Natur: nur rationale Zahlen oder nur transzendente Zahlen ?

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

der Threadtitel ist - auch aus Platzgründen in der Überschrift - etwas provokativ gewählt.

Dennoch möchte ich einige Gedanken sammeln, ob es in der Natur bei geeigneter Normierung (z.B. aller fundamentaler physikalischer Konstanten zu 1) nur rational-zahlige Grössen oder nur transzendent-zahlige (d.h. nicht-algebraische) Grössen geben kann oder vielleicht einen Mix aus beiden ?

Wobei ich bei dieser Frage den Bereich der irrationalen algebraischen Zahlen weggelassen habe; vielleicht entstammen alle Grössen der Natur ja gerade ihm ?

Ich habe mir zwar einige (wenige) Gedanken hierzu gemacht, möchte aber dennoch der Leserschaft den Vortritt lassen, zumal ich wirklich kein Spezialist bezüglich dieser Fragestellung bin.

Somit möchte ich nur auf zwei völlig "gegensätzliche" sowie ein "verschmierendes" Resultat verweisen:

(1) gequantelte Grössen sind ganzzahlige Vielfache ihrer elementaren Grösse (z.B. Elementarladung)
(2) die Wahrscheinlichkeit, aus dem Kontinuum eine rationale oder eine algebraische Zahl zu ziehen ist exakt = 0 (abzählbare Mengen bilden im Kontinuum eine Nullmenge)
(3) in jeder Epsilon-Umgebung einer beliebigen reellen Zahl x finden sich zwei rationale Zahlen, von denen eine kleiner x und eine grösser x ist (die Unschärferelation erlaubt also rational-zahlige und transzendent-zahlige Lösung)


Freundliche Grüsse, Ralf

[Kurt]

Hallo zusammen,

der Threadtitel ist - auch aus Platzgründen in der Überschrift - etwas provokativ gewählt.

Dennoch möchte ich einige Gedanken sammeln, ob es in der Natur bei geeigneter Normierung (z.B. aller fundamentaler physikalischer Konstanten zu 1) nur rational-zahlige Grössen oder nur transzendent-zahlige (d.h. nicht-algebraische) Grössen geben kann oder vielleicht einen Mix aus beiden ?

Wobei ich bei dieser Frage den Bereich der irrationalen algebraischen Zahlen weggelassen habe; vielleicht entstammen alle Grössen der Natur ja gerade ihm ?

Ich habe mir zwar einige (wenige) Gedanken hierzu gemacht, möchte aber dennoch der Leserschaft den Vortritt lassen, zumal ich wirklich kein Spezialist bezüglich dieser Fragestellung bin.

Somit möchte ich nur auf zwei völlig "gegensätzliche" sowie ein "verschmierendes" Resultat verweisen:

(1) gequantelte Grössen sind ganzzahlige Vielfache ihrer elementaren Grösse (z.B. Elementarladung)
(2) die Wahrscheinlichkeit, aus dem Kontinuum eine rationale oder eine algebraische Zahl zu ziehen ist exakt = 0 (abzählbare Mengen bilden im Kontinuum eine Nullmenge)
(3) in jeder Epsilon-Umgebung einer beliebigen reellen Zahl x finden sich zwei rationale Zahlen, von denen eine kleiner x und eine grösser x ist (die Unschärferelation erlaubt also rational-zahlige und transzendent-zahlige Lösung)

Hallo Ralf,

einige Begriffe verstehe ich nicht, bzw. kann ich nur erahnen.

(1) gequantelte Grössen sind ganzzahlige Vielfache ihrer elementaren Grösse (z.B. Elementarladung)

Alle in der Natur vorkommenden Grössen, egal welcher Art, sind auf einer "Ganzzahl" aufgebaut, also nicht mehr teilbar.

Und darum kann Mathematik nur "richtig" funktionieren (wenn sie die Natur widerspiegeln soll) wenn sie selber auf solcher Grundlage aufsetzt.

Wenn nun ein Zahlensystem verwendet wird dass es zulässt dass, egal aus welchen Gründen (Notwendigkeiten) auch immer, eine "Nichtganzzahl", egal in welcher Form (z.B. Unendlich), aurtritt, dann hat diese Mathematik nichts mit der Natur zu tun.
Ist also ungeeignet diese zu beschreiben.
Fehler sind vorprogrammiert!

Wie es scheint arbeitet die Natur nichtlinear.
Somit muss das verwendete Zahlensysten zwangsweise auch so arbeiten.
Wir sind es gewohnt in 1+1+1+ zu rechnen, die Natur macht das nicht.
Ich habe mit meinem "Regelungsbeispiel" versucht das zu verdeutlichen.

Das bedeutet auch dass es keinerlei Unschärfe gibt, geben kann.
Denn diese ist schon dadurch ausgeschlossen dass nur "Ganzzahlen" verwendet werden.
Dass das in der Natur so ist zeigt sich dadurch dass sie nur -ganze- Sachen macht.
Die "Ganzzahl" in der Natur ist eine "ganze Schwingung", die Dauer einer Schwingung, die Dauer zwischen zwei gleichen Zuständen einer Schwingung, der Zustand "Takt", die Trägertaktung.

Denn eine Änderung erfolgt nur nach einer "Taktung", also einer ganzen Schwingung, also einer "Ganzzahl".

Gruss Kurt

[Der_Dscho]

Hi,

Alle in der Natur vorkommenden Grössen, egal welcher Art, sind auf einer "Ganzzahl" aufgebaut, also nicht mehr teilbar.

Es wäre nett, du würdest das mal anhand eines Beispiels erklären.

Dscho

[ralfkannenberg]

einige Begriffe verstehe ich nicht, bzw. kann ich nur erahnen.

Hallo Kurt,

dann frage bitte nach. Es ist mir ein grosses Anliegen, dass alle Teilnehmer die verwendeten Begriffe verstehen, und wir sollten uns auch ausreichend Zeit nehmen, mit diesen vertraut zu werden oder - auch das kann eine Option sein - gewisse Begriffe wegzulassen, wenn man sie durch geeignetere Begriffe ersetzen kann.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Hallo Kurt,

Alle in der Natur vorkommenden Grössen, egal welcher Art, sind auf einer "Ganzzahl" aufgebaut, also nicht mehr teilbar.

hier wäre ich an einer Antwort an den Dscho ebenfalls sehr interessiert.

Und darum kann Mathematik nur "richtig" funktionieren (wenn sie die Natur widerspiegeln soll) wenn sie selber auf solcher Grundlage aufsetzt.

Könntest Du dies bitte begründen ? Ich sehe keinerlei Anlass für eine solche Einschränkung, dass die Mathematik die Natur wiederspiegeln müsse. Das braucht übrigens auch die theoretische Physik nicht zu tun, da man in beiden Disziplinen schliesslich problemlos den Voraussetzungen der jeweiligen Theoreme entnehmen kann, ob die Natur wiedergespiegelt wird oder nicht.

Die Mathematik bietet geeignete Werkzeuge, wenn man eine solche Einschränkung aufgrund der konkreten Fragestellung einer Anwendung benötigt; so wird man im Falle von ganzzahligen Werten nur auf eine Ring-Struktur (z.B. einen Integritätsbereich) zurückgreifen können und nicht auf eine volle Körper-Struktur, aber hier muss dann eben der Anwender, also die Person, die die Fragestellung aufwirft, zu entscheiden haben, welche der von der Mathematik angebotenen Theorien er verwenden kann.

Deswegen der Mathematik oder der theoretischen Physik verbieten zu wollen, auch die anderen Theorien bereitzustellen, wäre indes absurd. Und die Unterscheidungen der verschiedenen Theorien wird über die Voraussetzungen geregelt.


Freundliche Grüsse, Ralf

[richy]

Hi
Das Thema finde ich recht interessant. Hier wird dieses zum Teil angesprochen :
http://www.zeit.de/2008/29/N-Mathematik-und-Realitaet

»Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott gemacht, alles andere ist Menschenwerk«, sagte der Mathematiker Leopold Kronecker 1886 und provozierte damit seine Kollegen. »Der liebe Gott hat noch sehr, sehr viel mehr gemacht«, widerspricht Günter Ziegler, Präsident der Deutschen Mathematiker-Vereinigung und Professor an der Technischen Universität Berlin. Er beschreibt damit die Haltung der meisten Mathematiker: Sie betrachten sich nicht als Erfinder der Formeln und Gesetze, sondern als deren Entdecker, so wie Biologen neue Tierarten finden oder Astronomen neue Sternennebel.

Folgendes Einsteinzitat aus dem Link wird uebrigends sehr selten verwendet.

Wie ist es möglich«, sagte Einstein, »dass die Mathematik, die doch ein von aller Erfahrung unabhängiges Produkt des menschlichen Denkens ist, auf die Gegenstände der Wirklichkeit so vortrefflich passt?«

Ich meine damit bringt Einstein zum Ausdruck, dass seitens der Mathematik zunaechst gar kein Anspruch darauf besteht zur physikalischen Realitaet perfekt zu passen. So sehe ich das auch.

Werden mathematische Gesetze geschaffen oder lediglich entdeckt ? Die Frage beschaeftigte schon Goedel und er konnte sie nicht loesen. Anders formuliert : Ist den Zahlen eine unabhaengige Existenz zuzusprechen ? Das Modell von Heim ist nicht akzeptiert. Es wuerde die Frage in der Form beantworten, dass wenigstens den Primzahlen eine unabhaengige Existenz zukommt. Das geht schon mehr in eine philosophische Fragestellung und so wird jeder auch abhaengig von seinem Weltbild die Aussagen in obigem Link anders bewerten. Ich persoenlich teile zum Beispiel einige Meinungen dort nicht, sondern nehmen einen Realismus an.

Wenn man sich die Frage stellt ob denn ein Kontinuum existiert oder alle Groessen diskretisiert sind, dann ist es vor allem von Interesse ob sich dabei grundlegede Unterschiede in der Beschreibung der physiklaischen Welt ergeben. Dem ist bei chaotischen Systemen tatsechlich so. Eine Differenzengleichung verhaelt sich nicht so wie die entsprechende Differentialgleichung. Hier habe ich das mal in kleinen numerischen Experimenten an der Verhulst Gleichung demonstriert. Diese versteht man als Entwicklung einer Population. Populationen sind stets ganzzahlig. Dies wird aber in der logistischen Gleichung nicht beruecksichtigt, sondern lediglich die zeitlche Diskretisierung. Und es ergibt sich alleine dadurch schon ein Unterschied im Verhalten :
http://home.arcor.de/richardon/richy200 ... _error.htm

@Kurt
Es ist eher so, dass uns teilweise gar nichts anderes uebrig bleibt als ganzzahlig zu rechnen. Denn komplexe Probleme fuehren meist zu mathematischen Modellen, die nicht mehr analytisch loesbar sind. So laesst sich z.B. die Schroedingergleichung schon bei wenigen Teilchen nur noch numerisch simulieren. Ebenso verhaelt es sich bei Loesungen der ART. Die moderne Forschung basiert auf numerischen digitalen Simulationen und ein Digitalrechner kennt nur natuerliche Zahlen. Mir erscheinen deine Aussagn hierzu jedoch etwas widerspruechlich. Denn auf der einen Seite gehst du von ener quantisierten Welt aus und auf der anderen Seite ktitisierest du, dass eine Fliesskommadarstellung von Pi mit endlichen Nachkommastellen nicht exakt moeglich ist. Einfacher ausgedrueckt : In einer diskretisierte Welt existieren ueberhaupt keine exakten Kreise. Die Mathematik wuerde somit ueber das hinausgehen was ueberhaupt existieren kann. Wobei die Mathematik in der Lage ist auch rein diskret zu rechnen.Schon bei diophantischen Gleichungen zeigt sich, dass dies keinesfalls einfacher ist. Eher schwieriger. Man koennte vielleicht eingestehen, dass sich die Ing-Mathematik zu sehr auf die Beschreibung linearer Systeme mittels Infinitesimalrechnung spezialisiert hat. Im digitalen Zeitalter gewann die Z-Transformation an Bedeutung, aber diese kann nur lineare Systeme erfassen. Es hindert dich niemand daran Loesungsmethoden fuer nichtlineare diskrete Systeme zu erarbeiten. Allerdings kann ich dir sagen, dass du hierbei sehr wahrscheinich nicht sehr weit kommst.
Viele Gruesse

[Kurt]

Hi,

Alle in der Natur vorkommenden Grössen, egal welcher Art, sind auf einer "Ganzzahl" aufgebaut, also nicht mehr teilbar.

Es wäre nett, du würdest das mal anhand eines Beispiels erklären.

Servus Dscho,

Plank hat gesehen/erkannt, dass seine Schwarzstrahler "Energie" nur in Portionen händeln.
Es gab also keine unendliche Auflösung seines Lichtes.

Das kann man jetzt damit begründen dass er ja nur bis zu bestimmten Frequenzen hochkam.
Das wiederum ist aber dadurch abweisbar dass man das ja durch den Dopplereffekt (Bewegung) in unendliche Auflösung überführen könnte.

Egal, er hat nur gequantelte "Energie" festgestellt.

Ralf, hier gleich etwas zur "Energie".
Der Energiewert ergibt sich aus Frequenz und einer "Konstante".
Es ist also eine Zahl, eine Variable vorhanden.
Lassen wir diese errechnete Variable namens "Energie" weg, dann bleibt die Frequenz übrig.
Frequenz ist die Wiederholung gleicher Vorgänge.
Jeder dieser Vorgänge hat eine Dauer.

Aus dem Energiequant wird also ein Dauerquant.

Dauer ist etwas das mit Dauern zusammenhängt.
Und es ist immer eine volle "Frequenzschwingung" die eine Dauer kennzeichnet.
Plank hat also erkannt/festgestellt dass es immer in -ganzen Schwingungen- zugeht.

Es gibt also nur Änderungen die mindestens eine "Dauer" als Dauer benötigen.
1/Dauer ergibt Frequenz, Frequenz ergibt Taktung.

Plank sah dass Änderungen einer Taktung bedürfen damit sie stattfinden, dass Änderungen nicht kontinuierlich erfolgen, sondern gequantelt.

Dass die "Natur" nichtlinear arbeitet hab ich schon geschrieben.
Umgesetzt auf die "Rechenmethode sie zu beschreiben" heisst dass das das sie nicht linear beschrieben werden kann.
Kann schon, aber eine Fehlerwarscheinlichkeit gegeben ist.

In der "Natur" ist es bestimmt kein Problem einen Kreis zu händeln, mit unserer Mathematik schon.

Folgende Überegungen:
Wir haben einen Kreis, bestehend aus lauter Einzelteilen.
Die Einzelteile können beliebig gewählt werden, Hauptsache sie -besetzen- "Raum", brauchen Platz, bilden einen Kreis der aus irgendwas besteht.
Also keine Punkte.

Wenn wir begriffen haben wie die Natur diesen Kreis händelt dann haben wir einen wichtigen Schritt getan.
Denn:
Sie kann den Kreis in jede Teilung zerlegen.
Wir können das mit unserer Mathematik nicht.
Zerschneide den Kreis in zwei Teile, zerschneide ihn in drei Teile.

Es geht nicht, es bleibt ein Rest, so oder so.
Den Rest kennt die Natur nicht, sie arbeitet immer mit Ganzzahlen, mit ganzen Takten.
Zwischenschritte gibts nicht.

Gibt es eine mathematische Methode den Kreis, die Anzahl seiner Bausteine, durch zwei und durch drei zu teilen ohne dass ein Rest bleibt?

Wenn ja, das könnte die richtige sein.


Gruss Kurt

[ralfkannenberg]

Hi,

Alle in der Natur vorkommenden Grössen, egal welcher Art, sind auf einer "Ganzzahl" aufgebaut, also nicht mehr teilbar.

Es wäre nett, du würdest das mal anhand eines Beispiels erklären.

Servus Dscho,

Plank hat gesehen/erkannt, dass seine Schwarzstrahler "Energie" nur in Portionen händeln.

Hallo Kurt,

Du hast geschrieben, alle in der Natur vorkommenden Grössen "egal welcher Art" seien auf einer Ganzzahl aufgebaut, und Du benennst gerade mal ein Beispiel.

Niemand bezweifelt hier, dass es mindestens eine in der Natur vorkommende Grösse gibt, die auf einer Ganzzahl aufgebaut ist; eine davon hast Du genannt und eine andere, die Elementarladung, wurde auch schon genannt.

Was ist mit den übrigen ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[richy]

Hi Ralf

Wahrscheinlich geht Kurt davon aus, dass die Rauzeit selbst quantisiert ist und alle Teilchen aus Geometrien daraus bestehen. Vergleichbar mit einem Digitalrechner. Aehnlich dem Konzept der Loop Quantengravitation oder B.Heim. Dann muss man sich auch die Frage stellen wie ein leerer Raum Vakuum aussieht. Der sollte eine groesstmoegliche Symetrie aufweisen. Bei meinem vereinfachten Beispiel an Kurt ging ich von einem ungekruemmten Minkowskiraum in kartesischen Koordinaten aus. Um darueber die Frage bezueglich der Existenz irrationaler oder transzendenter Zahlen zu klaeren muesste man auch ueberlegen, wie dieser Raum denn beim Urknall aussah und wie so ein Raum expandiert. Gibt es bei der LQG diesbezueglich Aussagen ?

Hi Kurt

Wir haben einen Kreis, bestehend aus lauter Einzelteilen.
Die Einzelteile können beliebig gewählt werden, Hauptsache sie -besetzen- "Raum", brauchen Platz, bilden einen Kreis der aus irgendwas besteht.

Ok in dem Fall zieht mein Gegenbeispiel nicht. Dieses kann man in Form eines Rechnblattes veranschaulichen. Wenn du die Raumzeitzellen als die Rechenkkaetschen verstest, dann bilden die Linien des Rechenblattes aehnlich der LQG (dort sind es Dreiecke und das Voronoi Diagramm) eine dazu duale quantisierte Netz-Struktur. Die Kreuzungen der Linien stellen Punkte dar. Die Quantisierung erzeugt somit eine Punktmenge und die Aufgabe besteht nun darin Punkte zu verbinden , so dass ein Kreis entsteht. Und das geht natuerlich nur naeherungsweise. Eine einfachere Formulierung waere :
Faerbe die Rechenkaestchen so ein, dass ein Kreis entsteht.

Weche physikalischen Auswirkungen habe die beliebigen Kruemmungen deiner Quantisierungszellen ?

Zur Frequenz :
****************
Ueber diesen Begriff haben die Meisten eine falsche Vorstellung. Unsere Mathematik hat sich hier wohl aufgrund unserer Sinnesorgane, insbesonders der Gehoers in diese Richtung der Integraltransformationen entwickelt. Die Frequenz ist eine "konjungierte" Groesse zur Periodendauer. Wenn du die Periodendauer, damit die Zeit als physikalische Realitaet betrachtest, dann ist die Frequenz keine Groesse dieses Beschreibungsraunes sonder tatsaechlcih nur gedacht. Und das zeigt sich in der makroskopischen Unschaerferelation der Nachrichtentechnik. Man kann diese Ungenauigkeit in der Denkweise aber auch ohne Fouriertransformation veranschaulichen.
Ein scharfer Frequenzwert entspricht der Fouriertransformierten einer harmonischen Schwingung, die fuer unendliche Zeit existiert. Du betrachtest somit den Ausdruck y(t)=sin(omega*t) mit omega=2Pi*Frequenz. Und hier ist der Begriff der Unendlichkeit in der Funktion sin() enthalten. Das wird gerne uebersehen. Die Groesse f existiert fuer sich alleine ueberhaupt nicht in sinnvoller Weise sondern nur als Funktionsargument. Wendet man auf diese Funktion die Foeriertransformation an, dann wuerde f einen Sinn machen, aber in dieser Transformation musst du ueber eine unendlich lange Zeit integrieren. Und so lange leben wir alle nicht.

Frequenz ist die Wiederholung gleicher Vorgänge.

Damit kannst du voellig daneben liegen. Wenn du eine Schwebung betrachtest, dann kannst du eine Periodendauer der "Schwebungsfrequenz" Im Zeitsignal ausmessen. Diese Schwebungsfrequenz existiert aber gar nicht ! Kein Frequezanalyzer wird sie dir anzeigen, sondern nur die beiden verstimmten Frequenzen. Nicht deren Differenz/2 oder Summe/2.

1/Dauer ergibt Frequenz,

Noe.Siehe Beispiel oben. Aus der Fouriertransformation kannst du ein Frequenzband bestimmen. Aber lassen wir mal das Schwebungsbeispiel beiseite und betrachten eine Sinusschwingung. Du verstehst die Frequenz als genau einen scharfen Wert. Das ist eine Idealisierung. Und dir geht es ja um Genauigkeit. Um diesen zu erhalten must du aber unendlich lange warten.Du bringst den Begriff der Unendlichkeit mit ins Spiel. Den wolltest du aber gerade vermeiden.
Gruesse

[ralfkannenberg]

Hallo richy,

Werden mathematische Gesetze geschaffen oder lediglich entdeckt ? Die Frage beschaeftigte schon Goedel und er konnte sie nicht loesen. Anders formuliert : Ist den Zahlen eine unabhaengige Existenz zuzusprechen ?

Ich persönlich möchte mich bei solchen zweifelsohne interessanten Fragestellungen mangels Kompetenz etwas zurückhalten, wenn da von Euch (konkret von Dir) etwas kommt, super.

Das Modell von Heim ist nicht akzeptiert. Es wuerde die Frage in der Form beantworten, dass wenigstens den Primzahlen eine unabhaengige Existenz zukommt.

Nur eine kleine Ergänzung: Das Wort Primzahl erscheint mir in diesem Zusammenhang als zu eng gefasst und sollte durch den allgemeineren Begriff des Primelementes, den es in Ringen gibt, ersetzt werden. Und solange kein Körper vorliegt ist die Menge der Primelemente auch nicht-trivial. So kann man beispielsweise die Primelemente der Ringe IZ[sqrt(2)], IZ[sqrt(3)], IZ[sqrt(5)], IZ[sqrt(-1)], IZ[sqrt(-2)], IZ[sqrt(-3)] betrachten; wir mussten das einmal in einer Algebra-Übung tun und das führte dann irgendwie zu Pflasterungen und Überdeckungen; ich habe das alles wieder vergessen.

Zur Notation: IZ sollen die ganzen Zahlen sein, Ring[k] heisst "Ring adjungiert k", also die Menge aller Ausdrücke der Form (r₁+r₂*k) mit r₁ und r₂ im Ring, und sqrt(n) soll die "Quadratwurzel von n" sein. - Ich will an dieser Stelle sicherheitshalber fordern, dass es eine Potenz von k gibt, die im Ring liegt, also eine algebraische Adjungierung fordern; möglicherweise braucht es das nicht und wir können auch transzendente Adjungierungen zulassen.

Wenn man sich die Frage stellt ob denn ein Kontinuum existiert

Soviel ich weiss ist diese Frage bis heute nicht beantwortet, was mich erstaunt, denn man kann das Kontinuum ja gut beschreiben und sowohl die Cauchy-Folgen als auch die noch viel eleganteren Dedekind'schen Schnitte sind ja meines Wissens wohldefiniert und widerspruchsfrei. Wir kommen hier also in das äusserst anspruchsvolle Gebiet von Existenzfragen.

Denn auf der einen Seite gehst du von ener quantisierten Welt aus und auf der anderen Seite ktitisierest du, dass eine Fliesskommadarstellung von Pi mit endlichen Nachkommastellen nicht exakt moeglich ist. Einfacher ausgedrueckt : In einer diskretisierte Welt existieren ueberhaupt keine exakten Kreise. Die Mathematik wuerde somit ueber das hinausgehen was ueberhaupt existieren kann.

Warum ? Man könnte ja auf der Basis pi rechnen; dann hätten halt beispielsweise die Zahlen 1 und 2 unendlich viele Kommastellen und würde es mit diesem Anspruch irgendwie nicht "geben" können.

Wobei die Mathematik in der Lage ist auch rein diskret zu rechnen.

Ganz wichtiger Punkt; das ist es, was ich öfter schon auszudrücken versucht habe, wenn ich auf die Unterscheide in der Mathematik in Ringen und in Körper hingewiesen habe.

Schon bei diophantischen Gleichungen zeigt sich, dass dies keinesfalls einfacher ist. Eher schwieriger.

Das ist aber sehr wohlwollend formuliert

@all: Das Rechnen in Ringen ist im Allgemeinen viel schwieriger !


Herzlichen Dank für Deinen sehr guten Beitrag !


Freundliche Grüsse, Ralf