Unendlich mal Nichts ist?

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Unendlich mal Nichts ist?

Beitragvon nocheinPoet » Montag 24. Februar 2014, 13:44


Nur mal so zum Spaß, gegeben ist x = 1. Da können wir nur machen:

x = 0.5 + 0.5 = 1, passt alles super. Nun halbieren wir die einzelnen Summanden und verdoppeln deren Anzahl, also:

x = 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 = 1

Und so geht es immer weiter, der Wert der Summanden strebt gegen Null, die Anzahl gegen Unendlich. Am Ende haben wir dann unendlich viele Nullen, die als Summe 1 ergeben. Ist doch logisch oder? Was ist nun, wenn ich mit y = 1 + 1 = 2 beginne, dann ist Unendlich mal Null gleich 2 oder? Na wo ist der Fehler? :D
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Re: Unendlich mal Nichts ist?

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 24. Februar 2014, 17:31

nocheinPoet hat geschrieben:der Wert der Summanden strebt gegen Null, die Anzahl gegen Unendlich. Am Ende haben wir dann unendlich viele Nullen, die als Summe 1 ergeben. Ist doch logisch oder?

Hallo Manuel,

nein, das ist nur für endlich viele Summanden logisch. Im Falle nicht endlich vieler Summanden - beachte bitte, dass ich nicht "unendlich viele" schreibe - muss man eben auch noch beachten, "wie schnell" da irgendetwas gegen 0 bzw. gegen unendlich strebt:

1. wenn die gegen 0 schneller gegen 0 streben als diejenigen gegen unendlich, dann "strebt" das ganze gegen 0
2. wenn die gegen oo schneller gegen oo streben als diejenigen gegen 0, dann "strebt" das ganze gegen oo
3. wenn die gegen 0 und die gegen unendlich gleich schnell gegen ihren Wert zu streben, so "strebt" das ganze gegen jede beliebige (endliche oder unendliche) Zahl.

Statt "streben" sollte man aber mit Vorteil die Worte "konvergieren" und "divergieren" verwenden; zudem können Reihen auch noch "alternieren" oder - im Idealfall - sogar "absolut konvergieren". Der letzte ist der beste Fall, weil dann die Reihen unabhängig von ihrer Anordnung gegen denselben Grenzwert konvergieren.


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Re: Unendlich mal Nichts ist?

Beitragvon nocheinPoet » Montag 24. Februar 2014, 17:43

Hm,...

und was heißt das nun für meine Aufgabe? Punkt 3 und es passt für jede Zahl?
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Re: Unendlich mal Nichts ist?

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 24. Februar 2014, 19:40

nocheinPoet hat geschrieben:Hm,...

und was heißt das nun für meine Aufgabe? Punkt 3 und es passt für jede Zahl?

Hallo Manuel,

nein, so einfach geht das nicht.

Grundsätzlich sind Unendlichkeiten nicht definiert, d.h. Du musst es definieren und dann (streng genommen) die Wohldefiniertheit nachweisen. Etwas salopp formuliert heisst das, dass es nur "eine Lösung" geben darf und diese auch noch konvergieren muss, also endlich sein muss.

Dass es aber unabhängig von der Anordnung ist wird nicht verlangt, d.h. die absolute Konvergenz wäre eine zu starke Vorbedingung.

Das prominenteste Beispiel hierfür dürfte die alternierende harmonische Reihe sein, also 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 usw. - die konvergiert gegen ln(2). Aber es ist überhaupt kein Problem, diese Reihe so umzusortieren, dass sie z.B. gegen 20000 konvergiert, oder gegen - 6 Millionen oder was auch immer. Das kommt eben daher, dass diese Reihe nicht absolut konvergiert.

Zurück zu Deiner Aufgabe: Du müsstest das also definieren. Mehr dazu aber in einem eigenen Beitrag.


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Re: Unendlich mal Nichts ist?

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 24. Februar 2014, 19:58

nocheinPoet hat geschrieben:
Nur mal so zum Spaß, gegeben ist x = 1. Da können wir nur machen:

x = 0.5 + 0.5 = 1, passt alles super. Nun halbieren wir die einzelnen Summanden und verdoppeln deren Anzahl, also:

x = 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25 = 1

Hallo Manuel,

wir nehmen mal das hier:

Das ist ja an sich eine "Art" Iteration, lass mich deswegen statt x lieber x(n) schreiben, wobei n den "n.-ten Iterationsschritt" bezeichnen soll.

x(1) = 0.5 + 0.5
x(2) = 0.25 + 0.25 + 0.25 + 0.25

x(n) = 1/2n + ... + 1/2n, und zwar 2n-mal.

Da n endlich ist - für jedes n - darf ich also auch schreiben:

x(1) = 2 * 0.5
x(2) = 4 * 0.25
...
x(n) = 2n * (1/2n), also x(n) = 2n / (2n)

Tja, und in diesem Ausdruck kürzt sich nun für jedes n der Faktor 2n heraus und es verbleibt die Zahl 1.

Das kommt salopp gesprochen daher, dass die Faktoren im Zähler und im Nenner gleichschnell gegen oo wachsen, deswegen, weil sie trivialerweise ja gleich sind.

Für "n=oo" ist das ganze allerdings nicht definiert, aber Du kannst diese Funktion x(n) stetig auf unendlich fortsetzen, und es gibt nur eine art, dies zu tun.

Denn andernfalls müsste sie schon "vor" unendlich irgendwie echt von der 1 weggehen und das tut sie nicht.


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Re: Unendlich mal Nichts ist?

Beitragvon nocheinPoet » Dienstag 25. Februar 2014, 10:20

Danke Dir, sag mal, bei den Reihen, gibt das da nur positive Zahlen als Zähler der Elemente, oder gibt es da auch das Element an der Stelle Pi? Oder komplexe Werte? Das "i"-te Element eine Reihe? Hm,...
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Re: Unendlich mal Nichts ist?

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 25. Februar 2014, 10:30

nocheinPoet hat geschrieben:Danke Dir, sag mal, bei den Reihen, gibt das da nur positive Zahlen als Zähler der Elemente, oder gibt es da auch das Element an der Stelle Pi? Oder komplexe Werte? Das "i"-te Element eine Reihe? Hm,...

Hallo Manuel,

das weiss ich nicht, das hängt davon ab, wie der Begriff der "Reihe" definiert ist.

Statt x1, x2 bis xn kann man ja auch gleichwertig schreiben:

(1) xj mit j=1,2,...,n

Und da wir bei Reihen im Allgemeinen ja nicht mehr endlich viele Reihenglieder haben, kann man also auch schreiben:

(2) xj mit j in IN.

EInverstanden ? - Ich hole mir jetzt erst einmal Dein Einverständnis ein ehe ich weitermache.


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Re: Unendlich mal Nichts ist?

Beitragvon nocheinPoet » Dienstag 25. Februar 2014, 10:56

Ja soweit einverstanden. Ich sehe so auch keinen Grund, warum es nicht komplexe Elemente geben sollte, wobei ich mir unter dem Element (3i - 4) einer Reihe nun nichts vorstellen kann. :D
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Re: Unendlich mal Nichts ist?

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 25. Februar 2014, 12:29

nocheinPoet hat geschrieben:Ja soweit einverstanden.

Halo Manuel,

sehr gut. Noch ein kleines "Detail": oftmals wird die Reihe mit der Folge verwechselt. An sich sind beide Begriffe äquivalent, aber der Folgenbegriff ist viel letztlich einfacher, wiel man sich nich tnoch mit Summenbildungen herumschalgen muss, sondern sich auf die Konvergenz konzentrieren kann.

Auf diesem Niveau genügt es, sich dessen bewusst zu sein und je nach Bedarf die Fragetsellung mit Hilfe von Folgen oder von Reihen zu betrachten.

nocheinPoet hat geschrieben:Ich sehe so auch keinen Grund, warum es nicht komplexe Elemente geben sollte, wobei ich mir unter dem Element (3i - 4) einer Reihe nun nichts vorstellen kann. :D

Das allerdings müsstest Du mir noch erklären, da ich eigentlich keinerlei Bedarf für so etwas sehe. Mir genügt es, die Folgen oder Reihen ganz naiv von 1 bis n und darüber hinaus durchzunummerieren, d.h. ich benötige da keine Zwischenwerte oder Zusatzwerte.


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Re: Unendlich mal Nichts ist?

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 25. Februar 2014, 12:44

ralfkannenberg hat geschrieben:da ich eigentlich keinerlei Bedarf für so etwas sehe. Mir genügt es, die Folgen oder Reihen ganz naiv von 1 bis n und darüber hinaus durchzunummerieren, d.h. ich benötige da keine Zwischenwerte oder Zusatzwerte.

Hallo zusammen,

ehe ich hier jemanden auf eine falsche Fährte locke: zwar könnte man z.B. ein Folgenglied x1.5 definieren, was passend irgendwo in der Mitte zwischen x1 und x2 liegt, oder ein x1.25, welches dann näher an x1 liegt, ja man könnte auch x0 oder gar x-1, x-2 usw. definieren und die Folge in die andere Richtung auch noch fortsetzen, nur: was soll das bringen:

eine Folge hängt nicht von den den ersten endlich n Folgengliedern ab.

Ob ich also eine schöne Folge habe oder die ersten Million Folgenglieder wie wild herumoszillieren lasse, spielt für die Folge überhaupt keine Rolle. Es sind die Folgenglieder, die nach dem N in IN kommen - von denen gibt es nämlich unendlich viele und diese beeinflussen das Konvergenzverhalten.

Selbst wenn Du also irgendwie zwischen x1 und x2 unendlich viele weitere Folgenglieder reinpflanzst, z.B. x1.5, x1.75, x1.875, ..., so bist Du zwar wie der arme Achilles gegen die Schildkröte in dieser Falle gefangen und gelangst nicht einmal mehr zu x2, aber die Musik spielt nicht bei x2, sondern die Musik spielt jenseits von xN. Und was bei x0, x-1, x-2 usw. interessiert schon gar nicht, die Musik findet auf "der anderen Seite" statt !


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