Energie-Impuls-Gleichung

[nocheinPoet]

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Die Idee ist mir mal vor einiger Zeit gekommen, ohne die freundliche Hilfe der Jungs im AC wäre es mit aber nicht gelungen, dieses so in dieser Form in Zeichen zu gießen. Ein Dank insbesondere an Aragorn und El Cattivo.

Die Überlegung dahinter ist im Grunde recht einfach, alles bewegt sich mit \(c\) konstant durch die Raumzeit es gilt:

\(c^2 = v_t^2 + v_r^2\)

Löst man nun das nun nach \(v_t\) auf, also \( v_t = \sqrt{c^2 - v_r^2}\) haben wir \(1/\gamma\) (c = 1)

Die Überlegung ist nun folgende, wenn wir so die Geschwindigkeit in der Raumzeit sehen, dann müsste man das auch für den Impuls machen können. Wenn \(v_r = 0\) ist \(v_t = c\), der Impuls ist \(\vec{p} = m_0 \vec{v}\) also hätten wir es mit einem zeitlichen Impuls von \(\vec{p}_t = m_0 \vec{c}\) zu tun. Für die Geschwindigkeit gilt:

\(c^2 = v_t^2 + v_r^2\)

\(v = \sqrt{v_t^2 + v_r^2} = c = 1\)


Für die Energie gibt Einstein die Formel an:

\(E = m_0 c^2\)

\(E = m_0 (v_t^2 + v_r^2)\)

\(E = m_0 v_t^2 + m_0 v_r^2\)


Soweit erstmal vorab, hier der Beitrag von Aragon:

In meiner Physikformelsammlung steht:

\(E^2 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2\)

mit \(p = \gamma m_0 v\)


Die obigen Definitionen müssen mit den neuen Gleichungen reproduziert werden können!

\(\vec{p}_t = m_0 \vec{c}\)

\(\vec{p}_r = m_0 c \vec{v}_r / v_t\)

mit \(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\)


Dabei sollen auch die bereits besprochenen Gleichungen mit der Raum- und Zeitgeschw. verwendet werden, die die SRT anschaulicher machen, weil sie nur euklidische Formeln enthalten. Mit dem neuen Ansatz kann die SRT ohne die schwerer verständliche "quasieuklidische Metrik" interpretiert werden!

\(c^2 = v_t^2 + v_r^2\)

mit

\(v_t = c (dt'/dt) = c / \gamma\)

\(v_r = dx/dt\)

\(v_r\) entspricht somit der allseits bekannten Geschw. durch den Raum und man kann in den bekannten Gleichungen \(v\) mit \(v_r\) gleichsetzen.

Also müssen wir jetzt schauen ob wir \(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\) nach \(E^2 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2\) überführen können.


Vorarbeit

\(\vec{p}_r = m_0 c \vec{v}_r / v_t\)

\(c^2 = v_t^2 + v_r^2\)


daraus erhalten wir

\(\vec{p}_r = m_0 c \vec{v}_r / \sqrt{c^2 - v_r^2}\)

das und \(\vec{p}_t = m_0 \vec{c}\) können wir in die Energie-Impuls-Gleichung \(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\)

einsetzen und erhalten \(E^2 = c^2 (m_0 c^2 + m_0^2 c^2 v_r^2 / (c^2 - v_r^2))\)


Nun ist \(\gamma = 1/ \sqrt{1-v_r^2/c^2} = c / \sqrt{c^2 - v_r^2}\)

woraus wir erhalten \(\gamma^2 = c^2 / (c^2 - v_r^2)\)

\({(v_r^2 / c^2) \gamma^2 = v_r^2 / (c^2 - v_r^2)}\)


das können wir in die Energie-Impuls-Gleichung einsetzen und diese in Bekanntes umformen

\(E^2 = c^2 (m_0 c^2 + m_0^2 c^2 v_r^2 / c^2 \gamma^2)\)

\(E^2 = c^2 (m_0 c^2 + m_0 v_r \gamma)^2)\)

\(E^2 = m_0 c^4 + p_r^2 c^2\)


als auch die neue Raum-Impuls-Gleichung in Bekanntes umformen

\(\vec{p}_r = m_0 c \vec{v}_r / \sqrt{c^2 - v_r^2}\)

was mit \(\gamma = c / \sqrt{c^2 - v_r^2}\)

\(\vec{p}_r = m_0 \vec{v}_r \gamma\) ergibt


Damit konnte sowohl die

* neue Energie-Impuls-Gleichung \(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\) in die vorhandene \(E^2 = m_0 c^4 + p_r^2 c^2\),

als auch die neue

* Raumimpuls-Gleichung \(\vec{p}_r = m_0 c \vec{v}_r / v_t\) in die bekannte \(\vec{p}_r = \gamma m_0 \vec{v}_r\) übergeführt werden.

Ist alles schon ein paar Jahre her, aber da sich hier ja einige User mit Ahnung langweilen, dachte ich, ich schreibe es hier noch mal ins Forum. Ein Bild mache ich auch noch.

Warum nun

\(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\)

und nicht

\(E^2 = m_0 c^4 + p_r^2 c^2\) ?

Weil erstere einfach eleganter ist, klarer, nur Quadrate, nur c² und nicht c⁴. Auch aufgelöst sieht es doch sehr schön aus:

\[E=\left(\sqrt{p^2_t+p^2_r}\right) c\]
\[m=\left(\sqrt{p^2_t+p^2_r}\right)/c\]

Und dann kann ich \(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\) sehr gut visualisieren, ich sehe richtig, warum keine Ruhemasse c erreichen kann. Denn zu den Impulsvektoren liegen parallel ja auch immer die Geschwindigkeitsvektoren. Masse (Ruhemasse) hat immer einen zeitlichen Impuls und ich kann nur den räumlichen Impuls beeinflussen. Da der zeitliche aber somit nie Null wird, ist es mir auch mit einem sehr großen räumlichen Impuls unmöglich den Gesamtimpuls vollständig in den „Raum“ zu drehen. Ich denke dazu braucht man wohl ein Bild.

[nocheinPoet]

.
Dann ging es mit AC noch weiter:

Ja, würde ich so sehen. Allerdings braucht man Tensoren doch erst in gekrümmten Räumen? Im flachen Raum kommt man imho mit Vektoren aus.

Hi Aragorn - wenn das Ding fertig werden soll, wäre ein einfacher Tensor nicht schlecht. Übersichtlicher und weniger Schreiberei. Besonders bei komplexeren Problemen. Wir haben:

\(c^2 - v_r^2= v_t^2\)

Wir können einfach den Vekor a definieren: \(\vec{a}= \begin{pmatrix} c \\ \vec{v_r} \end{pmatrix}\)

Darüber können wir uns nun was Nettes basteln. Du wirst einwenden, warum ich nicht u als Variable nutze (weil üblich). Das möchte ich aber aus gutem Grund nicht - weil sich unsere Vierergeschwindigkeit erstmal leicht unterscheidet - ich bin mir nicht sicher, ob sie exakt identisch ist. Wir haben unseren Raum über Geschwindigkeiten gebastelt. Üblicherweise geht man von Ortskoordinaten aus.

Die Frage die sich jetzt stellt ist, wie stellt man kurz und bündig obige Gleichung mit diesem Vierervektor dar. Das geht zum Beispiel so:

\(v_t^2 = (\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ v_{rx} \\ v_{ry} \\ v_{rz} \end{pmatrix} )^T \cdot \begin{pmatrix} c \\ v_{rx} \\ v_{ry} \\ v_{rz} \end{pmatrix} = ( M \cdot \vec{a} )^T \cdot \vec{a}\)

Matrix mal Spaltenvektor liefert einen neuen Spaltenvektor. Der wird gedreht zum Zeilenvektor und die Matrizenmultiplikation mit einem Spaltenvektor liefert ein Skalar. So - ich hoffe mal, ich hab keinen Blödsinn gemacht.

Ab hier komme ich langsam ins Grübeln. Dann kam noch Ilchegu aus Allmystery und hat es mir kaputt gespielt:

Hallo nocheinPoet , also zu Deinem Geschwindigkeitsvektor (der Einfachheit halber in 2 Dimensionen t,x):

\(v_x = dx/dt\)
\(v_t = \sqrt{c^2 - v_x^2}\)

Diese 2 Ausdrücke fasst Du zu einem Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_t \\ v_x \end{pmatrix}\) in einer euklidischen Raumzeit zusammen:

\( |\vec{v}| = \sqrt{v_t^2 + v_x^2} = c \) (alles bewegt sich mit c in dieser Raumzeit)

Gegeben sei ein Objekt mit der Geschwindigkeit \(\vec{v}\) in einem Bezugssystem \(K\) dieser Raumzeit.

Wenn sich nun die Raumgeschwindigkeit \(v_x\) des Objektes ändert, dann dreht sich der Vektor \(\vec{v}\) einfach in \(K\).

Umgekehrt entspricht eine Transformation von unserem System \(K\) in ein relativ dazu mit \(v_{K'}\) bewegtes System \(K'\) einer Drehung des Bezugssystems.

Betrachten wir ein Photon in \(K\):

\(\vec{v}_{photon} = \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix}\)

Mit Hilfe einer Drehmatrix \(D = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha)\end{pmatrix}\) können wir \( \vec{v}_{photon}\) also nach \(K'\) transformieren.

In unserem Fall können wir das wohl am einfachsten so machen:

\(sin(\alpha) = v_{K'}/c\)
\(cos(\alpha) = \sqrt{1 - v_{K'}^2/c^2}\)

\(\vec{v}_{photon}' = D \cdot \vec{v}_{photon} = \begin{pmatrix} v_{K'} \\ \sqrt{c^2 - v_{K'}^2} \end{pmatrix}\)

Der Betrag von \(\vec{v}_{photon}'\) ist wieder c, das Photon bewegt sich also auch in \(K'\) mit c durch die Raumzeit.

Aber die Raumgeschwindigkeit \(v_x'= \sqrt{c^2 - v_{K'}^2}\) ist kleiner als c. Das Photon bewegt sich in \(K'\) also nicht mehr mit c durch den Raum, was natürlich der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit widerspricht.

Also funktioniert das aus meiner Sicht mit einer euklidischen Raumzeit so nicht.

P.S.: Wenn Du eine nicht-euklidische Raumzeit verwendest, dann ist der Betrag von \(\vec{v}\) nicht mehr gleich \( \sqrt{v_t^2 + v_x^2} = c\) (Pythagoras gilt dann nicht mehr)

So und wer macht mir das jetzt wieder ganz? Ihr spielt hier doch immer so mit Formeln, die kein normaler Mensch mehr rafft, also macht mir das mal wieder ganz...

[Uli]

Hallo Manuel,

mir kommt vor, da geht einiges durcheinander oder kann ich wieder mal nicht folgen?
Da ist von 4-Vektoren die Rede; diese sind definiert durch ihr Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen. Insbesondere ist ihre Länge im Pseudo-Euklidischen ein Skalar, d.h. in allen Inertialsystemen gleich.
Die ganze Diskussion scheint nun aber im Euklidischen statt zu finden - sieht man daran, dass bei der Berechnung von Längen/Beträgen eine Euklidische Metrik benutzt wird (der gewöhnliche Pythagoras).

Zudem erhält man mit der Konvention

v_x = dx/dt

für die x-Komponente keinen 4-Vektor, weil sich so ein Spaltenvektor nicht entsprechend unter Lorentz-Transformationen transformiert. Korrekt wäre es, die Ableitung nach t durch die Ableitung nach der Eigenzeit tau zu ersetzen.

So braucht man sich über nichts zu wundern.

Gruß,
Uli

.
Dann ging es mit AC noch weiter:

Ja, würde ich so sehen. Allerdings braucht man Tensoren doch erst in gekrümmten Räumen? Im flachen Raum kommt man imho mit Vektoren aus.

Hi Aragorn - wenn das Ding fertig werden soll, wäre ein einfacher Tensor nicht schlecht. Übersichtlicher und weniger Schreiberei. Besonders bei komplexeren Problemen. Wir haben:

\(c^2 - v_r^2= v_t^2\)

Wir können einfach den Vekor a definieren: \(\vec{a}= \begin{pmatrix} c \\ \vec{v_r} \end{pmatrix}\)

Darüber können wir uns nun was Nettes basteln. Du wirst einwenden, warum ich nicht u als Variable nutze (weil üblich). Das möchte ich aber aus gutem Grund nicht - weil sich unsere Vierergeschwindigkeit erstmal leicht unterscheidet - ich bin mir nicht sicher, ob sie exakt identisch ist. Wir haben unseren Raum über Geschwindigkeiten gebastelt. Üblicherweise geht man von Ortskoordinaten aus.

Die Frage die sich jetzt stellt ist, wie stellt man kurz und bündig obige Gleichung mit diesem Vierervektor dar. Das geht zum Beispiel so:

\(v_t^2 = (\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 &0 \\ 0 & 0 & 0 & -1 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} c \\ v_{rx} \\ v_{ry} \\ v_{rz} \end{pmatrix} )^T \cdot \begin{pmatrix} c \\ v_{rx} \\ v_{ry} \\ v_{rz} \end{pmatrix} = ( M \cdot \vec{a} )^T \cdot \vec{a}\)

Matrix mal Spaltenvektor liefert einen neuen Spaltenvektor. Der wird gedreht zum Zeilenvektor und die Matrizenmultiplikation mit einem Spaltenvektor liefert ein Skalar. So - ich hoffe mal, ich hab keinen Blödsinn gemacht.

Ab hier komme ich langsam ins Grübeln. Dann kam noch Ilchegu aus Allmystery und hat es mir kaputt gespielt:

Hallo nocheinPoet , also zu Deinem Geschwindigkeitsvektor (der Einfachheit halber in 2 Dimensionen t,x):

\(v_x = dx/dt\)
\(v_t = \sqrt{c^2 - v_x^2}\)

Diese 2 Ausdrücke fasst Du zu einem Vektor \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_t \\ v_x \end{pmatrix}\) in einer euklidischen Raumzeit zusammen:

\( |\vec{v}| = \sqrt{v_t^2 + v_x^2} = c \) (alles bewegt sich mit c in dieser Raumzeit)

Gegeben sei ein Objekt mit der Geschwindigkeit \(\vec{v}\) in einem Bezugssystem \(K\) dieser Raumzeit.

Wenn sich nun die Raumgeschwindigkeit \(v_x\) des Objektes ändert, dann dreht sich der Vektor \(\vec{v}\) einfach in \(K\).

Umgekehrt entspricht eine Transformation von unserem System \(K\) in ein relativ dazu mit \(v_{K'}\) bewegtes System \(K'\) einer Drehung des Bezugssystems.

Betrachten wir ein Photon in \(K\):

\(\vec{v}_{photon} = \begin{pmatrix} 0 \\ c \end{pmatrix}\)

Mit Hilfe einer Drehmatrix \(D = \begin{pmatrix} cos(\alpha) & sin(\alpha) \\ -sin(\alpha) & cos(\alpha)\end{pmatrix}\) können wir \( \vec{v}_{photon}\) also nach \(K'\) transformieren.

In unserem Fall können wir das wohl am einfachsten so machen:

\(sin(\alpha) = v_{K'}/c\)
\(cos(\alpha) = \sqrt{1 - v_{K'}^2/c^2}\)

\(\vec{v}_{photon}' = D \cdot \vec{v}_{photon} = \begin{pmatrix} v_{K'} \\ \sqrt{c^2 - v_{K'}^2} \end{pmatrix}\)

Der Betrag von \(\vec{v}_{photon}'\) ist wieder c, das Photon bewegt sich also auch in \(K'\) mit c durch die Raumzeit.

Aber die Raumgeschwindigkeit \(v_x'= \sqrt{c^2 - v_{K'}^2}\) ist kleiner als c. Das Photon bewegt sich in \(K'\) also nicht mehr mit c durch den Raum, was natürlich der Konstanz der Lichtgeschwindigkeit widerspricht.

Also funktioniert das aus meiner Sicht mit einer euklidischen Raumzeit so nicht.

P.S.: Wenn Du eine nicht-euklidische Raumzeit verwendest, dann ist der Betrag von \(\vec{v}\) nicht mehr gleich \( \sqrt{v_t^2 + v_x^2} = c\) (Pythagoras gilt dann nicht mehr)

So und wer macht mir das jetzt wieder ganz? Ihr spielt hier doch immer so mit Formeln, die kein normaler Mensch mehr rafft, also macht mir das mal wieder ganz...

[Zarathustra.]

Guten Tag

Um die Überlegungen hinsichtlich Energie Und Impuls zu verstehen, ist die Diskussion über physikalische Bedeutung der Nullte Komponente unabdigbar.

Die Achse -ct
bedeutet, daß jedes Teilchen in sich mit L.G.schwingt.
Das habe ich bei der untersuchung der Dirac-Gleichung für ein ruhendes Teilchen bewiesen.
Wenn Jemand ,den geringsten Zweifel hat,dann kann er darüber mit mir diskutieren.
Außerdem ,soll geklärt werden ,was Impuls und Energie überhaupt physikalisch bedeutet,was in Diskussion mit Solkar erlätert habe.
Ich werde( wenn nichts dagegen ),die Argumente auch hier reinstellen und darüber diskutieren.

[nocheinPoet]

Ich werde (wenn nichts dagegen), die Argumente auch hier rein stellen und darüber diskutieren.

Nein! Du stellst hier nichts rein, mein Thread, such Dir einen eigenen, oder nimm einen den Du hast.

[nocheinPoet]

Hallo Manuel, mir kommt vor, da geht einiges durcheinander oder kann ich wieder mal nicht folgen?

Wenn ich die Option habe, dann bist Du Schuld. ;D

Da ist von 4-Vektoren die Rede; diese sind definiert durch ihr Transformationsverhalten unter Lorentz-Transformationen. Insbesondere ist ihre Länge im Pseudo-Euklidischen ein Skalar, d.h. in allen Inertialsystemen gleich. Die ganze Diskussion scheint nun aber im Euklidischen statt zu finden - sieht man daran, dass bei der Berechnung von Längen/Beträgen eine Euklidische Metrik benutzt wird (der gewöhnliche Pythagoras).

Ja Euklid, ich mag den eben. Und den gewöhnliche Pythagoras auch, und ich komme doch so super auf γ, kann doch nicht so falsch sein. Und was die Geschwindigkeit angeht, auch Epstein (ja, nicht Einstein) beschreibt die Dinge so:

http://www.relativity.li/de/epstein/lesen/


Quelle: Die Zeitdilatation im Epstein-Diagramm




Quelle: Die Längenkontraktion im Epstein-Diagramm

Zudem erhält man mit der Konvention

v_x = dx/dt

für die x-Komponente keinen 4-Vektor, weil sich so ein Spaltenvektor nicht entsprechend unter Lorentz-Transformationen transformiert. Korrekt wäre es, die Ableitung nach t durch die Ableitung nach der Eigenzeit tau zu ersetzen. So braucht man sich über nichts zu wundern.

Bitte was?

[Uli]

...

Zudem erhält man mit der Konvention

v_x = dx/dt

für die x-Komponente keinen 4-Vektor, weil sich so ein Spaltenvektor nicht entsprechend unter Lorentz-Transformationen transformiert. Korrekt wäre es, die Ableitung nach t durch die Ableitung nach der Eigenzeit tau zu ersetzen. So braucht man sich über nichts zu wundern.

Bitte was?

Hier z.B.
http://de.wikipedia.org/wiki/Vierergesc ... windigkeit
findest du die korrekte Definition der Lorentz-kovarianten 4-Geschwindigkeit:



wobei γ der Lorentzfaktor ist. Daraus ergibt sich die Vierergeschwindigkeit zu




Was Epstein-Diagramme angeht, da habe ich leider eine Bildungslücke.

Gruß,
Uli

[Solkar]

@nocheinPoet
Wenn Du an die zweite Gleichung, die Uli angeschrieben hat, ein "m" dranmultipliziert, kriegst du den 4er-Impuls.

Zur Berechnung von
\(\frac{dx^\mu}{d\tau}\)

wolte ich noch kurz auf einen Zwischenschritt hinweisen
\(\frac{dx^\mu}{d\tau}\) = \(\frac{dx^\mu}{dt}\frac{dt}{d\tau} \) = \(\frac{dx^\mu}{dt}\gamma \)
und ab da weiter wie von Uli gezeigt.

Das zweite Gleichheitszeichen folgt aus dem Differential der Eigenzeit, das Uli angeschrieben hatte; das erste aus der Kettenregel.

Die Schreibweise

\(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\)

halte ich übrigens für leicht irreführend; wegen
\(E^2 = m^2c^4 + p^2c^2 = c^2(m^2c^2 + p^2) \)
würde ich \(p_r\) mit dem Betrag des Ortsanteils des (übrigens i.S.d. Tensorkalküls co- und nicht contravarianten) 4er-Impulsvektors identifizieren, also mit \(\gamma mv\).

Dann sollte \(p_t\) aber auch konsistenterweise die 0-te Komponenten des 4er-Impulsvektors darstellen; tut sie hier aber nicht, da in Deiner Schreibweise
\(p_t = mc\)
gilt, die 0-te Komponenten des 4er-Impulsvektors ist aber gleich
\(\frac{E}{c} = \gamma mc\)