Fundstücke, ggf i.S. Hamiltonscher Mech. umformuliert

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Moderator: Solkar

Fundstücke, ggf i.S. Hamiltonscher Mech. umformuliert

Beitragvon Solkar » Samstag 4. August 2012, 17:55

Man denke sich bitte selbst hinreichend weise einleitende Worte... :D

Inhaltsverzeichnis (wird forlaufend aktualisiert)
"Was macht die Bratze da auf dem Sofa?"
Aus einem "Jungen Deutschen Film" - Ausspruch einer aufgeräumt wirkenden Nackten, die am Spätvormittag in ein WG-Zimmer voller bekleideter, aber derangiert wirkender Männer tritt.
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Re: Loch im Mond und Fluchtgeschwindigkeit

Beitragvon Solkar » Sonntag 5. August 2012, 14:12

Auf http://nunki.de/forum (where-the-f auch immer; ich finds grad nicht mehr) sah ich unlängst folgende simple mechanische Aufgabe

  • - Loch im Mond, durch den Mittelpunkt führend
  • - Körper fällt von der Oberfläche hinein
  • - Wie gross ist die Geschwindigkeit \(v_Z\) des Körpers im Mittelpunkt des Mondes

Gehen wir davon aus, dass die Dichte \(\varrho_☾(r)\) im Abstand r vom MIttelpunkt des Mondes konstant angesetzt wird und nehmen
  • die Schwerebeschleunigung an der Mondoberfläche \(g_☾\)
  • und den Mondradius \(R_☾\)
mit in den Topf, dann gilt nach Newton ("\(\propto\)" bedeutet "proportional zu") für die Beschleunigung \(a(r) \)
\( a(r) \propto \frac{M(r)}{r^2},\)
wobei \(M(r)\) die im Abstand r vom Mittelpunkt des Mondes auf den Probekörper wirksame gravitierende Masse darstellt.
Kugel-oder Hohlschalentheorem und die Modellannahme konstanter Dichte liefern
\( M(r) \propto r^3, \)
somit
\( a(r) \propto r,\)
und zusammen mit den Randbedingungen
\(a(0) = 0\) und \(a(R_☾) = g_☾\)
erhält man für die Arbeit, \(W\) die am Probekörper zu verrichten ist, um ihn vom MIttepunkt an die Mondoberfläche zu bringen;
\(W(R_☾) = m \frac{g_☾}{R_☾}\int\limits_{0}^{R_☾} r\,dr\, = m \frac{1}{2} g_☾R_☾,\)
und somit wegen Energieerhaltung \(T(r) + V(r) = const. \) und \( T(R_☾) = 0 \)
\(v_z = \sqrt{ g_☾R_☾}.\quad (I)\)

Bis hierher nicht sonderlich spannend...

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Berechung der Fluchtgeschwindigkeit \(v_{esc☾}\) an der Mondoberfläche:
\(W_{esc☾} = \int\limits_{R_☾}^{\infty} \frac{GM_☾m}{r^2}\,dr = \frac{GM_☾m}{ R_☾}\)
ist die Arbeit, die verrichtet werden muss, um einen Körper der Masse \(m\) von \(R_☾\) auf \(\infty\) zu bringen und somit hat man für \(v_{esc☾}\)
\(v_{esc☾} = \sqrt{\frac{2GM_☾}{ R_☾}}\,.\quad (II)\)

Erst recht nicht sonderlich spannend, und zudem hinlänglich bekannt...

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Nun gilt aber nach Newton
\( \frac{GM_☾}{ R_☾^2} = g_☾\)
und somit hat man
\(v_{esc☾} = \sqrt{2}\, v_z\)

Damit ist \(v_z\) zudem gleich der ersten kosmischen Geschwindigkeit,
was, nach meiner Erinnerung auch schon der hiesige User "Yukterez" in oben genanntem Forum sinngemäss anmerkte.

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Was genau mir an dem Szenario gefällt, weiss ich auch nicht zu sagen, aber ich find's iwie hübsch.
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