschaften sind nicht dem Objekt selber eigen.

Es ist wichtig, dass Du das verstehst.

Als nächstes stellen wir uns mal Photonen als Stäbchen, statt als Kugeln oder Punkte vor und beziehen das mal auf Lichtuhr und MMI. An der Ausrichtung der "Stäbchenphotonen" sieht man sofort, in welche Richtung die Photonen eigentlich unterwegs sind und dass es sich bei der Schräge, auf welcher lt. Wikipedia c herrschen soll, um eine optische Täuschung handeln muss und das Licht dort deswegen scheinbar mit √ (c²+v²) unterwegs und im selben Verhältnis rotverschoben sein muss und auch darf. Nur so kommt man ohne hypothetische ZD oder LK auf die ständigen Nullergebnisse bei MMEs. Die vernünftigste Erklärung dafür überhaupt.

Dir ist doch schon beim Schreiben klar gewesen, dass ich da widersprechen werde und Dir nicht zustimmen, oder?

Ich will noch gar nicht zu den Photonen und in die SRT, da klemmt noch zu viel ganz unten klassisch. Betrachteten wir mal einen Deiner „schrägen“ Regentropfen an der Scheibe, Du darfst da einen vom Regen nehmen, der Deiner Meinung nach ja real schräge fällt und ich nehme einen meiner Tropfen aus der Dusche und denn lasse ich nun mal im Zug innen an der Scheibe schräge runter laufen. (Warum er im Zug nun schräge läuft ist egal, wenn das Auto fährt ist es auch egal, ob gezogen, oder mit Diesel oder Benzin, die Art des Antriebes kannst Du eben nicht aus der Bewegung selber messen).

Dein Regentropfen läuft nun genauso wie mein Tropfen schräge von oben nach unten über die Scheibe, wir können den messen und die Bewegungsgleichung dazu im Ruhesystem des Zuges aufstellen:

x = t
y = - t + 10 cm

Diese gilt für beide Tropfen.

So und nun kommst Du, warum sollte mein Tropfen real und nicht scheinbar schräge über die Scheibe laufen und Deiner nicht real und nur scheinbar schräge? Beide haben dieselbe Bewegungsgleichung, an den Tropfen selber kannst Du nicht messen, ob er vom Regen oder aus der Dusche kommt.

Beide Tropfen bewegen sich im Ruhesystem des Zuges mit der o.g. Gleichungen. Und eben weil das so ist, bewegt sich Dein Tropfen nun mal im Ruhesystem des Zuges real schräge und nicht scheinbar schräge. Wir können später noch gerne mal auf „Scheinbares“ zusprechen kommen, wenn wir dann soweit sind. Physikalisch ist die Sache eindeutig.

Ganz deutlich, wenn Du am Objekt selber alleine nicht die Eigenschaft messen kannst, dann hat diese keine „entscheidenden“ Anteil, sondern gar keinen. Denn man kann ja eben daran nichts entscheiden. Beide Tropfen bewegen sich real schräge über die Scheibe, wie es zu dieser Bewegung gegenüber der Scheibe kam ist irrelevant, Seven of Nine, tertiäres Attribut von Unimatrix 01, nickt zustimmend.

Wenn man bei Punkten bleiben will, hilft da evtl. der Computer, genauer gesagt der Bildschirm. Aus wie vielen Punkten besteht eine Linie, die einmal von x₁ = 0; y₁ = 0 bis x₂ = 100; y₂ = 0 und ein anderes mal von x₁ = 0; y₁ = 0 bis x₂ = 100; y₂ = 100 geht. Die Anzahl der Punkte ändert sich nicht, nur deren Abstände (von 1 zu √ (2)).

Der Raum ist kein Computerbildschirm, letzterer hat ja eine feste Anzahl an Pixel. Aber zur Länge, die Strecke die ein Objekt, hier der Tropfen, über die Zeit zurücklegt ist auch relativ, dass hast Du hoffe ich mit Deiner Aussage erkannt, es gibt keine wirkliche absolute Streckenlänge welche ein Objekt über die Zeit real absolut im Raum zurücklegt. Im Ruhesystem der Erde ist sie eben kürzer als im Ruhesystem des Zuges. Beide Streckenlängen haben nur in ihrem Bezugssystem eine Aussage. Wir können gerne auch Anstelle der Fensterscheiben zwei Monitore setzen, wie beim Kratzer ist die Strecke über die sich der Tropfen bewegt relativ und nur vom Bezugssystem abhängig. Wir können auch ein Bezugssystem definieren, in dem diese Strecke 0 ist. Genau, das Ruhesystem des Tropfen selber.

… und nun kommt die physikalische Relevanz meiner Ausführungen und, mal weg von Regentropfen, zu dem, was meines Erachtens nach mit durch GT hergeleiteten Geschwindigkeiten los ist. Anfangs mal die Frage: Hast du eine Geschwindigkeit schon mal als Frequenz betrachtet? Was ist eine Frequenz? Nicht zufällig ein Zählwert in einem Zeitabschnitt, z.B. zurückgelegte Streckenabschnitte (Meter) pro Sekunde? Okay, schlechtes Beispiel für den Anfang, nehmen wir Photonen pro Sekunde, so kommen wir jedenfalls auf etwas anderes ebenso entscheidendes, nämlich dem Abstand der einzelnen Photonen bzw. dem Begriff Wellenlänge.

Habe ich nicht und das ist auch physikalisch falsch, die Einheit für Geschwindigkeit ist Strecke/Zeit die Dimension [L/T] und Frequenz hat da 1/Zeit, damit hat sich das schon erledigt. Die Einheiten von Frequenz und Geschwindigkeit sind nicht gleich, da gibt es nichts zu debattieren, kannst Dir da echt die Zeit sparen weiter drüber nachzudenken.

Wenn man jetzt eine ruhende Lichtuhr und eine bewegte Lichtuhr betrachtet, wie viele Photonen befinden sich in einem Zeitabschnitt zwischen den Lichtuhr-Spiegeln (also da bewege sich jetzt mal nicht nur ein Lichtpunkt, welcher sich nur mit c bewegen kann)? Sicher ändert sich, analog zum Beispiel mit dem Computerbildschirm, deren Anzahl nicht, wohl aber ihre Abstände und das auch nur rein rechnerisch. Was haben wir nun?

Gleichbleibende Frequenz bei längerer Wellenlänge, also gleiche Anzahl Streckenabschnitte wobei die Streckenabschnitte jedoch länger sind. Genau daraus ergibt sich für eine Bewegung mehr Strecke im selben Zeitabschnitt, ergo eine höhere Geschwindigkeit. Natürlich ergibt sich diese Geschwindigkeit auch nur rein rechnerisch, aber ich lehne es ab, eine solche nun auch noch Scheingeschwindigkeit zu nennen, Differenzgeschwindigkeit ist schon okay. Regentropfen, Photonen, Pipapo ändern weder ihre Ausrichtung, noch ihre tatsächliche Geschwindigkeit, nur weil man sie aus einer Bewegung her betrachtet.

Nun ja, erstmal baust Du den Teil hier auf eine falsche Annahme auf, Frequenz ist nun mal keine Geschwindigkeit, und damit ist das eh hinfällig, und dann ist die Frage ob die Lichtuhr ruht oder bewegt ist, weiterhin eine des Bezugssystems. Du kannst die Annahmen, oder Postulate die Du belegen willst, nicht als Tatsache und Basis für eine den Beleg nehmen.

Es bleibt weiterhin so, es gibt physikalisch keine absolute Bewegung eines Objektes, Du kannst nicht aus einer absoluten Bewegung heraus etwas betrachten. Du gibt hier die „absolute Bewegung“ schon mit als Tatsache vor, um dann diese selber als Tatsache zu begründen. Du ruhst immer in Deinem Ruhesystem, gegenüber anderen Systemen kannst Du bewegt sein und das in beliebigen Geschwindigkeiten, es gibt keinen Weg da nun eine absolute wahre reale Geschwindigkeit zu ermitteln, und alles anderen in den ganzen Systemen zu „Scheingeschwindigkeiten“ zu erklären, auch nicht zu Differenzgeschwindigkeiten. Denn letztere ist nur die Addition zweier Geschwindigkeit in einem System und nicht eine Geschwindigkeit in einem System. Ein Objekt kann in einem Inertialsystem keine Differenzgeschwindigkeit haben, dazu brauchst Du dann in diesem System ein weiteres Objekt und dieses sollte dort auch bewegt sein, sonst ist die Differenzgeschwindigkeit gleich der dortigen Geschwindigkeit.

Alles was man auf diesen schrägen Strecken sieht, ist zu viel Schein und zu wenig Sein. Durch "alles Andere weg lassen" wird meiner Meinung nach viel zu viel weggelassen und dadurch verliert man die Fähigkeit, zu unterscheiden, wann die GT und wann die LT gilt und "physical Correctness" kann da nicht mehr gegeben sein. "Experimentell bestätigt" heißt in diesem Zusammenhang nur, dass man die ein oder andere Interpretation der Messergebnisse rein intuitiv für die richtigen hält.

Das passt nun mal wieder so gar nicht zusammen. Also die GT und auch die LT nimmt man nicht um Geschwindigkeiten zu addieren. Man transformiert damit Koordinaten aus einem Bezugssystem in ein anderes, nicht mehr und nicht weniger. Die LT nimmt man, wenn sich die Systeme mit sehr hoher Geschwindigkeit zueinander bewegen oder wenn es ganz extrem genau sein muss, wie bei GPS zum Beispiel. Die GT wenn die Geschwindigkeiten weit unter der des Lichts liegen.

Da geht noch immer einiges sehr wild durcheinander …

Wenn ich es hinbekäme, t' = (t – vx/c²) / √ (1 – v²/c²) nach v aufzulösen, hätte ich sicher auch eine Möglichkeit, meine eigene Geschwindigkeit gegenüber einer gemeinsamen Umgebung zu errechnen (v_eigen = v_relativ ± v_gemessen). Bei WolframAlpha kenne ich mich mit der Syntax nicht aus und händisch ist mir das grad' bissl viel. Und ja, mit Umgebung ist natürlich das das Szenario umgebende Medium inkl. Refraktionsindex gemeint. Und so wie ich es bei Wikipedia z.B. verstanden habe, wurden bei H&K sowie beim Maryland-Experiment die Uhren am Ende des Experiments verglichen (beim Maryland auch während). Zumindest hätte man lt. SRT da gar keine Zeitunterschiede mehr messen dürfen, weil sie eben wechselseitig ausfallen sollten. Da aber (einseitig) etwas gemessen wurde, traf die ZD aus einem anderen Grund ein und das bestätigt höchstens die LT.

Nun ja, also die Formel hast Du ja nun und zu dem Beitrag von Dir dann später was. Und Dir ist ja sicher auch schon klar, dass ich Dir da nicht zustimmen werde und entgegnen werde.


Lieben Gruß

Manuel

[nocheinPoet]

Moin Herr Senf,

[IRONIE]Hi Chief. Auch hier?[/IRONIE]

Eigentlich wollte ich dazu nichts sagen, aber es stimmt irgendwie schon, so sehr wie ich die sachlichen Beiträge von Dir schätze, mit solchen kann ich wenig anfangen, und konstruktiv sind sie auch nicht. Ich kenne Dich ja nun ein wenig und werte das mal mehr als Parodie auf Chief, aber das ist eben nicht jedem klar, wenn ich hier Hartmut versuche gerade die Kultur vom AT zu vermitteln und ständig auf den Füßen stehe, wenn er persönlich und unsachlich wird, dann muss ich Dir das eben auch so sagen. - Das Lesen im MAHAG kann zu seltsamen Wirkungen führen...


Lieben Gruß

Manuel