Hi Elfenpfad
Eine der vielen Besonderheiten der Fibonaccizahlen ist jene, dass der Quotient zweier aufeinanderfolgender Fibonacci Zahlen fib(k) fuer limit k-> 00 gegen den goldenen Schnitt phi konvergiert. phi ist die Loesung der Gleichung x^2-x-1=0
phi1/2=(1 +/- Wurzel(5))/2
Das ist eine irrationale Zahl und man kann zeigen dass es die irrationaleste Zahl im Sinne einer Bruchapproximation darstellt. Dies fuehrt zu vielfaeltigen physikalischen Konsequenzen und erklaert das scheinbar "mysthische" dieser Zahl. Man kann dies durchaus auch der Zahl 5 zuordnen, denn so zeigt sich der goldene Schnitt im Verhaeltnis der Schnitte der Diagonalen in einem gleichseitigen Fuenfeck oder Pentagramm. Wurzel(5) kommt dort in allen Varianten vor.
Das Pentagramm kennt man auch als negatives Symbol, denn der goldene Schnitt ist teilweise mit einem negativen Charakter behaftet. Zum einen tritt er bevorzugt in nichtlinearen Systemen auf, die sich einer analytischen Loesung verschliessen und zum anderen in evolutionaer sich entwickelnden z.B. biologischen Systemen. Daher spielt der goldene Schnitt in der Physik kaum eine zentrale Rolle und spiegelt damit umgekehrt weder, dass die Physik kaum Erklaerungen fuer die praktischen Gegebenheiten in der Natur liefert. Das ist natuerlich unangenehm und so ist das Thema nicht fuer alle interessant.
Der irrationale Charakter stellt das Gegenstueck zu ganzzahligen Proportionen dar, die zu Resonanzen fuehren. Der goldene Schnitt ist in dem Sinne ein Antiresonator, ein Verhaeltnis, dass Resonanzen vermeidet. Resonanzen fuehren zu Resonanzkatastrophen und damit zu Instabilitaet. Wenn ein Mehrkoerpersystem aus vielen kleinen unbedeutendet Teilen mt vielen Freiheitsgraden ueber Verklumpung mittels Gravitation zu einem System aus grossen Koerpern mit wenigen Freiheitsgraden waechst, so wie unser Sonnensystem, dann kann man dies als einen evolutionaeren Wachstumsprozess verstehen. In der Form, dass instabile Zustaende, verursacht durch Resonanz zerfallen. So verbleiben bevorzugt Zustaende mit irrationalen Verhaeltnissen. Das laesst sich an den Saturnringen z.B. beobachten. Und nur so laesst sich ueberhaupt die Stabilitaet unserers Sonnensystems erklaeren. Dazu muss man natuerlich zuerst eingestehen, dass wir nicht in der Lage sind die Stabilitaet unseres Sonnensystems zu berechnen.
In dieser Blume des Lebens ist der goldene Schnitt in planer Form uebrigends nicht enthalten, denn es besteht ja wie Schneeflocken aus Sechsecken. Es gibt jedoch eine dreidimensionale Form dieser Geometrie als eine Art Drahtspielzeug. Darin erkennt man dann Fuenfecke und den goldenen Schnitt. Wobei man dies auch einfacher bei einem Fussball haben kann. Auch der besteht in einfacher Form aus Fuef und Sechsecken.
Die Fibonaccizahlen sind uebrigends eine eigene Wissenschaft fuer sich, obwohl sie ueber die Formel von Binet recht einfach analytisch dargestellt werden koennen. Beispielweise folgen die Ziffern der Zipf, sogar Benfordverteilung.
Ihre Bildungsformel ist linear und somit geschlossen loesbar.
Hier die nichtgeschlossene einfache Bildungsformel :
f(k+2)=f(k+1)+f(k) f(1)=1, f(0)=1
Man erhaelt somit die Folge
1,1,2,3,5,8,13,21,34,55 (einfach die letzen zwei Zahlen addieren)
Nun behaupte ich 55/34 ist in etwa (1+Wurzel(5))/2
phi=1.618033989...
55/34=1.617647059
Immerhin bereits auf zwei Stellen genau. Es ist zu erwarten, dass der Bruch nur langsam gegen phi konvergiert, weil phi eben extrem irrational ist.
Hier der schnellste Beweis, wie man zeigen kann, dass gilt : limit k-> oo fib(k+1)/fib(k) = phi
f(k+2)=f(k+1)+f(k) f(1)=1, f(0)=1
Man dividiert beide Seiten durch f(k+1)
f(k+2)/f(k+1)=1+f(k)/f(k+1)
nun fuehrt man die Variable s(k)=f(k+1)/f(k) und erhaelt
s(k+1)=1+1/s(k)
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Das ist ebenfalls eine interessate Iteration und diese konvergiert gegen den Attraktor phi. Fuer einen Attraktor aendert sich s(k+1) nicht mehr also gilt s(k+1)-s(k)=0 oder
1+1/s(k)- s(k)=0
s(k)+1-s(k)^2=0
s^2-s(k)-1=0
Dies ist das Polynom des goldenen Schnittes, was zu beweisen war.
Anhand dieser Gleichung sieht man noch etwas :
1+1/s(k)- s(k)=0
s(k)=1+1/s(k)
Und tatsaechlich : 1/1.618033989 = .6180339887
Gruesse
BTW: Dein Video laeuft in D wegen der GEMA nicht.