Wurzel(z)

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

auf den ersten Blick sieht das aus wie eine Spiralgalaxie. Ist das ein Zufall ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[richy]

Hi Ralph
Die Spiralform ergibt sich fuer geordnete Ziffernfolgen wie 012345678191011213.... aus der der Darstellungsform. Jede Ziffer entspricht einem Kreissektor. Das sieht man bei den Prizahlziffern 1,3,7,9 recht schoen :

Wie erwaehnt vergroessere ich in der Darstellung mit jedem Zeitschritt den Radius und daraus laesst sich bei geordneten Ziffernfolgen in etwa die Spiralform erklaeren. Es ist schon etwas komplizierter, da es sich um einen komplexwertigen Entscheidungsbaum handelt und dieser hat andere Eigenschaften als z.B. ein normaler Binaerbaum. Warum eine zufaellige Ziffernfolge die beste Flaechenfuellung ergibt kann ich auch nicht vollstaendig erklaeren. Man sieht aber, dass z.B in den Primzahlen die Ziffern 1,3,7,9 einen zufaelligen Charakter erzeugen. Die Primzahlziffern waren in dem Versuch nach ihrer Reihenfolge geordnet also wie folgt 235711131719232931374143... (Nur die Ziffern werden bewertet)
Rein intuitiv wird man sich sagen, dass die letzten Ziffern 1,3,7,9 eine entscheidende Rolle fuer die Teilbarkeit spielen. Also habe ich in einem weiteren Versuch die letzten Ziffern der Primzahlen entfernt. Dann ergibt sich dieses Bild :

Die Spiralform ist hier insofern interessant, da sie aussagt, dass die verbleibende Ziffernfolge doch sehr geordnet und kaum zufaellig ist. Das Bild aehnelt der Spirale der Ziffernfolge der natuerlichen Zahlen. D.h. es wird auch kaum eine Gesetzmaessigkeit geben, in der die vorletzte Ziffer einer Zahl eine Rolle spielt, dass man entscheiden koennte ob es sich um eine Primzahl handelt.

Auch in der ersten Abbildung kann man noch die Ordnung der Ziffernfolgen erkennen. Das bedeutet dass die Primzahlen nicht durch eine einfache nichtlineare Abbildung aus den natuerlichen Zahlen hervorgehen. Schon eine einfache nichtlineare Abbildung wie m(n)=n^2 verwuerfelt die Ziffernordnung.
Wobei dies im Grunde zunaechst widerspruechlich erscheint, denn es ist ja eine nichtlineare Abbildung bekannt, mit der sich alle Primzahlen erzeugen lassen.
Der Primzahlsatz von Wilson :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1963

Satz A) Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
Satz B) Wenn (p-1)!+1 / p ohne Rest teilbar ist, dann ist p eine Primzahl

Man kann somit in zwei Programmzeilen alle Primzahlen erzeugen :
> for p from 1 to 1000 do
> if frac(((1+(p-1)!)/p))=0 then printf(`%g `,p);fi;od

(Die Fakultaet ist dabei natuerlich problematisch.)
Betrachtet man hier die Vorgehensweise genauer, so sieht man dass es sich um eine Ausstortierung und nicht um eine Abbildung handelt. Von daher als doch nicht widerspruechlich.

Viele Gruesse
richy

[richy]

Hier nochmals zum Vergleich die Spirale der naturlichen Zahlen :
012345678910111213141516171811920....



Die einzelnen Teile lassen sich in etwa auch genauer interpretieren. Die Spirlarme selbst duerften aus der jeweils letzten Ziffer der Zahl stammen. Die dunklen Haeufungspunkte stammen wohl aus zweistelligen bzw dreistelligen Zahlen und das Feld recht oben aus 1000 ern. Vollkommen analytisch laesst sich das Verfahren wie erwaehnt nicht erfassen. Ich bin ueber die inverse der Verhulst Gleichung darauf gestossen.
http://www.quanten.de/forum/showpost.ph ... stcount=38
In dem Thread habe ich auch gezeigt, dass bestimmte nichtbijektive Abbildungen, insbesonders zeitdiskrete nichtlineare Abbildungen im chaotischen Bereich (Ljapunov>0) ohne zusaetzliche Informationen prinzipiell nicht zeitumkehrbar sind. Das ist ja bei der Quantenmechanik, der Dekohaerenz von gewissem Interesse. Oder dem Zeitpfeil, der dem globalen Entropiegradienten folgt

Viele Gruesse