Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

[ralfkannenberg]

Annahme: Es existiert ein x ∈ von Q mit x² = 3.

Das heißt x = p/q, p und q ∈ von Z und p und q sind teilerfremd.

Hallo Dgoe,

was ist das denn ??? Das "teilerfremd" hast Du aber nicht von mir !

Ich habe das übrigens nicht grundlos anders angesetzt


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Annahme: Es existiert ein x ∈ von Q mit x² = 3.

Das heißt x = p/q, p und q ∈ von Z und p und q sind teilerfremd.

was ist das denn ??? Das "teilerfremd" hast Du aber nicht von mir !

Ich habe das übrigens nicht grundlos anders angesetzt

Hallo Ralf,

ja, öh, das habe ich "gefunden"!
Ich wollte das irgendwie kürzer formulieren in dem Beweis, nachdem Du das ja schon so gut erklärt hattest.
Ich schau mir erst nochmal die Formulierung bei Lemma 2 an...

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Annahme: Es existiert ein x ∈ von Q mit x² = 3.

Das heißt x = p/q, p und q ∈ von Z und p und q sind teilerfremd.

was ist das denn ??? Das "teilerfremd" hast Du aber nicht von mir !

Ich habe das übrigens nicht grundlos anders angesetzt

ja, öh, das habe ich "gefunden"!
Ich wollte das irgendwie kürzer formulieren in dem Beweis, nachdem Du das ja schon so gut erklärt hattest.
Ich schau mir erst nochmal die Formulierung bei Lemma 2 an...

Hallo Dgoe,

sehr gut ! Tatsächlich nimmt man in allen mir bekannten Beweisen zu diesem Thema immer diese Teilerfremdheit an. Das macht es natürlich sehr bequem, erfordert aber streng genommen vorgängig noch einige zahlentheoretische Beweise, die ich uns hier ersparen wollte. Ganz konkret benötigt man hierfür, dass die Primfaktorzerlegung jeder Zahl eindeutig ist. Das ist zweifelsohne ungemein wichtig, benötigen wir aber im Koontext mit den Quadratwurzeln nun wirklich nicht. Wir brauchen für die Quadratwurzel von 3 nur, dass nicht gleichzeitig im Zähler und im Nenner der Faktor 3 steht.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Annahme: Es existiert ein x ∈ von Q mit x² = 3.

Das heißt x = p/q, p und q ∈ von Z und p und q sind teilerfremd.

Daraus folgt p²/q² = 3 und 3*q² = p²

Wenn p² durch 3 teilbar ist, dann ist p auch durch 3 teilbar (Lemma 2).

Somit finden wir eine ganze Zahl m, so dass p = 3*m

Daraus folgt p² = 9*m² = 3*q²

Daraus folgt q² = 3*m²

Daraus folgt q ist durch 3 teilbar.

Daraus folgt p und q sind durch 3 teilbar und haben also einen gemeinsamen Teiler 3, d.h. x = p/q ist nicht teilerfremd - Widerspruch! Also ist die Wurzel aus 3 keine rationale Zahl.

Hallo Dgoe,

mein Feedback erst jetzt (obgleich es mir schon heute morgen in den Fingern gejuckt hat).

Sehr gut !


Wir kennen jetzt also schon zwei irrationale Zahlen, nämlich die sqrt(2) und die sqrt(3).


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Wir kennen jetzt also schon zwei irrationale Zahlen, nämlich die sqrt(2) und die sqrt(3).

Hallo zusammen,

ich möchte das jetzt ganz gewiss nicht ad excessum treiben, aber dennoch möchte ich nun den Beweis sehen, dass die sqrt(4) eine irrationale Zahl ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Danke!

ich möchte das jetzt ganz gewiss nicht ad excessum treiben, aber dennoch möchte ich nun den Beweis sehen, dass die sqrt(4) eine irrationale Zahl ist.

2 ist aber nicht irrational! Das dürfte also erhebliche Probleme verursachen, die mit einigen Schwierigkeiten verbunden sind.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

ich möchte das jetzt ganz gewiss nicht ad excessum treiben, aber dennoch möchte ich nun den Beweis sehen, dass die sqrt(4) eine irrationale Zahl ist.

2 ist aber nicht irrational! Das dürfte also erhebliche Probleme verursachen, die mit einigen Schwierigkeiten verbunden sind.

Hallo Dgoe,

sehr gut erkannt !

Jetzt wird es also spannend: 2 ist nicht irrational und wir haben einen Beweis, mit dem wir beweisen können, dass sqrt(4) irrational ist.

Was machen wir jetzt ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Lemma 2: Sei r² eine durch 3 teilbare Zahl. Dann ist auch r eine durch 3 teilbare Zahl.

Beweis Lemma 2:

Es gibt drei Möglichkeiten:
(1) r ist durch 3 teilbar: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=3*n. Dann wäre r² = 9*n² = 3*(3*n²), und dies ist durch 3 teilbar.

(2) r belässt bei der Division durch 3 den Rest 1: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=3*n+1. Dann wäre r² = 9*n² + 6*n + 1, also 3*(3*n² + 2n) + 1, also 3*n' + 1. Eine solche Zahl ist aber auch nicht durch 3 teilbar, während wir ja vorausgesetzt haben, dass r² durch 3 teilbar ist. Denn r² = 3*n' + 1 belässt bei der Division durch 3 ebenfalls den Rest 1.

(3) r belässt bei der Division durch 3 den Rest 2: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=3*n+2. Dann wäre r² = 9*n² + 6*n + 42, also 3*(3*n² + 2n) + 42, also 3*n' + 42. Eine solche Zahl ist aber auch nicht durch 3 teilbar, während wir ja vorausgesetzt haben, dass r² durch 3 teilbar ist. Denn r² = 3*n' + 42 belässt bei der Division durch 3 ebenfalls den Rest 12.

Gruß,
Dgoe

[Herr Senf]

Da fällt mir ein:
Woher weiß (Wurzel 2) das (Wurzel 2)*(Wurzel 2)=2 ist, also "genau aufgeht", obwohl sich (Wurzel 2) selbst nicht entscheiden kann?
Also hätten wir hier für "2" irrational*irrational=rational, aber rational*rational=rational geht wohl nur so.
Oder eben so (Wurzel 4) = (Wurzel 2*2) = (Wurzel 2)*(Wurzel 2) = 2 = rational.
Grüße Senf

[ralfkannenberg]

Lemma 2: Sei r² eine durch 3 teilbare Zahl. Dann ist auch r eine durch 3 teilbare Zahl.

Beweis Lemma 2:

Es gibt drei Möglichkeiten:
(1) r ist durch 3 teilbar: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=3*n. Dann wäre r² = 9*n² = 3*(3*n²), und dies ist durch 3 teilbar.

(2) r belässt bei der Division durch 3 den Rest 1: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=3*n+1. Dann wäre r² = 9*n² + 6*n + 1, also 3*(3*n² + 2n) + 1, also 3*n' + 1. Eine solche Zahl ist aber auch nicht durch 3 teilbar, während wir ja vorausgesetzt haben, dass r² durch 3 teilbar ist. Denn r² = 3*n' + 1 belässt bei der Division durch 3 ebenfalls den Rest 1.

Hallo Dgoe,

sehr gut, genau das ist es

(3) r belässt bei der Division durch 3 den Rest 2: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=3*n+2. Fortsetung: Dann wäre r² = 9*n² + 6*n + 2, also 3*(3*n² + 2n) + 2, also 3*n' + 2. Eine solche Zahl ist aber auch nicht durch 3 teilbar, während wir ja vorausgesetzt haben, dass r² durch 3 teilbar ist. Denn r² = 3*n' + 2 belässt bei der Division durch 3 ebenfalls den Rest 2.

Hier aber hast Du Dich verrechnet; ich verrate Dir später, warum ich das auf den ersten Blick gesehen habe.


Freundliche Grüsse, Ralf