ralfkannenberg hat geschrieben:Ach ja, die Erweiterung des Ansatzes auf die ganzen Zahlen geht ganz einfach:
Die Peano-Axiome definieren ja IN, oder IN U {0}, oder IN U {0, -1} und ebenso wird die Menge IN U {0, -1, ..., -n} durch die Peano-Axiome definiert, mit -n als Startelement.
Nun kann man beim Nachweis a+(b+c) = (a+b)+c ja das kleinste der drei Zahlen betrachten und die Peano-Axiom-definierte Menge betrachten, die dieses als Startelement enthält.
Dann ist obiger Beweis auch auf diese Menge anwendbar, und da das für alle a,b,c in IZ gilt, gilt obiger Beweis-Ansatz auch für die ganzen Zahlen. Muss man sich ein paar Mal durch den Kopf gehen lassen, ich selber hätte nicht gedacht, dass sich dieser Beweis so trivial von den natürlichen Zahlen auf die ganzen Zahlen fortsetzen lässt, obgleich die ganzen Zahlen gar kein Startelement haben. Aber im Assoziativgesetz ist ja jede Zahl endlich und die kleinste von ihnen kann dann als Startelement für die Peano-Axiom-definierte Menge dienen.
Nein, ganz so einfach geht es leider nicht.
Wenn man das so macht, kann man nur zeigen, dass das Assoziativgestz für a ganze Zahl, b und c natürliche Zahlen gilt, aber nicht im Allgemeinfall, dass auch b und c ganze Zahlen sein können.
Das Problem ist ja, dass + "eine negative Zahl" kleiner wird und sich somit nicht als Nachfolger darstellen lässt: die Zahlen, die per Peano-Axiom definiert wurden, kennen eben keine 0 und keine negativen Zahlen, sie kennen nur eine Reihenfolge, die irgendwo in den ganzen Zahlen angesetzt wurde.
Natürlich kann man das trotzdem richtig hinbiegen, aber das benötigt 2 zusätzliche Schritte.
Schritt 1: wenn 2 Vorgänger gleich sind sind auch ihre Nachfolger gleichIch bin mir nicht sicher, ob das wirklich ganz trivial folgt oder ob man das beweisen muss. Meine Idee läuft darauf hinaus, dass man eine Peano Axiom definierte Menge ja auch "rückwärts" durchlaufen kann - die Peano-Axiome geben ja nicht vor, in welche Richtung man läuft.
Man fängt also mit einer genügend grossen Zahl an, läuft dann rückwärts durch und nutzt, dass wenn zwei Vorgänger gleich sind sind auch ihre Nachfolger gleich sind.
Zwar könnte man unter das Startelement der ersten Menge kommen, aber wir können ja tief genug ansetzen, dass das nicht passiert.
Tief genug heisst: - (abs(a) + abs(b) + abs(c) ). - Oder etwas weniger puristsich kann man auch verwenden, dass man bei den negativen Zahlen immer eine Zahl findet, die um eins kleiner ist.
Schritt 2: sowohl die Nachfolger als auch die Vorgänger sind eindeutig
Nun muss man bei a+b+c mit a,b,c ganzen Zahlen nur richtig mit den +1 und -1 haushalten; da die Nachfolger und die Vorgänger aufgrund von Schritt 1 eindeutig sind, geht das und überdies hängt dies
nicht von der Klammerung ab. Und da man das Startelement bei - (abs(a) + abs(b) + abs(c) ) gewählt hat kommt es nicht vor, dass einem die "-1" ausgehen. Und "+1" hat man aufgrund der Peano-Axiome genügend.
Nun ist der Beweis vollständig.
Freundliche Grüsse, Ralf
