endlich viele natürliche Zahlen

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Re: endlich viele natürliche Zahlen

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 26. Juli 2013, 13:43

Dgoe hat geschrieben:viel Spaß und gute Erholung wünsche ich dir/(euch?)!

Hallo Dgoe,

mein Frau kommt auch mit.

Dgoe hat geschrieben:Ich finde, da 1*1=1 ist, kann man die Einsen drehen und wenden wie man will, sie sind ja baugleich - und damit kommutativ!

Na dann wählen wir als x mal das Potenzieren.

1^1=1, aber was ist mit 2^1 und 1^2 ? ;)


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: endlich viele natürliche Zahlen

Beitragvon Dgoe » Freitag 26. Juli 2013, 14:14

Hallo Ralf,

tatsächlich, beim Potenzieren gilt die Kommutativität nicht, endlich mal ein Beispiel, das ich kenne und wo es nicht geht. Dafür habe ich eine einfache Lösung, man schließt das Potentieren für x einfach aus! Tattaaaaa!

Nur für den Fall, dass du nicht ganz einverstanden damit sein solltest, wir haben doch mit (5) die Kringel kommutativ - dies ergibt sich ja irgendwie aus den anderen (wie noch zu zeigen wäre), dann dürfte man das Potentieren nicht für o einsetzen, da es aber ein Platzhalter ist, würde dann ein Widerspruch entstehen, wie erklärt sich das?

Gruß,
Dgoe
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Re: endlich viele natürliche Zahlen

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 26. Juli 2013, 15:28

Dgoe hat geschrieben:tatsächlich, beim Potenzieren gilt die Kommutativität nicht, endlich mal ein Beispiel, das ich kenne und wo es nicht geht. Dafür habe ich eine einfache Lösung, man schließt das Potentieren für x einfach aus! Tattaaaaa!

Nur für den Fall, dass du nicht ganz einverstanden damit sein solltest, wir haben doch mit (5) die Kringel kommutativ - dies ergibt sich ja irgendwie aus den anderen (wie noch zu zeigen wäre)

Hallo Dgoe,

nein: dass eine Gruppe kommutativ ist ist die absolute Ausnahme. Es ist nur so, dass "wir" normale Menschen uns üblicherweise nur mit solchen Mengen beschäftigen, die, wenn sie eine Gruppe bilden, auch kommutativ sind.

Aber im Allgemeinen ist das überhaupt nicht der Fall.

Noch weniger der Fall ist, dass wir neben dem Kringel o auch noch ein Xsen x haben, welches sogar eine Halbgruppe bildet. Und wenn dieser seltene Fall eintritt und diese Menge - was noch seltener vorkommt, sogar ein Einselement hat - also nur in diesem seltenen Fall - dann kann man zeigen, dass diese Menge bezüglich dem Kringel o kommutativ ist.


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Re: endlich viele natürliche Zahlen

Beitragvon Dgoe » Freitag 26. Juli 2013, 16:58

Hallo Ralf,

gut! Ich mache mir derweil meine Gedanken und antworte aber erst in einer Woche, damit du dich erholen kannst, sonst schimpft deine Frau mit dir noch!
;)

8-) :D holiday

Nochmals viel Spaß und gute Erholung euch beiden, kommt gesund wieder heim!

Gruß,
Dgoe
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Re: endlich viele natürliche Zahlen

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 26. Juli 2013, 23:11

Dgoe hat geschrieben:Ich mache mir derweil meine Gedanken und antworte aber erst in einer Woche, damit du dich erholen kannst, sonst schimpft deine Frau mit dir noch!
;)

hallo Dgoe,

nö, sie hatte die Idee, das Assoziativgesetz der natürlichen Zahlen per vollständiger Induktion zu beweisen. Und unser Trauzeuge, ein Studienkollege von mir, wollte heute am Telefon wissen, wie ich denn auf eine solche Fragestellung gekommen sei, konnte den Beweis aber so rasch am Telefon auch nicht führen.

Er liess sich aber schnell überzeugen, dass er via die Peano-Axiome geführt werden muss.

Dgoe hat geschrieben: 8-) :D holiday

Ich muss noch packen ...

Dgoe hat geschrieben:Nochmals viel Spaß und gute Erholung euch beiden, kommt gesund wieder heim!

Nochmals besten Dank und an die Zurückgebliebenen: bleibt brav und ärgert mir die cranks nicht zu sehr !


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: endlich viele natürliche Zahlen

Beitragvon Dgoe » Samstag 27. Juli 2013, 22:32

Hallo Ralf,

'vollständige Induktion' kannte ich noch nicht namentlich (oder vergessen ob vergessen), als ich dann den Artikel dazu gelesen habe, erinnerte ich mich wieder daran, dass dies ja häufig so gemacht wird mit n

Rate mal was ich da dann dort noch so gefunden habe:
Wikipedia hat geschrieben:Beispiele[Bearbeiten]

Peano bewies 1889 mit vollständiger Induktion die grundlegenden Rechenregeln für die Addition und Multiplikation: das Assoziativgesetz, Kommutativgesetz und Distributivgesetz.[14][15]
aus http://de.wikipedia.org/wiki/Vollst%C3%A4ndige_Induktion#Beispiele
Kein Wunder, dass dein Kumpel sofort abgenickt hat...

Hab dann übrigens das hier gefunden aus lauter Neugier:
hier

daraus ein ZITAT
Matroids Matheplanet hat geschrieben:Die Gesetze der Addition und Multiplikation
der natürlichen Zahlen

Es werden die Gesetze in folgender Reihenfolge bewiesen:
Kommutativgesetz der Addition
Assoziativgesetz der Addition
Kommutativgesetz der Multiplikation
Distributivgesetz
Assoziativgesetz der Multiplikation

:)

Allerdings blicke ich da nicht so durch.

until then...

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Re: endlich viele natürliche Zahlen

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 30. Juli 2013, 12:58

ralfkannenberg hat geschrieben:2. Sei die Menge M mit den Operationen o und x gegeben. Diese Menge sei bezüglich o eine Gruppe und es gelten auch (6)-(9) und (10).
Dann gilt: M ist bezüglich o kommutativ.

Hallo zusammen,

der Beweis liegt irgendwie nicht gerade auf der Hand und er würde seine Schönheit verlieren, wenn man da herumrätselt.

Ich will ihn deswegen vorstellen (ich selber habe ihn auch nicht gefunden).

Der besseren Verständlichkeit zuliebe wollen wir die Kringel o additiv ("+") und die Xsen x multiplikativ ("*") schreiben.

Beweisidee:
Man zeigt: a+a+b+b = a+b+a+b und addiert dann auf beiden Seiten von links mit (-a) und von rechts mit (-b).

a+a+b+b =

= 1*a + 1*a + 1*b + 1*b; das geht, weil wir einen Ring mit Einselement haben
= (1+1)*a + (1+1)*b; das geht, weil die Distributivgesetze gelten
= (1+1)*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten
= 1*(a+b) + 1*(a+b); das geht, weil die Distributivgesetze gelten
= a+b+a+b

was zu zeigen war.


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Re: endlich viele natürliche Zahlen

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 31. Juli 2013, 01:54

Hallo Ralf,

ah ja, da wird auch deutlich, warum das Einselement und das Distributivgesetz so große Rollen spielen.

Gruß,
Dgoe
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Re: endlich viele natürliche Zahlen

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 31. Juli 2013, 08:39

Dgoe hat geschrieben:ah ja, da wird auch deutlich, warum das Einselement und das Distributivgesetz so große Rollen spielen.

Hallo Dgoe,

in diesem Beweis werden noch viel mehr Gruppen- und Ringaxiome verwendet, die sind also ebensowichtig ;)


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Re: endlich viele natürliche Zahlen

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 1. August 2013, 12:22

ralfkannenberg hat geschrieben:der Beweis liegt irgendwie nicht gerade auf der Hand ...
(ich selber habe ihn auch nicht gefunden)

Hallo Ralf,

soviel zu der vermeintlich harmlos daher kommenden zweiten Übungsaufgabe...
Da bin ich ja beruhigt!
:geek:

Gruß, :)
Dgoe
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