Grenzwertbildung aus unendlich vielen je endlichen Zahlen

Ein hypothetisches Universum auf der Basis der bindlschen Vorstellungen von Physik

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Grenzwertbildung aus unendlich vielen je endlichen Zahlen

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 25. November 2011, 10:37

Hallo zusammen,

hier wurde die Frage aufgeworfen, wie denn eine Grenzwertbildung funktioniert, welche Unterschiede es zwischen abzählbaren und überabzählbaren Mengen in diesem Zusammenhang gibt und ob der Grenzwert selber überhaupt erreicht wird.

Um den Beweis-Thread nicht übermässig zu belasten habe ich diese Thematik in einen eigenen Thread ausgelagert.


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Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 25. November 2011, 13:28

Hallo zusammen,

die Überschrift dieses Threads ist auf den ersten Blick vermutlich nicht ganz einfach verständlich. Um was geht es ?

Nun, eine Grenzwertbildung hat damit zu tun, dass man eine "Folge" von unendlich vielen Folgengliedern angibt, welche sich einem gewissen Wert beliebig nahe annähern. Man sagt nicht, dass diese Folge diesen Wert auch wirklich erreicht, sondern nur, dass sich die Folgenglieder diesem Wert beliebig nahe annähern. Man macht auch keinerlei Aussage, ob die Auswahl der Folgenglieder irgendwie "intelligent" oder "optimiert" ist - es ist nicht Aufgabe der Mathematik, sowas zu bewerten - sondern die Mathematik liefert nur Kriterien, die Folgeglieder zu beschreiben.

Wichtig für uns:
1. Jedes Folgenglied ha einen endlichen Wert
2. Der Grenzwert selber einer Grenzwertbildung wird niemals erreicht ! Er wird nur beliebig genau angenähert.

Wo liegt der Unterschied ?

Nehmen wir die Zahl sqrt(2), das ist die positive Quadratwurzel von 2. Diese kann man mit Dezimalstellen beliebig genau annähern. Ich kann sagen, ich möchte die auf 5 Kommastellen genau angeben.

Dann gilt z.B. 1.41421 < sqrt(2) < 1.41422, oder als rationale Zahlen geschrieben:
141421/100000 < sqrt(2) < 141422/100000

Ich kann also formal zwei Folgen betrachten:

Folge_1: (1, 1.4, 1.41, 1.414, 1.4142, 1.41421, ...)
Folge_2: (2, 1.5, 1.42, 1.415, 1.4143, 1.41422, ...)

und wenn ich diese beiden Folgen richtig definiert habe, dann gilt für jedes Folgenglied:

n.-tes Folgenglied der Folge_1 < sqrt(2) < n.-tes Folgenglied der Folge_2

Ich schreibe diese beiden Folgen nochmals etwas anders auf, um zu verdeutlichen, dass die Folgenglieder ausnahmslos rationale Zahlen sind:

Folge_1: (1/1, 14/10, 141/100, 1414/1000, 14142/10000, 141421/100000, ...)
Folge_2: (2/1, 15/10, 142/100, 1415/1000, 14143/10000, 141422/100000, ...)


Was sehen wir ?

Nun, wir sehen, dass jedes Folgenglied dieser beiden Folgen eine rationale Zahl ist. Dennoch kann man daraus nicht folgern, dass der Grenzwert auch eine rationale Zahl sei, denn wie man weiss, ist sqrt(2) keine rationale Zahl. Diese Zahl existiert aber, da man mit Zirkel, Lineal und Einheitsmassstab problemlos ein Quadrat der Kantenlänge 1 und seine Diagonale (die hat ja Länge sqrt(2), wie man beispielsweise mit dem Satz von Pythagoras zeigen kann) konstruieren kann.

Und wir sehen noch etwas:

Wir sehen, dass man mit rationalen Zahlen reelle Zahlen beliebig genau annähern kann. Das ist eine sehr wichtige Eigenschaft und in der Mathematik sagt man, dass die Menge der rationalen Zahlen dicht liegt in der Menge der reellen Zahlen.

Warum ist das so wichtig ? Nun: Die rationalen Zahlen sind abzählbar und die reellen Zahlen sind überabzählbar. Salopp formuliert: Mit abzählbaren Mengen kann man einfach rechnen, aber überabzählbare Mengen sind so furchtbar schrecklich gross, dass man ihnen besser aus dem Weg geht. Es gibt noch eine einfache Konsequenz: Die Summe abzählbar vieler echt positiver Zahlen kann endlich bleiben, die Summe überabzählbar vieler echt positiver Zahlen indes wächst immer über alle Schranken.

Ok, von einem philosophischen Standpunkt könnte man hier noch einwänden, wie man denn überhaupt eine Summenbildung über eine überabzählbare Indexmenge definieren will. Aber wenn man naiverweise annimmt, dass dies „irgendwie“ gelungen sei, dann kann man das zeigen.


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Re: Grenzwertbildung aus unendlich vielen je endlichen Zahle

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 25. November 2011, 23:53

Hallo richy, hallo interessierte Mitleserinnen und Mitleser,

ich möchte mich nun richy's o.g. Beitrag, der ja Anlass für diesen Thread gab, widmen.

richy hat geschrieben:Ich meine wir schreiben gerade etwas aneinander vorbei. Bei "Induktion" denkt man mathematisch an natuerliche Zahlen. Aber der Begriff wird bei Hume oder Popper scheinbar allgemeiner ausgelegt. Ich habe mich daher gefragt, wie koennte dies gemeint sein. Und daher das Beispiel mit (limes 1/x,x->00). Der Grenzwert existiert. Ich schliesse auf ihn, weil ich annahme die Funktion konvergiert. Aber den Grenzuebergang selbst kann ich gar nicht betrachten.

Das ist richtig, den Grenzübergang selber kannst Du nicht betrachten. Der Grund dafür ist banal: Du kannst ihn deswegen nicht betrachten, weil erstens ein "x=oo" nicht definiert ist und entsprechend auch kein "f(x=oo)" definiert ist. Alles was Du sagen (d.h. beweisen) kannst, ist, dass f(x) = 1/x für "x->oo" gegen 0 konvergiert.

richy hat geschrieben:Ich meinte schon x element IR. Mal voellig unabhaengig von der vollstaendigen Induktion. Wie zeige ich, dass der Grenzwert existiert, ohne in der Beweisfuehrung selbst auf einen Grenzwert zurueckzugreifen ?

Das ist ungenau formuliert, denn den Grenzwert kennen wir ja, der hat den Wert 0. Wir kennen nur nicht das x, dessen Funktionswert gleich 0, also gleich dem Grenzwert ist.

Intuitiv kennen wir dieses x natürlich, es ist ja dieses "x=oo", aber eben: oo ist nicht Element IR.

Dadurch, dass Konvergenzen über endliche Grössen definiert sind, spielt das aber keine Rolle.

Natürlich, das "unendlich" ist schon irgendwo "verpackt": Bei abzählbar unendlichen Mengen ist es in den Peano-Axiomen, also in der Induktion versteckt, und bei überabzählbaren Mengen in der Formulierung "für alle gilt". Weder die Peano-Axiome noch der logische Operator "für alle gilt" machen sich Gedanken darüber, ob etwas endlich ist oder nicht, man kann aber zeigen, dass man beide für Mengen verwenden kann, die nicht endlich sind. Wie eine "nicht-endliche" Menge dann auszusehen hat wird zunächst nicht weiter untersucht - man weiss nur, dass sie nicht notwendig bijektiv zu einer endlichen Menge sein muss.


richy hat geschrieben:Kann man daraus schliessen, dass die Konvergenz fuer den Grenzuebergang fuer x element IR gar nicht beweisbar ist ? Das nehme ich eher nicht an.

Deine Annahme mag intuitiv sein, sie ist selbstverständlich richtig. Wie gesagt: Man führt den Beweis mit Zahlen, die allesamt endliche Zahlen sind. Von solchen gibt es unendlich viele, aber jede von ihnen ist endlich.

richy hat geschrieben:Unter dem Begriff "alle" verstehe ich eine unbegrenzte Anzahl. Wenn ich noch ein Element hinzufuegen kann, dann waren es nicht "alle" Elemente. Du meinst dazu muesste das Element "Unendlich" selbst nicht zur Menge gehoeren ?

Wieso ? Formal kannst Du doch zu jeder Menge noch ein Element hinzufügen. So kannst Du zur Menge der natürlichen Zahlen beispielsweise noch die Zahlen "-1" und "1/2" zufügen. Das ändert aber nichts daran, dass das Element "oo" nicht zu den natürlichen Zahlen gehört. Übrigens auch nicht zur - nota bene wohldefinierten - Menge IN vereinigt mit {-1, 1/2}.

Und tatsächlich gehört ein Element "oo" weder zu IN noch zu IR.


richy hat geschrieben:Wenn du "lim n in IN" verwendest und "Unendlich" ausschliest, willst du dann ausdruecken, dass du nicht den Grenzwert berechnest ? Genau den will man doch aber in der Praxis erhalten. Wenn ich berechne s=1/x, limes x-> 00, dann erhalte ich fuer a den Wert 0. Waere dies bei m=1/n, lim n in IN anders ?

Das sind in Wirklichkeit 2 Fragen: Die erste ist die Grenzwertberechnung selber. Wenn die Grenzwertberechnung konvergiert, so existiert der Grenzwert. Es kann aber passieren, dass man keinen Urbildpunkt für den Grenzwert findet: Bei der Funktion f(x) = 1/x gibt es kein x in IR, für das f(x) = 0 wäre.

Die zweite betrifft die Abzählbarkeit. Wie willst Du einen Grenzwert über eine überabzählbare Indexmenge bilden ? Sowas ist zunächst einmal nicht definiert. Da aber die rationalen Zahlen dicht in den reellen Zahlen liegen, kannst Du jede reelle Zahl durch zwei rationale Zahlen beliebig genau approximieren und somit die konvergente Folge der reellen Zahlen durch zwei konvergente Folgen aus rationalen Zahlen ersetzen. Die Dreieckungleichung sorgt dafür, dass man das hinkriegt.

Sagen wir es einmal so: lim x->oo würde ich intuitiv nicht durch x in IR ersetzen, sondern mich hier auf die Stetigkeit und die Dichtheit berufen. Dazu beraucht es schon ein bisschen Analysis, aber es geht auf. Wichtig ist nur, dass man mit endlich grossen Zahlen operiert, ein "x=oo" oder ein "n=oo" indes nie erreicht. Die Konvergenz-Definitionen sind aber so gehalten, dass man es auch nicht benötigt.

Was macht man mit der Abzählbarkeit, wenn man Folgen in den komplexen Zahlen betrachten möchte ? Auch das ist kein Problem, weil die rational-komplexen Zahlen IQ(i) = {p + i*q mit p und q in IQ} dicht in den komplexen Zahlen liegen und ebenfalls abzählbar sind.


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Re: Grenzwertbildung aus unendlich vielen je endlichen Zahle

Beitragvon richy » Samstag 26. November 2011, 02:26

Hi Ralf
Vielen Dank fuer die Erklaerungen. Ich denke ueber das Beispiel einer oberen und unteren Schranke fuer Wurzel(2) ist mir nun schon der Unterschied klar geworden, dass die Schranke aus einer Menge abzaehlbarer Zahlen gebildet wird wobei der Grenzwert zu nichtabzaehlbaren Zahlen gehoeren kann.

Nun, eine Grenzwertbildung hat damit zu tun, dass man eine "Folge" von unendlich vielen Folgengliedern angibt, welche sich einem gewissen Wert beliebig nahe annähern.

Wenn du hier "unendlich" bewusst gewaehlt hast, dann haette ich deine folgende Argumentation in etwa verstanden. Dann loest man das Problem so, dass man die Ueberabzaehlbarkeit der irrationalen Zahlen durch eine Menge Zahlen ersetzt, die abzaehlbar sind ? Warum stellt die Ueberabzaehlbarkeit in dem Fall ueberhaupt eine eigene Problematik dar ? Weil auf sie keine Induktionsargumente angewendet werden koennen ?

Man sagt nicht, dass diese Folge diesen Wert auch wirklich erreicht, sondern nur, dass sich die Folgenglieder diesem Wert beliebig nahe annähern.
Ok, da habe ich eventuell eine falsche Vorstellung. Im Ingenieurwesen wird schon von Grenzuebergang gesprochen. Das waere dann ja falsch. Vielleicht auch nicht, wenn du den Ausdruck "unendlich" den ich fett markiert habe bewusst gewaehlt hast. Erreicht die Folge aus abzaehlbaren Elementen den Grenzuebergang "unendlich" ? Nur so schein mir auch der Ausdruck "fuer alle" im Rahmen der vollstaendigen Induktion gerechtfertigt.

Nun, wir sehen, dass jedes Folgenglied dieser beiden Folgen eine rationale Zahl ist. Dennoch kann man daraus nicht folgern, dass der Grenzwert auch eine rationale Zahl sei, denn wie man weiss, ist sqrt(2) keine rationale Zahl.


Das waere fuer mich jetzt sogar ein Beispiel, dass beim Grenzwert eine voreilige Induktive Annahme nicht mehr zutrifft.

Ich beobachte :
Folge_1: (1/1, 14/10, 141/100, 1414/1000, 14142/10000, 141421/100000, ...)
Das erste Element ist rational
Ist das Element k rational so ist auch das Element k+1 rational
Welcher Menge ist die Zahl nun zuzuordnen wenn Zaehler und Nenne unendlich viele Stellen aufweisen ?
Anderes Beispiel :
Nehmen wir Summe(9*10^-k, k=0.."infinity") 9/10+9/100+9/1000
Das Ergebnis ist offensichtlich die ganze Zahl eins. Wird aus dem Bruch bei beliebiger Annaeherung von k an "unendlich" eine ganze Zahl oder bleibt dies stets ein Bruch ?

Dein Beitrag 2 :
Das ist ungenau formuliert, denn den Grenzwert kennen wir ja, der hat den Wert 0.
Hnmm, wollen wir dies nicht gerade zeigen ? Dass dies der Grenzwert ist.

Man führt den Beweis mit Zahlen, die allesamt endliche Zahlen sind. Von solchen gibt es unendlich viele, aber jede von ihnen ist endlich.

So ganz verstehe ich das noch nicht. Betrachten wir die Summenvariable k. Wenn es unendlich viele Summanden sein sollen, dann muss sie doch den "Wert" unendlich annehmen.
Das ändert aber nichts daran, dass das Element "oo" nicht zu den natürlichen Zahlen gehört.
Ok, dese Aussage fallt mir am leichtesten zu akzeptieren.
Bei der Funktion f(x) = 1/x gibt es kein x in IR, für das f(x) = 0 wäre.
Ok, dann kann ich dies auch akzeptieren.
Das heisst wenn ich den Grenzwert einer Variablen zuordne, so duerfte ich streng genommen nicht sage, dass diese im Beispiel den Wert "0" aufweist sondern einen Grenzwert verkoerpert ? Ich sehe einfach den Unterschied nicht :-(
Ich meine auch das 1/x Beispiel ist bischen ungeeignet. Das Summenbeispiel waere fuer den Anfang vielleicht geeigeter.

So ganz hat es bei mir leider noch nicht "click" gemacht.

Viele Gruesse
Jede Identifikation einer Person mittels Religion, Rasse oder Nationalität ist ein geistiges Konzentrationslager. (Mario Vargas Llosa)
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Re: Grenzwertbildung aus unendlich vielen je endlichen Zahle

Beitragvon ralfkannenberg » Montag 28. November 2011, 17:10

Hallo richy,
richy hat geschrieben:Ich denke ueber das Beispiel einer oberen und unteren Schranke fuer Wurzel(2) ist mir nun schon der Unterschied klar geworden, dass die Schranke aus einer Menge abzaehlbarer Zahlen gebildet wird wobei der Grenzwert zu nichtabzaehlbaren Zahlen gehoeren kann.

beachte hierbei bitte noch das Wörtchen "kann" - die sqrt(2) entstammt als algebraische Zahl (sogar vom Grade 2) natürlich auch einer abzählbaren Menge. Der Grenzwert ist im Allgemeinen aber eine nicht-algebraische reelle Zahl.

richy hat geschrieben:Wenn du hier "unendlich" bewusst gewaehlt hast, dann haette ich deine folgende Argumentation in etwa verstanden. Dann loest man das Problem so, dass man die Ueberabzaehlbarkeit der irrationalen Zahlen durch eine Menge Zahlen ersetzt, die abzaehlbar sind ? Warum stellt die Ueberabzaehlbarkeit in dem Fall ueberhaupt eine eigene Problematik dar ? Weil auf sie keine Induktionsargumente angewendet werden koennen ?

Deine Frage ist völlig berechtigt und zeigt mir, dass Du diese Problematik sehr gut verstanden hast. Meine Antwort wird Dich vermutlich nicht befriedigen: Es war eine reine Vorsichtsmassnahme von mir.

Im Falle von IR finden wir eine abzählbare Mengen, die dicht in IR liegen; eine solche ist IQ und IQ ist auch Teilmenge jeder anderen in IR liegenden abzählbaren Menge, die dicht ist. Weniger hochtrabend formuliert ist IQ also die "kleinste" Menge, die dicht in IR liegt. Andere in IR dicht liegende Mengen sind beispielsweise der Körper IQ(sqrt(2)) oder der Körper der algbebraischen Zahlen.

Warum also sich aus dem Fenster lehnen wenn es auch abzählbar geht ?

Die Konvergenzdefinitionen beziehen sich aber meines Wissens stets auf einen abzählbaren Indexbereich, d.h. eine Folge von Gliedern mit einem natürlichzahligen Index.

richy hat geschrieben:Ok, da habe ich eventuell eine falsche Vorstellung. Im Ingenieurwesen wird schon von Grenzuebergang gesprochen. Das waere dann ja falsch. Vielleicht auch nicht, wenn du den Ausdruck "unendlich" den ich fett markiert habe bewusst gewaehlt hast.

Nein, ich denke, das ist nicht falsch. Den Grenzwert erreicht man bei einer konvergenten Folge durchaus, nur das x mit f(x) = Grenzwert ist nicht definiert. Im Ingenieurwesen wird man das aber auch nicht benötigen.

Nehmen wir die Funktion f(x) = x; hier könnte man ja auch der Meinung sein, dass sie gegen ein Element "unendlich" konvergiere, im Gegensatz zu einer Funktion f(x) = x für x rational und f(x) = 0 für x irrational; letztere wird für alle x zwischen 0 und x "hin- und herschwanken".

Zur Konvergenz gehören also 2 Eigenschaften:
1. genau ein Häufungspunkt
2. dieser muss endlich sein (d.h. echt kleiner als "unendlich")


richy hat geschrieben:Erreicht die Folge aus abzaehlbaren Elementen den Grenzuebergang "unendlich" ? Nur so schein mir auch der Ausdruck "fuer alle" im Rahmen der vollstaendigen Induktion gerechtfertigt.

Meinst Du den Folgenindex oder den Folgenwert ?

Wobei das keine Rolle spielt, ebensowenig wie die Abzählbarkeit oder die Überabzählbarkeit: "unendlich" ist nicht definiert, d.h. alle Folgenindizes sind endlich und alle Folgenwerte sind ebenfalls endlich. Gäbe es einen nicht-endlichen Folgenwert, so wäre die Folge an dieser Stelle nicht definiert und die Folgenindizes durchlaufen alle natürlichen Zahlen und da ist eben keine unendlich grosse dabei.

richy hat geschrieben:
Nun, wir sehen, dass jedes Folgenglied dieser beiden Folgen eine rationale Zahl ist. Dennoch kann man daraus nicht folgern, dass der Grenzwert auch eine rationale Zahl sei, denn wie man weiss, ist sqrt(2) keine rationale Zahl.

Das waere fuer mich jetzt sogar ein Beispiel, dass beim Grenzwert eine voreilige Induktive Annahme nicht mehr zutrifft.

Guter Einwand, muss ich mir in einer ruhigen Minute mal überlegen, was genau schiefläuft. Momentan sehe ich allerdings nicht, wie man dazu überhaupt eine Induktionsbehauptung formulieren kann, da man ja für alle n tatsächlich eine rationale Zahl erhält und für "unendlich" die Situation (einmal mehr) nicht definiert ist. Hier müsste man also mal ein entsprechendes Theorem formulieren, dass man dann per vollständiger Induktion beweisen will. - Ich meine: Bei einer vollständigen Induktion beweist man, dass ein Resultat für alle n gilt; man beweist nicht, dass es auch für ein n="oo" zu gelten habe, da n="oo" keine natürliche Zahl ist.

richy hat geschrieben:Ich beobachte :
Folge_1: (1/1, 14/10, 141/100, 1414/1000, 14142/10000, 141421/100000, ...)
Das erste Element ist rational
Ist das Element k rational so ist auch das Element k+1 rational
Welcher Menge ist die Zahl nun zuzuordnen wenn Zaehler und Nenne unendlich viele Stellen aufweisen ?

Gar keiner, denn "oo" / "oo" ist nicht definiert.

richy hat geschrieben:Anderes Beispiel :
Nehmen wir Summe(9*10^-k, k=0.."infinity") 9/10+9/100+9/1000
Das Ergebnis ist offensichtlich die ganze Zahl eins. Wird aus dem Bruch bei beliebiger Annaeherung von k an "unendlich" eine ganze Zahl oder bleibt dies stets ein Bruch ?

Wähle ein beliebiges n Deiner Wahl aus IN. Ist das Folgenglied dafür ein Bruch oder (schon) die Zahl 1 ?

richy hat geschrieben:Dein Beitrag 2 :
Das ist ungenau formuliert, denn den Grenzwert kennen wir ja, der hat den Wert 0.
Hnmm, wollen wir dies nicht gerade zeigen ? Dass dies der Grenzwert ist.

Doch. Die Frage war nur, "wo" er erreicht wird. Und erreicht wird er eben nie.

richy hat geschrieben:
Man führt den Beweis mit Zahlen, die allesamt endliche Zahlen sind. Von solchen gibt es unendlich viele, aber jede von ihnen ist endlich.

So ganz verstehe ich das noch nicht. Betrachten wir die Summenvariable k. Wenn es unendlich viele Summanden sein sollen, dann muss sie doch den "Wert" unendlich annehmen.

Warum ? Du hast oben selber eine Reihe, also mit unendlich vielen Gliedern, definiert:

richy hat geschrieben:(9*10^-k, k=0.."infinity") 9/10+9/100+9/1000

... und diese konvergiert gegen 1.

richy hat geschrieben:
Das ändert aber nichts daran, dass das Element "oo" nicht zu den natürlichen Zahlen gehört.
Ok, dese Aussage fallt mir am leichtesten zu akzeptieren.

Das folgt an sich daraus, dass es keine natürliche Zahl n gibt, deren Nachfolger "unendlich" wäre.

richy hat geschrieben:
Bei der Funktion f(x) = 1/x gibt es kein x in IR, für das f(x) = 0 wäre.
Ok, dann kann ich dies auch akzeptieren.

Genau.

richy hat geschrieben:Das heisst wenn ich den Grenzwert einer Variablen zuordne, so duerfte ich streng genommen nicht sage, dass diese im Beispiel den Wert "0" aufweist sondern einen Grenzwert verkoerpert ? Ich sehe einfach den Unterschied nicht :-(

Aber doch, Du siehst den Unterschied doch sehr gut :)

richy hat geschrieben:Ich meine auch das 1/x Beispiel ist bischen ungeeignet. Das Summenbeispiel waere fuer den Anfang vielleicht geeigeter.

Aber nein, die von Dir gewählte Reihenfolge war genau richtig: Erst das einfachere 1/x-Beispiel und dann das komplexere Summenbeispiel. Wobei mir ein anderes Summenbeispiel lieber gewesen wäre, weil das Neunerende für Verwirrung sorgen kann (und wird). Also z.B. das da:

(3*10^-k, k=1.."infinity") 3/10+3/100+3/1000 … oder
(1*10^-k, k=1.."infinity") 1/10+1/100+1/1000 … oder das klassische Beispiel
(1*2^-k, k=1.."infinity") 1+1/2+1/4+1/8 …

Ah, da sehe ich gerade, dass k bei 1 und nicht bei 0 anfängt (was natürlich völlig egal ist)

richy hat geschrieben:So ganz hat es bei mir leider noch nicht "click" gemacht.

Nicht so bescheiden, Du stehst höchstens ein epsilon vor dem "click" :)


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