Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 5. November 2013, 13:02

Herr Senf hat geschrieben:Da fällt mir ein:
Woher weiß (Wurzel 2) das (Wurzel 2)*(Wurzel 2)=2 ist, also "genau aufgeht", obwohl sich (Wurzel 2) selbst nicht entscheiden kann?

Hallo Herr Senf,

hier kann man an sich nutzen, dass sich bei der Mulitrplikation mit Nachkommastellen die Anzahl der Kommastellen addiert.

Zum Beispiel:

0.5 * 0.5 = 0.25
0.5 * 0.2 = 0.01
0.25 * 0.5 = 0.125

u.s.w.

Bei Perioden ist das auch nicht besser:

0.333.... * 0.5 = 1/6 und das hat ja auch "unendlich" viele Nachkommastellen.
0.333.... * 0.3333 = 1/9 hat ebenfalls "unendlich" viele Nachkommastellen.


Nun wissen wir, dass zwar 2 oder 3 null Nachkommastellen haben, aber ihre Wurzel nicht null Nachkommastellen haben kann, da man einfach abschätzen kann, dass 1 echt kleiner als sqrt(2), ebenso 1 echt kleiner als sqrt(3) und 2 echt grösser als sqrt(2) und 2 echt grösser als sqrt(3).

Zwischen den Zahlen 1 und 2 gibt es aber keine Zahlen, die null Nachkommastellen haben. Da sich bei der Multiplikation aber die Zahl der Nachkommastellen addiert und das Ergebnis 0 ist (also sqrt(2)2 = 2.0000... und sqrt(3)2 = 3.0000...) können nur nicht-Periodenzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen das gerade aufheben.

Dieser "Beweis" ist meines Erachtens aber grottenhässlich und da könnte man auch noch einiges an Einwänden platzieren; wie auch immer: das ist zumindest "anschaulich" der Grund, warum es nur so "geanu aufgehen" kann.

Herr Senf hat geschrieben:Also hätten wir hier für "2" irrational*irrational=rational, aber rational*rational=rational geht wohl nur so.
Oder eben so (Wurzel 4) = (Wurzel 2*2) = (Wurzel 2)*(Wurzel 2) = 2 = rational.

Richtig.


Freundliche Grüsse, Ralf

EDIT 12:45 Uhr:
Interrupt - hier stimmt etwas nicht, wie Dgoe's Gegenbeispiel 0.5 * 0.2 = 0.1 zeigt.
Ich muss mir das nochmals in Ruhe überlegen.
Zuletzt geändert von ralfkannenberg am Dienstag 5. November 2013, 13:45, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 5. November 2013, 13:14

ralfkannenberg hat geschrieben:
Dgoe hat geschrieben:(3) r belässt bei der Division durch 3 den Rest 2: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=3*n+2. Fortsetung: Dann wäre r² = 9*n² + 6*n + 2, also 3*(3*n² + 2n) + 2, also 3*n' + 2. Eine solche Zahl ist aber auch nicht durch 3 teilbar, während wir ja vorausgesetzt haben, dass r² durch 3 teilbar ist. Denn r² = 3*n' + 2 belässt bei der Division durch 3 ebenfalls den Rest 2.

Hier aber hast Du Dich verrechnet; ich verrate Dir später, warum ich das auf den ersten Blick gesehen habe.

Hallo Ralf,

wieso das denn? Ist doch baugleich, nur statt Rest 1 nun Rest 2 und in den Formeln +2 statt +1
:?

ACHSOOO, ja ich hab's entdeckt. Da muss +4 hin. Hehe, schnarch...
r² = (3*n+2)*(3*n+2) = 9*n² + 3*n + 3*n + 4 = 9*n² + 6*n + 4

Hab es oben korrigiert.

Gruß,
Dgoe
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 5. November 2013, 13:30

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:
Dgoe hat geschrieben:(3) r belässt bei der Division durch 3 den Rest 2: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=3*n+2. Fortsetung: Dann wäre r² = 9*n² + 6*n + 2, also 3*(3*n² + 2n) + 2, also 3*n' + 2. Eine solche Zahl ist aber auch nicht durch 3 teilbar, während wir ja vorausgesetzt haben, dass r² durch 3 teilbar ist. Denn r² = 3*n' + 2 belässt bei der Division durch 3 ebenfalls den Rest 2.

Hier aber hast Du Dich verrechnet; ich verrate Dir später, warum ich das auf den ersten Blick gesehen habe.
wieso das denn? Ist doch baugleich, nur statt Rest 1 nun Rest 2 und in den Formeln +2 statt +1
:?

ACHSOOO, ja ich hab's entdeckt. Da muss +4 hin. Hehe, schnarch...
r² = (3*n+2)*(3*n+2) = 9*n² + 3*n + 3*n + 4 = 9*n² + 6*n + 4

Hab es oben korrigiert.

Hallo Dgoe,

sehr gut.

Wieso habe ich diesen Fehler auf den ersten Blick gesehen ?


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 5. November 2013, 13:38

ralfkannenberg hat geschrieben:Zum Beispiel:

0.5 * 0.5 = 0.25
0.5 * 0.2 = 0.01
0.25 * 0.5 = 0.125

Tipp-Dreher! 0.5 * 0.2 = 0.10

Gruß,
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 5. November 2013, 13:42

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Zum Beispiel:

0.5 * 0.5 = 0.25
0.5 * 0.2 = 0.01
0.25 * 0.5 = 0.125

Tipp-Dreher! 0.5 * 0.2 = 0.10

Gruß,
Ihr Qualitätssicherungs-Team! ;)

Hallo Dgoe,

stimmt, einhalb mal 0.2 muss 0.1 ergeben ...

Jetzt mache ich aber irgendetwas falsch :(

Ok, Interrupt - ich muss mir das nochmal in Ruhe überlegen


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 5. November 2013, 14:01

ralfkannenberg hat geschrieben:Wieso habe ich diesen Fehler auf den ersten Blick gesehen ?

Hallo Ralf,

weil Du den Röntgen-Durchblick hast? Weil Du das studiert hast? Eigentlich wolltest Du das 'erzählen', nicht fragen. :| Aber davon abgesehen, ich habe keinen blassen Schimmer. Weil 2*2=4 ist und 4/3=1, Rest 1
k.A.

Ralf hat geschrieben:Jetzt mache ich aber irgendetwas falsch

Aber wieso denn? 0,5 * 0,2 = 0,1 bzw. 0,10 sowie 5*2=10 (Stichwort Multiplikation der Nachkommastellen, wie beschrieben) Das ändert doch auch nichts an den folgenden Ausführungen, finde ich.

Gruß,
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 5. November 2013, 14:22

ralfkannenberg hat geschrieben:Dieser "Beweis" ist meines Erachtens aber grottenhässlich und da könnte man auch noch einiges an Einwänden platzieren; wie auch immer: das ist zumindest "anschaulich" der Grund, warum es nur so "geanu aufgehen" kann.

Und das fand ich auch ebenso schön anschaulich und nachvollziehbar gut erklärt, auch wenn Du das jetzt formal nicht so toll findest oder sogar noch mal prüfen wolltest.
Ich hatte mir übrigens genau diese Frage von Herrn Senf auch gestellt gehabt, allerdings hatte ich mir dabei gedacht, dass dies bestimmt damit zu tun hat, dass ich gar nicht genau weiß (keine Erinnerung), wie man konkret eine Wurzel ausrechnet (ohne Taschenrechner), und man das dann (mit der Kenntnis) wohl schon zu beantworten wüßte.

Gruß,
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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 5. November 2013, 14:34

Dgoe hat geschrieben:
Ralf hat geschrieben:Jetzt mache ich aber irgendetwas falsch

Aber wieso denn? 0,5 * 0,2 = 0,1 bzw. 0,10 sowie 5*2=10 (Stichwort Multiplikation der Nachkommastellen, wie beschrieben) Das ändert doch auch nichts an den folgenden Ausführungen, finde ich.

Hallo Dgoe,

ich war bislang der Meinung, dass sich die Nachkommastellen addieren. 1+1 ist aber 2, aber bei 0.5*0.2=0.1 haben wir nur 1 Nachkommastelle. Man kann also bestenfalls (d.h. wenn überhaupt) festhalten, dass die Anzahl Kommastellen nicht kleiner wird.

Das würde dann - falls zutreffend - ausreichen, dass man nicht 0 Nachkommastellen hinkriegt, aber die Argumentation erschwert sich wesentlich.

Wie auch immer, die Beweise nutzen diese sowieso nicht, aber ich möchte mir das trotzdem nochmals in Ruhe anschauen, was da schiefläuft.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 5. November 2013, 14:37

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Dieser "Beweis" ist meines Erachtens aber grottenhässlich und da könnte man auch noch einiges an Einwänden platzieren; wie auch immer: das ist zumindest "anschaulich" der Grund, warum es nur so "geanu aufgehen" kann.

Und das fand ich auch ebenso schön anschaulich und nachvollziehbar gut erklärt, auch wenn Du das jetzt formal nicht so toll findest oder sogar noch mal prüfen wolltest.

Hallo Dgoe,

der schönste Beweis nutzt nichts, wenn er falsch ist. Und Dein Gegenbeispiel lässt hier auch keinerlei "Interpretations-Spielraum".

Elegant an der ganzen Sache ist nur, dass Dein Gegenbeispiel einfach und leicht verständlich ist; ärgerlich ist, dass dieses Gegenbeispiel eigentlich ein Beispiel von mir zur Illustration war, ich aber so in dieser falschen Regel "gefangen" war, dass ich ein falsches Ergebnis herausbekommen habe. Gut war aber, dass dank dessen dass ich das Beispiel zur Illustration nutzen wollte das Qualitätssicherungs-Team den Irrtum zeitnah aufklären konnte.


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Re: Allererste Einführung in die Integralrechnung (Level 0)

Beitragvon Dgoe » Dienstag 5. November 2013, 14:44

ralfkannenberg hat geschrieben:Jetzt wird es also spannend: 2 ist nicht irrational und wir haben einen Beweis, mit dem wir beweisen können, dass sqrt(4) irrational ist.

Hallo Ralf,

haben wir den? Mal testen:


Lemma 3: Sei r² eine durch 4 teilbare Zahl. Dann ist auch r eine durch 4 teilbare Zahl.

Beweis Lemma 3:

Es gibt 4 Möglichkeiten:
(1) r ist durch 4 teilbar: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=4*n. Dann wäre r² = 16*n² = 4*(4*n²), und dies ist durch 4 teilbar.

(2) r belässt bei der Division durch 4 den Rest 1: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=4*n+1. Dann wäre r² = 16*n² + 8*n + 1, also 4*(4*n² + 2n) + 1, also 4*n' + 1. Eine solche Zahl ist aber auch nicht durch 4 teilbar, während wir ja vorausgesetzt haben, dass r² durch 4 teilbar ist. Denn r² = 4*n' + 1 belässt bei der Division durch 4 ebenfalls den Rest 1.

(3) r belässt bei der Division durch 4 den Rest 2: dann finden wir eine ganze Zahl n, so dass r=4*n+2. Fortsetung: Dann wäre r² = 16*n² + 8*n + 4, also 4*(4*n² + 2n) + 4, also 4*n' + 4. Allerdings ist r² = 4*n' + 4 ohne Rest durch 4 teilbar, während r den Rest 2 belässt.
Diese Möglichkeit für Lemma 3 wird hier nicht erfüllt. Lemma 3 kann nicht bewiesen werden, ist widerlegt.

1.Problem, reicht doch oder?

Gruß,
Dgoe

EDIT: sorry, da war ein Textbaustein zuviel übrig geblieben und ein Nebensatz fehlte - nun korrigiert
Zuletzt geändert von Dgoe am Dienstag 5. November 2013, 14:52, insgesamt 2-mal geändert.
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