Dgoe hat geschrieben:heißt das Aufgabe 4 bleibt offen? Ich will aber nicht drauf bestehen unbedingt.
Hallo Dgoe,
also gut, wenn Du unbedingt willst; erwarte aber bitte nicht, dass ich jetzt in Schönheit sterbe.
Behauptung:Die Summe der n
2 über die natürlichen Zahlen von 1 bis und mit n ergibt den Wert 1/3 n
3 + 1/2 n
2 + 1/6 n.
Lemma 1:(n+1)
3 = n
3 + 3 n
2 + 3 n + 1
Beweis Lemma 1:(n+1)
3 =
= (n+1)*(n
2 + 2 n + 1)
= n
3 + 2 n
2 + n + n
2 + 2 n + 1
= n
3 + 2 n
2 + n
2 + n + 2 n + 1
= n
3 + 3 n
2 + 3 n + 1
Teil 1: VerankerungDie Verankerung für n=0 ist trivial.
Zwar ist 0 nicht in IN, aber IN vereinigt mit {0} erfüllt ebenfalls die Peano-Axiome.
Teil 2: InduktionsannahmeSei die Behauptung schon bis n nachgewiesen.
Teil 3: InduktionsbehauptungDann muss die Behauptung auch für n+1 gelten.
Beweis Induktionsbehauptung:Zu zeigen: die Summe der n
2 von 1 bis (n+1) ergibt den Wert 1/3 (n+1)
3 + 1/2 (n+1)
2 + 1/6 (n+1).
Linke Seite:Summe der n
2 von 1 bis (n+1)
= [Summe der n
2 von 1 bis n] + (n+1)
2= 1/3 n
3 + 1/2 n
2 + 1/6 n + (n+1)
2 (wegen der Induktionsannahme)
= 1/3 n
3 + 1/2 n
2 + 1/6 n + n
2 + 2 n + 1
= 1/3 n
3 + 3/2 n
2 + 13/6 n + 1
Rechte Seite:1/3 (n+1)
3 + 1/2 (n+1)
2 + 1/6 (n+1) =
= 1/3 (n
3 + 3 n
2 + 3 n + 1 ) + 1/2 (n+1)
2 + 1/6 (n+1) nach Lemma 1
= 1/3 (n
3 + 3 n
2 + 3 n + 1 ) + 1/2 (n
2 + 2 n + 1) + 1/6 n + 1/6
= 1/3 n
3 + n
2 + n + 1/3 + 1/2 n
2 + n + 1/2 + 1/6 n + 1/6
= 1/3 n
3 + 3/2 n
2 + 13/6 n + 1
Beide Seiten sind gleich, somit ist die Induktionsbehauptung bewiesen.
Freundliche Grüsse, Ralf
EDIT 19:04 Uhr: Ergänzung "von 1 bis und mit n"