Herr Senf hat geschrieben:Da fällt mir ein:
Woher weiß (Wurzel 2) das (Wurzel 2)*(Wurzel 2)=2 ist, also "genau aufgeht", obwohl sich (Wurzel 2) selbst nicht entscheiden kann?
Hallo Herr Senf,
hier kann man an sich nutzen, dass sich bei der Mulitrplikation mit Nachkommastellen die Anzahl der Kommastellen addiert.
Zum Beispiel:
0.5 * 0.5 = 0.25
0.5 * 0.2 = 0.01
0.25 * 0.5 = 0.125
u.s.w.
Bei Perioden ist das auch nicht besser:
0.333.... * 0.5 = 1/6 und das hat ja auch "unendlich" viele Nachkommastellen.
0.333.... * 0.3333 = 1/9 hat ebenfalls "unendlich" viele Nachkommastellen.
Nun wissen wir, dass zwar 2 oder 3 null Nachkommastellen haben, aber ihre Wurzel nicht null Nachkommastellen haben kann, da man einfach abschätzen kann, dass 1 echt kleiner als sqrt(2), ebenso 1 echt kleiner als sqrt(3) und 2 echt grösser als sqrt(2) und 2 echt grösser als sqrt(3).
Zwischen den Zahlen 1 und 2 gibt es aber keine Zahlen, die null Nachkommastellen haben. Da sich bei der Multiplikation aber die Zahl der Nachkommastellen addiert und das Ergebnis 0 ist (also sqrt(2)2 = 2.0000... und sqrt(3)2 = 3.0000...) können nur nicht-Periodenzahlen mit unendlich vielen Nachkommastellen das gerade aufheben.
Dieser "Beweis" ist meines Erachtens aber grottenhässlich und da könnte man auch noch einiges an Einwänden platzieren; wie auch immer: das ist zumindest "anschaulich" der Grund, warum es nur so "geanu aufgehen" kann.
Herr Senf hat geschrieben:Also hätten wir hier für "2" irrational*irrational=rational, aber rational*rational=rational geht wohl nur so.
Oder eben so (Wurzel 4) = (Wurzel 2*2) = (Wurzel 2)*(Wurzel 2) = 2 = rational.
Richtig.
Freundliche Grüsse, Ralf
EDIT 12:45 Uhr:
Interrupt - hier stimmt etwas nicht, wie Dgoe's Gegenbeispiel 0.5 * 0.2 = 0.1 zeigt.
Ich muss mir das nochmals in Ruhe überlegen.