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N.N hat geschrieben:Wir denken nicht. Wir googeln.

Irgendein Werbetexter kam unlängst auf die glorreiche Idee, obigen Text für eine Produktwerbung zu erfinden.
Da läuft es mir kalt den Rücken runter - das stimmt nämlich zum Teil, und Denkfaulheit und Gedächtnisschwäche wird sogar computergestützt "trainiert":

Beispiel Eclipse IDE für C++ - bevor ich auch nur nachdenken konnte, welche Argumente irgendein ctor erwartet, popped eine Liste auf, die mich mittels 1001 Info vom Nachdenken abhält.
Mittlerweile ein guter Grund für mich, als ehemaliger Eclipse-Fan, Eclipse nicht mehr zu verwenden - sicher kann man da alles wegkonfigurieren, aber wenn ich alle Features abstelle, die mich nerven, bleibt eine IDE über, die als Alleinstellungsmerkmal nur Schneckentempo hat.
(Kate, KDevelop (f. Linux) und Qwined (f. MS BSe) sind übrigens meine Favoriten).

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Nicht nur in der IT, sondern auch beim mathematischen Arbeiten gibt es die Gefahr, computergestützt zu verdummen; wenn ich z.B: überlege, wie oft ich Integrale, die ich eigentlich selbst auswerten könnte, Maple oder Maxima anvertraue, oder in gedruckten oder digitalen Formelsammlungen nachschlage, dann wird mir mulmig.

Nun ist Integrieren, im Gegensatz zum Diff'en z.T. wirklich eine Kunst, und ich habe, wie wohl viele hier, oft schlicht nicht die Zeit, um alles manuell auszurechnen.
Diff'en hingegen ist ein Handwerk, und deshalb bietet es sich an, dass man, wenn schon Stammfunktionen nachschlägt, zumindest kurz selbst überprüft, ob's denn auch stimmt, indem man einmal in Gegenrichtung rechnet, also selbst die per Recherche gefundene Funktion ableitet und schaut, ob der Integrand auch wirklich herauskommt.

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Solche und andere kleine Schnipsel mathematischen Handwerks möchte ich hier zusammen mit Euch sammeln; das muss jeweils nicht anspruchsvoll oder gar besonders geistreich sein, die Menge der Kunstgriffe und die Routine macht's.

Anfangen will ich mich mit \(\tan(\arcsin{x})\) und \(\frac{d}{dx} \arcsin{x}\).

Inhaltsverzeichnis (wird fortgeführt)

• \(\tan(\arcsin{x})\)
• \(\frac{d}{dx} \arcsin{x}\)
• LinOp Kalkül für <Bras|
• Integrating \(e^{-x^2}\)

Zu definiertem \(\tan(\arcsin{x})\) und Genossen wissen wir

1. \(\exists \varphi \left(x = \sin{\varphi}\right)\)
2. \(\tan{\varphi} = \frac{sin{\varphi}}{\cos{\varphi}}\)
3. \(\cos{\varphi} = \sqrt{1-\sin^2{\varphi}}\)

\(\tan\left(\arcsin{x}\right) = \frac{\sin\left({\arcsin{x}}\right)}{\cos\left({\arcsin{x}}\right)} = \frac{x}{\cos{\phi}} = \frac{x}{\sqrt{1-\sin^2{\varphi}}} = \underline{\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}}.\) ☐

Wir wissen, dass

1. zu definiertem \(\arcsin{x}\) \(\exists \varphi \left(x = \sin{\varphi}\right)\),
2. \(\frac{dx}{d\varphi} = \cos{\varphi}\),
3. \(\frac{d\varphi}{dx} = \left({\frac{dx}{d\varphi}}\right)^{-1}\) (Unter Vorraussetzungen, die hier per def. vorliegen)
4. und \(\cos{\varphi} = \sqrt{1 - \sin^2{\varphi}}.\)

\[\frac{d}{dx} \arcsin{x} = \frac{d\varphi}{dx} = \frac{1}{\frac{dx}{d\varphi}} = \frac{1}{\cos{\varphi}} = \frac{1}{\cos({\arcsin{x}})} = \frac{1}{\sqrt{1 - \sin^2({\arcsin{x}})}} = \underline{\frac{1}{\sqrt{1 - x^2}}}. \]

☐

Unter Anwendung von Paul Diracs Erläuterungen in [Dir30], §7.

Gegeben:
- Kalkül für lineare Operatoren \(\hat{A}\) auf Kets: \(\hat{A}\left|\phi\right>\)
- Skalarprodukt \(\left<\psi|\phi\right>\)
Gesucht:
- Kalkül für lineare Operatoren \(\hat{A}\) auf Bras: \(\left<\psi\right|\hat{A}\)

Seien
\(\left|\phi^{'}\right> := \hat{A}\left|\phi\right>\)
und
\(\lambda^{'} := \left<\psi|\phi^{'}\right>\).

Dann ist
\(\left<\psi^{'}\right| =: \left<\psi\right|\hat{A}\)
dasjenige Bra, f.d. gilt
\(\lambda^{'} = \left<\psi^{'}|\phi\right>\).

[Dir30] Dirac, Paul Adrien Maurice: The principles of quantum mechanics. International series of monographs on physics. Clarendon Press, Oxford, 4th ed. reprint 2011, 1st ed. 1930

Da \(e^{-x^2}\) gerade ist, gilt $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}\,dx} = 2\cdot\int\limits_{0}^{+\infty}{e^{-x^2}\,dx} $$
Für die Substitution \(x^2 \rightarrow t\) erhält man $$dx = \frac{1}{2}t^{-\frac{1}{2}}\,dt,$$ somit $$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}\,dx} = \int\limits_{0}^{+\infty}{e^{-t} t^{-\frac{1}{2}}\,dt} = \int\limits_{0}^{+\infty}{e^{-t} t^{\frac{1}{2}-1}\,dt}, $$ und mit der Integraldarstellung der Eulerschen Gamma-Funktion$$\Gamma(z) = \int\limits_{0}^{+\infty}{e^{-t} t^{z-1}\,dt}$$somit$$\int\limits_{-\infty}^{+\infty}{e^{-x^2}\,dx} = \Gamma(\frac{1}{2}) = \underline{\sqrt{\pi}.} ☐$$