algebraischer Beweis über Quadratwurzeln

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

hier wurde ein Link genannt, in dem 17 Beweise vorgestellt werden, dass die Quadratwurzel aus 2 keine rationale Zahl ist. Der erste von ihnen ist der Beweis von Dedekind und wurde im Parallelthread Dedekind'scher Beweis über Quadratwurzeln näher erläutert. Dieser Beweis ist nicht ganz trivial, hat dafür aber den Vorteil, dass er eine Aussage über alle Quadratwurzeln positiver ganzer Zahlen macht, während der rein algebraische Beweis bislang nur für die Irrationalität der Quadratwurzel von 2 und die Irrationalität der Quadratwurzel von 3 geführt wurde, sowie dargelegt wurde, warum dieser Ansatz für die Irrationalität der Quadratwurzel aus 4, die ja bekanntlich rational ist, nicht funktioniert.

Kann man den rein algebraischen Beweis einfach erweitern, damit er dieselbe Aussagekraft wie der Dedekind'sche Beweis erhält ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

es dürfte klar sein, der der allgemeine Beweis mit einer Verallgemeinerung des Lemmas geführt wird, da der übrigen Beweis ja jedesmal völlig analog verlief.

Also benötigen wir das Lemma für den allgemeinen Fall.

Wir bereiten das mit zwei einfachen Lemmata vor, Lemma 1 in diesem Beitrag und Lemma 2 im nächsten Beitrag.

Lemma 1: Sei k eine Primzahl. Sei r² eine durch k teilbare Zahl. Dann ist auch r eine durch k teilbare Zahl.

Beweis:
Jede ganze Zahl r lässt sich schreiben als r=k*n+m mit m in {0, 1, 2, ..., k-1).
Dann gilt: r² = (kn+m)² = (kn)² + 2knm + m² = k(kn² + 2nm) + m².

Damit r² eine durch k teilbar ist muss k(kn² + 2nm) m² durch k teilbar sein, und da der erste Summand durch k teilbar ist muss also auch der zweite Summand durch k teilbar sein.

Wir müssen also zeigen, dass m² durch k teilbar ist. Hierzu betrachte man eine beliebige Primfaktorzerlegung von m². In ihr muss jeder Primfaktor im Quadrat oder einer höheren gerad-zahligen Potenz vorkommen, insbesondere auch k. Somit ist k² ein Teiler von m², im Widerspruch zur Annahme, dass m als Rest bei Division durch k in {0, 1, 2, ..., k-1) gewählt wurde und somit m < k ist.

Das war zu zeigen.

Anschaulich kann man sich das so vorstellen, dass - da m ja kleiner als k ist, m² nur dann durch k teilbar sein kann, wenn ein echter Faktor von k im "ersten" m ist und der andere echte Faktor von k im "anderen" m ist. Solche echten Faktoren von k findet man aber nicht da k ja eine Primzahl ist.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

und nun also Lemma 2:

Lemma 2: Sei k das Produkt zweier verschiedener Primzahlen. Sei r² eine durch k teilbare Zahl. Dann ist auch r eine durch k teilbare Zahl.

Beweis:
Jede ganze Zahl r lässt sich schreiben als r=k*n+m mit m in {0, 1, 2, ..., k-1).
Dann gilt: r² = (kn+m)² = (kn)² + 2knm + m² = k(kn² + 2nm) + m².

Damit r² eine durch k teilbar ist muss k(kn² + 2nm) m² durch k teilbar sein, und da der erste Summand durch k teilbar ist muss also auch der zweite Summand durch k teilbar sein.

Wir müssen also zeigen, dass m² durch k teilbar ist, also bei Division durch k den Rest 0 belässt. Sei k = p₁p₂.

Hierzu betrachte man eine beliebige Primfaktorzerlegung von m². In ihr muss jeder Primfaktor im Quadrat oder einer höheren gerad-zahligen Potenz vorkommen, insbesondere auch p₁ und p₂.

Somit ist = (p₁)²(p₂)² = k² ein Teiler von m².

Dies ist im Widerspruch zur Annahme, dass m als Rest bei Division durch k in {0, 1, 2, ..., k-1) gewählt wurde, und somit m < k ist.

Das war zu zeigen.


Man kann nun Lemma 2 dahingehend zu einem Lemma 3 verallgemeinern, dass k das Produkt endlich vieler verschiedener Primzahlen in der ersten Potenz ist, der Beweis erfolgt dann wenn man unbedingt will mit einer vollständigen Induktion.

Lemma 4 betrachtet dann den allgemeinen Fall, dass k Produkt von endlich vielen Primzahlen beliebiger Potenz ist. Hierbei kann man dann aber alle gerad-zahligen Potenzen, also die Quadrate, die Quadrate von Quadraten usw. ausklammern, diese Zahlen sind ja allesamt Quadratzahlen, und können vor die Wurzel gezogen werden. Das verbleibende Produkt von Primzahlen erfüllt dann die Voraussetzungen von Lemma 3.

Der übrige Teil des Beweises verläuft dann völlig analog zu den beiden Beweisen der Irrationalität der Quadratwurzel von 2 und der Quadratwurzel von 3.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

und jetzt wollen wir den Beweis noch rasch abschliessen:

1. Sei k eine ganze Zahl, die keine Quadratzahl ist
2. Sei k = k' * c² mit c maximal, das heisst k' erhält man aus k, indem man alle Faktoren, die im Quadrat vorkommen, ausklammert.

Wir nehmen an, man könne die Quadratwurzel von k' als Bruch zweier ganzer Zahlen darstellen. Da man Brüche ja kürzen und erweitern kann, wollen wir diesen Bruch so kürzen, dass höchstens im Zähler oder im Nenner noch ein Faktor k' vorkommt, aber nicht in beiden.

Klappt das ? Ja, denn wenn sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Faktor k' vorkommt, so kürzen wir den heraus; übrig bleibt ein Zähler, der echt kleiner ist als zuvor und ebenfalls ein Nenner, der echt kleiner ist als zuvor. Falls immer noch in beiden der Faktor k' vorkommt, so kürzen wir ihn ebenfalls heraus. Wir machen das solange, bis höchsten in einem der beiden noch ein Faktor verbleibt. Da bei jeder Kürzung eines Faktors k' sowohl Zähler als auch Nenner echt kleiner werden, garantieren uns die Peano-Axiome, dass dieser wiederholte Kürzungs-Prozess nach endlich vielen Schritten abgeschlossen ist.

Wir haben nun also einen Bruch, bei dem nicht gleichzeitig im Zähler und im Nenner ein Faktor k' stehen kann.

Sei dieser Bruch p/q, mit p und q ganze Zahlen, und k' nicht Faktor von p und von q.

Wir wissen: p² / q² = k', also p² = k' q². Ich nenne die Gleichung Nr.1 .

p² ist also eine durch k' teilbare Zahl.

Dank Lemma 3 wissen wir, dass dann p ebenfalls eine durch k' teilbare Zahl ist.

Somit finden wir eine ganze Zahl m, so dass p = k' m. In Gleichung Nr.1 eingesetzt:

p² = k'q²
(k'm)² = k'q²
k'²m² = k'q²
k'm² = q².

Also ist q² eine durch k' teilbare Zahl. Nach Lemma 3 ist dann aber auch q eine durch k' teilbare Zahl.

Folglich sind p und q beides durch k' teilbare Zahlen, enthalten also beide einen Faktor k'.

Dies widerspricht der Annahme, dass k' nicht Faktor von p und q ist.

Somit ist die Annahme, man könne die Quadratwurzel von k' als Bruch schreiben, falsch.

Nun zur sqrt(k):

k' war so definiert, dass gilt: k = k' * c²

=> sqrt(k) = sqrt(k') * c

Wäre sqrt(k) eine rationale Zahl, so auch sqrt(k'), da sqrt(k') = sqrt(k) / c und der Quotient zweier rationaler Zahlen ebenfalls rational ist.

Somit ist auch sqrt(k) irrational.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

ein sehr schöner Beweis vom Lemma 1 befindet sich auch hier. Allerdings lässt sich dieser Beweis nicht auf beliebige Produkte von Primzahlen verallgemeinern, sondern ohne Zusatzüberlegungen nur auf Produkte, die aus einer ungeraden Anzahl beliebiger Primzahlen bestehen.


Freundliche Grüsse, Ralf