Hallo richy,
richy hat geschrieben:Ich denke ueber das Beispiel einer oberen und unteren Schranke fuer Wurzel(2) ist mir nun schon der Unterschied klar geworden, dass die Schranke aus einer Menge abzaehlbarer Zahlen gebildet wird wobei der Grenzwert zu nichtabzaehlbaren Zahlen gehoeren kann.
beachte hierbei bitte noch das Wörtchen "kann" - die sqrt(2) entstammt als algebraische Zahl (sogar vom Grade 2) natürlich auch einer abzählbaren Menge. Der Grenzwert ist im Allgemeinen aber eine nicht-algebraische reelle Zahl.
richy hat geschrieben:Wenn du hier "unendlich" bewusst gewaehlt hast, dann haette ich deine folgende Argumentation in etwa verstanden. Dann loest man das Problem so, dass man die Ueberabzaehlbarkeit der irrationalen Zahlen durch eine Menge Zahlen ersetzt, die abzaehlbar sind ? Warum stellt die Ueberabzaehlbarkeit in dem Fall ueberhaupt eine eigene Problematik dar ? Weil auf sie keine Induktionsargumente angewendet werden koennen ?
Deine Frage ist völlig berechtigt und zeigt mir, dass Du diese Problematik sehr gut verstanden hast. Meine Antwort wird Dich vermutlich nicht befriedigen: Es war eine reine Vorsichtsmassnahme von mir.
Im Falle von IR finden wir eine abzählbare Mengen, die dicht in IR liegen; eine solche ist IQ und IQ ist auch Teilmenge jeder anderen in IR liegenden abzählbaren Menge, die dicht ist. Weniger hochtrabend formuliert ist IQ also die "kleinste" Menge, die dicht in IR liegt. Andere in IR dicht liegende Mengen sind beispielsweise der Körper IQ(sqrt(2)) oder der Körper der algbebraischen Zahlen.
Warum also sich aus dem Fenster lehnen wenn es auch abzählbar geht ?
Die Konvergenzdefinitionen beziehen sich aber meines Wissens stets auf einen abzählbaren Indexbereich, d.h. eine Folge von Gliedern mit einem natürlichzahligen Index.
richy hat geschrieben:Ok, da habe ich eventuell eine falsche Vorstellung. Im Ingenieurwesen wird schon von Grenzuebergang gesprochen. Das waere dann ja falsch. Vielleicht auch nicht, wenn du den Ausdruck "unendlich" den ich fett markiert habe bewusst gewaehlt hast.
Nein, ich denke, das ist nicht falsch. Den Grenzwert erreicht man bei einer konvergenten Folge durchaus, nur das x mit f(x) = Grenzwert ist nicht definiert. Im Ingenieurwesen wird man das aber auch nicht benötigen.
Nehmen wir die Funktion f(x) = x; hier könnte man ja auch der Meinung sein, dass sie gegen ein Element "unendlich" konvergiere, im Gegensatz zu einer Funktion f(x) = x für x rational und f(x) = 0 für x irrational; letztere wird für alle x zwischen 0 und x "hin- und herschwanken".
Zur Konvergenz gehören also 2 Eigenschaften:1. genau ein Häufungspunkt
2. dieser muss endlich sein (d.h. echt kleiner als "unendlich")
richy hat geschrieben:Erreicht die Folge aus abzaehlbaren Elementen den Grenzuebergang "unendlich" ? Nur so schein mir auch der Ausdruck "fuer alle" im Rahmen der vollstaendigen Induktion gerechtfertigt.
Meinst Du den Folgenindex oder den Folgenwert ?
Wobei das keine Rolle spielt, ebensowenig wie die Abzählbarkeit oder die Überabzählbarkeit: "unendlich" ist
nicht definiert, d.h. alle Folgenindizes sind endlich und alle Folgenwerte sind ebenfalls endlich. Gäbe es einen nicht-endlichen Folgenwert, so wäre die Folge an dieser Stelle nicht definiert und die Folgenindizes durchlaufen
alle natürlichen Zahlen und da ist eben
keine unendlich grosse dabei.
richy hat geschrieben:Nun, wir sehen, dass jedes Folgenglied dieser beiden Folgen eine rationale Zahl ist. Dennoch kann man daraus nicht folgern, dass der Grenzwert auch eine rationale Zahl sei, denn wie man weiss, ist sqrt(2) keine rationale Zahl.
Das waere fuer mich jetzt sogar ein Beispiel, dass beim Grenzwert eine voreilige Induktive Annahme nicht mehr zutrifft.
Guter Einwand, muss ich mir in einer ruhigen Minute mal überlegen, was genau schiefläuft. Momentan sehe ich allerdings nicht, wie man dazu überhaupt eine Induktionsbehauptung formulieren kann, da man ja für alle n tatsächlich eine rationale Zahl erhält und für "unendlich" die Situation (einmal mehr) nicht definiert ist. Hier müsste man also mal ein entsprechendes Theorem formulieren, dass man dann per vollständiger Induktion beweisen will. - Ich meine: Bei einer vollständigen Induktion beweist man, dass ein Resultat für alle n gilt; man beweist nicht, dass es auch für ein n="oo" zu gelten habe, da n="oo" keine natürliche Zahl ist.
richy hat geschrieben:Ich beobachte :
Folge_1: (1/1, 14/10, 141/100, 1414/1000, 14142/10000, 141421/100000, ...)
Das erste Element ist rational
Ist das Element k rational so ist auch das Element k+1 rational
Welcher Menge ist die Zahl nun zuzuordnen wenn Zaehler und Nenne unendlich viele Stellen aufweisen ?
Gar keiner, denn "oo" / "oo" ist nicht definiert.
richy hat geschrieben:Anderes Beispiel :
Nehmen wir Summe(9*10^-k, k=0.."infinity") 9/10+9/100+9/1000
Das Ergebnis ist offensichtlich die ganze Zahl eins. Wird aus dem Bruch bei beliebiger Annaeherung von k an "unendlich" eine ganze Zahl oder bleibt dies stets ein Bruch ?
Wähle ein beliebiges n Deiner Wahl aus IN. Ist das Folgenglied dafür ein Bruch oder (schon) die Zahl 1 ?
richy hat geschrieben:Dein Beitrag 2 :
Das ist ungenau formuliert, denn den Grenzwert kennen wir ja, der hat den Wert 0.
Hnmm, wollen wir dies nicht gerade zeigen ? Dass dies der Grenzwert ist.
Doch. Die Frage war nur, "wo" er erreicht wird. Und erreicht wird er eben nie.
richy hat geschrieben:Man führt den Beweis mit Zahlen, die allesamt endliche Zahlen sind. Von solchen gibt es unendlich viele, aber jede von ihnen ist endlich.
So ganz verstehe ich das noch nicht. Betrachten wir die Summenvariable k. Wenn es unendlich viele Summanden sein sollen, dann muss sie doch den "Wert" unendlich annehmen.
Warum ? Du hast oben selber eine Reihe, also mit unendlich vielen Gliedern, definiert:
richy hat geschrieben:(9*10^-k, k=0.."infinity") 9/10+9/100+9/1000
... und diese konvergiert gegen 1.
richy hat geschrieben:Das ändert aber nichts daran, dass das Element "oo" nicht zu den natürlichen Zahlen gehört.
Ok, dese Aussage fallt mir am leichtesten zu akzeptieren.
Das folgt an sich daraus, dass es keine natürliche Zahl n gibt, deren Nachfolger "unendlich" wäre.
richy hat geschrieben:Bei der Funktion f(x) = 1/x gibt es kein x in IR, für das f(x) = 0 wäre.
Ok, dann kann ich dies auch akzeptieren.
Genau.
richy hat geschrieben:Das heisst wenn ich den Grenzwert einer Variablen zuordne, so duerfte ich streng genommen nicht sage, dass diese im Beispiel den Wert "0" aufweist sondern einen Grenzwert verkoerpert ? Ich sehe einfach den Unterschied nicht
Aber doch, Du siehst den Unterschied doch sehr gut
richy hat geschrieben:Ich meine auch das 1/x Beispiel ist bischen ungeeignet. Das Summenbeispiel waere fuer den Anfang vielleicht geeigeter.
Aber nein, die von Dir gewählte Reihenfolge war genau richtig: Erst das einfachere 1/x-Beispiel und dann das komplexere Summenbeispiel. Wobei mir ein anderes Summenbeispiel lieber gewesen wäre, weil das Neunerende für Verwirrung sorgen kann (und wird). Also z.B. das da:
(3*10^-k, k=1.."infinity") 3/10+3/100+3/1000 … oder
(1*10^-k, k=1.."infinity") 1/10+1/100+1/1000 … oder das klassische Beispiel
(1*2^-k, k=1.."infinity") 1+1/2+1/4+1/8 …
Ah, da sehe ich gerade, dass k bei 1 und nicht bei 0 anfängt (was natürlich völlig egal ist)
richy hat geschrieben:So ganz hat es bei mir leider noch nicht "click" gemacht.
Nicht so bescheiden, Du stehst höchstens ein epsilon vor dem "click"
Freundliche Grüsse, Ralf