ralfkannenberg hat geschrieben:2. Sei die Menge M mit den Operationen o und x gegeben. Diese Menge sei bezüglich o eine Gruppe und es gelten auch (6)-(9) und (10).
Dann gilt: M ist bezüglich o kommutativ.
Hallo zusammen,
der Beweis liegt irgendwie nicht gerade auf der Hand und er würde seine Schönheit verlieren, wenn man da herumrätselt.
Ich will ihn deswegen vorstellen (ich selber habe ihn auch nicht gefunden).
Der besseren Verständlichkeit zuliebe wollen wir die Kringel o additiv ("+") und die Xsen x multiplikativ ("*") schreiben.
Beweisidee:Man zeigt: a+a+b+b = a+b+a+b und addiert dann auf beiden Seiten von links mit (-a) und von rechts mit (-b).
a+a+b+b =
= 1*a + 1*a + 1*b + 1*b; das geht, weil wir einen Ring mit Einselement haben
= (1+1)*a + (1+1)*b; das geht, weil die Distributivgesetze gelten
= (1+1)*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten
= 1*(a+b) + 1*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten
= a+b+a+b
was zu zeigen war.
Freundliche Grüsse, Ralf