Die Idee ist mir mal vor einiger Zeit gekommen, ohne die freundliche Hilfe der Jungs im AC wäre es mit aber nicht gelungen, dieses so in dieser Form in Zeichen zu gießen. Ein Dank insbesondere an Aragorn und El Cattivo.
Die Überlegung dahinter ist im Grunde recht einfach, alles bewegt sich mit \(c\) konstant durch die Raumzeit es gilt:
\(c^2 = v_t^2 + v_r^2\)
Löst man nun das nun nach \(v_t\) auf, also \( v_t = \sqrt{c^2 - v_r^2}\) haben wir \(1/\gamma\) (c = 1)
Die Überlegung ist nun folgende, wenn wir so die Geschwindigkeit in der Raumzeit sehen, dann müsste man das auch für den Impuls machen können. Wenn \(v_r = 0\) ist \(v_t = c\), der Impuls ist \(\vec{p} = m_0 \vec{v}\) also hätten wir es mit einem zeitlichen Impuls von \(\vec{p}_t = m_0 \vec{c}\) zu tun. Für die Geschwindigkeit gilt:
\(c^2 = v_t^2 + v_r^2\)
\(v = \sqrt{v_t^2 + v_r^2} = c = 1\)
Für die Energie gibt Einstein die Formel an:
\(E = m_0 c^2\)
\(E = m_0 (v_t^2 + v_r^2)\)
\(E = m_0 v_t^2 + m_0 v_r^2\)
Soweit erstmal vorab, hier der Beitrag von Aragon:
Aragorn » 08.06.2009, 21:55 hat geschrieben:
In meiner Physikformelsammlung steht:
\(E^2 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2\)
mit \(p = \gamma m_0 v\)
Die obigen Definitionen müssen mit den neuen Gleichungen reproduziert werden können!
\(\vec{p}_t = m_0 \vec{c}\)
\(\vec{p}_r = m_0 c \vec{v}_r / v_t\)
mit \(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\)
Dabei sollen auch die bereits besprochenen Gleichungen mit der Raum- und Zeitgeschw. verwendet werden, die die SRT anschaulicher machen, weil sie nur euklidische Formeln enthalten. Mit dem neuen Ansatz kann die SRT ohne die schwerer verständliche "quasieuklidische Metrik" interpretiert werden!
\(c^2 = v_t^2 + v_r^2\)
mit
\(v_t = c (dt'/dt) = c / \gamma\)
\(v_r = dx/dt\)
\(v_r\) entspricht somit der allseits bekannten Geschw. durch den Raum und man kann in den bekannten Gleichungen \(v\) mit \(v_r\) gleichsetzen.
Also müssen wir jetzt schauen ob wir \(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\) nach \(E^2 = m_0^2 c^4 + p^2 c^2\) überführen können.
Vorarbeit
\(\vec{p}_r = m_0 c \vec{v}_r / v_t\)
\(c^2 = v_t^2 + v_r^2\)
daraus erhalten wir
\(\vec{p}_r = m_0 c \vec{v}_r / \sqrt{c^2 - v_r^2}\)
das und \(\vec{p}_t = m_0 \vec{c}\) können wir in die Energie-Impuls-Gleichung \(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\)
einsetzen und erhalten \(E^2 = c^2 (m_0 c^2 + m_0^2 c^2 v_r^2 / (c^2 - v_r^2))\)
Nun ist \(\gamma = 1/ \sqrt{1-v_r^2/c^2} = c / \sqrt{c^2 - v_r^2}\)
woraus wir erhalten \(\gamma^2 = c^2 / (c^2 - v_r^2)\)
\({(v_r^2 / c^2) \gamma^2 = v_r^2 / (c^2 - v_r^2)}\)
das können wir in die Energie-Impuls-Gleichung einsetzen und diese in Bekanntes umformen
\(E^2 = c^2 (m_0 c^2 + m_0^2 c^2 v_r^2 / c^2 \gamma^2)\)
\(E^2 = c^2 (m_0 c^2 + m_0 v_r \gamma)^2)\)
\(E^2 = m_0 c^4 + p_r^2 c^2\)
als auch die neue Raum-Impuls-Gleichung in Bekanntes umformen
\(\vec{p}_r = m_0 c \vec{v}_r / \sqrt{c^2 - v_r^2}\)
was mit \(\gamma = c / \sqrt{c^2 - v_r^2}\)
\(\vec{p}_r = m_0 \vec{v}_r \gamma\) ergibt
Damit konnte sowohl die
* neue Energie-Impuls-Gleichung \(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\) in die vorhandene \(E^2 = m_0 c^4 + p_r^2 c^2\),
als auch die neue
* Raumimpuls-Gleichung \(\vec{p}_r = m_0 c \vec{v}_r / v_t\) in die bekannte \(\vec{p}_r = \gamma m_0 \vec{v}_r\) übergeführt werden.
Ist alles schon ein paar Jahre her, aber da sich hier ja einige User mit Ahnung langweilen, dachte ich, ich schreibe es hier noch mal ins Forum. Ein Bild mache ich auch noch.
Warum nun
\(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\)
und nicht
\(E^2 = m_0 c^4 + p_r^2 c^2\) ?
Weil erstere einfach eleganter ist, klarer, nur Quadrate, nur c2 und nicht c4. Auch aufgelöst sieht es doch sehr schön aus:
\[E=\left(\sqrt{p^2_t+p^2_r}\right) c\]
\[m=\left(\sqrt{p^2_t+p^2_r}\right)/c\]
Und dann kann ich \(E^2 = c^2 (p_t^2 + p_r^2)\) sehr gut visualisieren, ich sehe richtig, warum keine Ruhemasse c erreichen kann. Denn zu den Impulsvektoren liegen parallel ja auch immer die Geschwindigkeitsvektoren. Masse (Ruhemasse) hat immer einen zeitlichen Impuls und ich kann nur den räumlichen Impuls beeinflussen. Da der zeitliche aber somit nie Null wird, ist es mir auch mit einem sehr großen räumlichen Impuls unmöglich den Gesamtimpuls vollständig in den „Raum“ zu drehen. Ich denke dazu braucht man wohl ein Bild.