das Ziffernblatt einer Uhr: Restklassen mal anders

[Dgoe]

Hallo Senf,

bei der Suche von Mustern viel mir erst auf, dass eine gerade Anzahl Primzahlen zu rationalen Wurzeln führt und eine ungerade zu irrationalen, bis auf das letzte Beispiel 6936. Dann bin ich auf eine neue Idee gekommen, die auch nicht geht: Wenn man die Anzahl aller gleichen Primzahlen addiert und diese Summe gerade ist, dann ist die Wurzel rational, wenn ungerade, dann irrational. Gegen-Beispiel wieder 6936.

Also so wie Ralf schreibt. Alle die durch 4 oder durch 4 mit Rest 2 teilbar sind, sind rational, alle anderen nicht (Rest 1,3). Das geht aber auch nicht.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Ah,

vielleicht so:
Nach der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl, zählt man die jeweilige Anzahl an gleichen Primzahlen zusammen und hält fest, ob die jeweilige Summe gerade oder ungerade ist. Auf diese Menge wendet man die (+/-)-Regeln an, + für gerade und - für ungerade. Wenn das Ergebnis + ist, dann ist die Wurzel rational, wenn Minus dann irrational.
Passt.

Gruß,
Dgoe

EDIT
kl. Ergänzung

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,
ich würde ja vielleicht, wenn ich rauskriegen würde, worüber ihr euch unterhaltet oder wollt?
Wenn ich raten darf, würde ich es allgemein mit den Primzahlen weiterversuchen, oder wäre das eine andere Baustelle?
Einfach mal so "Wurzeln aus Primzahlen sind immer irrational", dann kriegste für jede √Zahl raus irr/rat ohne immer neuen Einzelbeweis.

Hallo Herr Senf,

tatsächlich ist das der einfachste Schritt, allerdings habe ich Deinem Beitrag nicht entnehmen können, ob Du den allgemeinen Beweis schon mitgeliefert hast oder nicht. Zumindest ich sehe ihn nicht.

Meinen letzten Beitrag habe ich primär zu meiner eigenen Absicherung geschrieben, damit niemand, der von aussen mitliest, behaupten kann, dass ich diesen Fall übersehen hätte.

Der Beweis von Dedekind hat ja schon alles bewiesen, allerdings bin ich mir fast sicher, dass momentan noch niemand ihn wirklich formal korrekt nachvollzogen hat. Ich will als Gegenpol auch noch den allgemeinen algebraischen Beweis führen, der erscheint zumindest mir deutlich einfacher zu sein; da ist mir heute in der Kirche die Beweisidee vom Lemma gekommen, weswegen ich die Predigt verpasst habe. Ich hatte allerdings den Eindruck, dass mit Ausnahme meiner Ehefrau meine Banknachbarn an meiner Freude darüber nicht so recht teilhaben mochten ...


Freundliche Grüsse, Ralf


Nachtrag 19:44 Uhr: den allgemeinen algebraischen Beweis werde ich hier führen.

[ralfkannenberg]

ich glaube den hatte ich auch irgendwo zuletzt gesehen, beim Lesen von Links. Mir ist ehrlich gesagt weniger nach zig Beweisen zumute, vorerst, als wie nach allgemeinen Grundlagen und Aha-Erlebnissen, wie die Dinge funktionieren, welche Methoden auch, usw. (Querbezüge) - was nicht ausschließen soll auch Beweise zu sichten, nachzuvollziehen oder selber mal zu versuchen. Vielleicht kann man diverse Beweise als Extra-Thread auslagern.

Hallo Dgoe,

das ist ja auch gar nicht primär der Fokus. Herr Senf hatte einfach diese 17-Beweise-Liste eingestellt, ich habe mir den ersten Beweis mal angeschaut und festgestellt, dass da in wenigen Zeilen ein analytischer Beweis für alle Quadratzahlen formuliert wurde, dieser Dedekind'sche Beweis, während der von mir zitierte rein-algebraische Beweis immer nur für eine Quadratzahl geführt wurde.

Ehe hier nun der Eindruck entsteht, dass wir uns mit den rein-algebraischen Beweisen das Leben unnötig schwer und umständlich machen, habe ich deswegen den Dedekind'schen Beweis - ohnehin nichts Gutes ahnend, da die Sachen von Dedekind meist nicht sonderlich gut verdauliche Kost sind - mal näher angeschaut und die ganzen Schritte, die der geneigten Leserin und dem geneigten Leser überlassen werden, mal aufgelistet.

Und dazu quasi als "Contra" auch einen Thread für den rein-algebraischen Beweis eröffnet; das Lemma werde ich zunächst für die beiden Spezialfälle, dass die Zahl unter der Wurzel (1) eine Primzahl ist und (2) das Produkt zweier verschiedener Primzahlen ist, führen; damit ist dann der Beweis im Wesentlichen bereits abgeschlossen, der Rest sind dann noch einfache Erweiterungen, nämlich dass man vom Produkt zweier verschiedener Primzahlen auf das Produkt endlich vieler verschiedener Primzahlen verallgemeinert und schliesslich auch noch höhere Potenzen der Primzahlen zulässt, die man aber alle ausklammern kann, da sie ja Quadratzahlen bzw. Quadrate von Quadratzahlen usw. sind.

Der Rest des Beweises ist dann ein Copy/Paste vom Beweis für die Quadratwurzel von 2 oder von 3.

Ich habe gestern schon fast 2 Stunden an der Formulierung der beiden Spezialfälle gearbeitet; der Sachverhalt ist offensichtlich und ich bin momentan daran, ihn noch verständlich niederzuschreiben.

Aber eben - es steht nirgends geschrieben, dass Du im Fokus dieser beiden Beweise stehst, und ich würde Dir zum jetzigen Zeitpunkt auch nicht empfehlen, Dich in den Fokus zu rücken. Für Dich und auch die grosse Mehrheit der User habe ich die rein-algebraischen Beweise für die sqrt(2) und die sqrt(3) im Fokus, und ganz wichtig eben auch, warum das für die sqrt(4) nicht klappt. Noch ausstehend sind die sqrt(5) und die curt(2), also die Kubikwurzel von 2, die übrigens mit dem gleichen Trick, zwischen geraden und ungeraden Zahlen zu unterscheiden, ebenfalls sehr einfach als irrational nachweisbar ist.

Diese "Beweise für Dummies" - allerdings inklusive ihrer Verallgemeinerung - waren übrigens bis zur letzten Woche auch die einzigen, die ich kannte, d.h. so dummyhaft sind die nun auch wieder nicht.

Besser gesagt. Es ist so, mir persönlich fehlt vor allem noch eine gewisse Übersicht und Struktur, was hängt womit zusammen, was gibt es alles, wofür ist dies oder jenes gut, was baut worauf auf, etc.
Dann hat man eher einen intuitiven Fahrplan und Lust sich etwas konkretes genauer anzusehen.
So aber fühle ich mich hilflos im Vertiefen von Details, dessen Nutzen mir schleierhaft ist, auch wenn ich darauf vertraue, dass dieser sich noch erschließt.

Wie gesagt, ich denke, wir haben mit dem Zehnersystem-Thread, dem Ziffernblattthread und neu dem Level 0-Thread drei Threads, in denen wir alle Themen, die uns interessieren, auch auf einem genügend verständlichen Niveau darstellen können und wo wir auch genügend flexibel sind, bei Interesse etwas über den Tellerrand hinauszuschauen. Wenn das Niveau zu sehr ansteigt, lagere ich das Thema schon rechtzeitig aus, wie nun im Falle des Dedekind'schen Beweises. Ich meine, letzte Woche wusste auch ich noch nicht, ob ich die fehlenden Schritte selber ergänzen kann oder nicht.

Denn mir ist natürlich klar, dass es, wie mit fast allem, zig Ebenen an Detailtiefen gibt, die man nie vollumfänglich komplett durchgehen kann.

Hier kann man das ganz individuell angehen.

Schlechtes Beispiel vielleicht. Jedenfalls möchte ich mich an den Beweis oben nicht ranwagen, das ist auf meinem Niveau extrem schwieriges Rätselraten. Und wahnsinnig aufwändig, zig Onlinerecherchen, zig dies und das, um sich ein Bild zu machen. Alles andere käme zu kurz.

Ich persönlich habe eigentlich nie empfohlen, die Irrationalität der Quadratwurzel von 2 auf 17 verschiedene Arten zu beweisen, auch wenn das für einen Spezialisten ganz interessant sein mag, welche unterschiedlichen Zweige fer Mathematik man mit so einem Beweis alles nutzen kann.

Dies gilt bei mir auch allgemein, ich bin beispielsweise jetzt einige Tage beruflich stärker gefordert als sonst. Dementsprechend weniger bis gar nicht online. Danach gerne weiter, Herr Senf könnte ja etwas weitermachen solange, oder jemand der aktuell Lust hat.

Es is doch überhaupt kein Problem, uns dem Zeitrahmen der User, zu denen ich ja auch gehöre, anzupassen. Auch ich habe nicht jeden Sonntag 2 Stunden Zeit, an der verständlichen Formulierung eines Beweises zu arbeiten.

Ich denke, das Zehnersystem und das Ziffernblatt einer Uhr sind ebenso wie die Integrale auf Level 0, die uns nun völlig off-topic zu den Quadratwurzeln geführt haben, nach wie vor in viele Richtungen ausbaubar.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

vielleicht so:
Nach der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl, zählt man die jeweilige Anzahl an gleichen Primzahlen zusammen und hält fest, ob die jeweilige Summe gerade oder ungerade ist. Auf diese Menge wendet man die (+/-)-Regeln an, + für gerade und - für ungerade. Wenn das Ergebnis + ist, dann ist die Wurzel rational, wenn Minus dann irrational.
Passt.

Hallo Dgoe,

was Du hier meinst musst Du mir mal in einer ruhigen Minute erklären. Nur soviel heute: "die" Primfaktorzerlegung erfordert einen Eindeutigkeits-Nachweis aus der Zahlentheorie und den haben wir nicht geführt. Ich plane übrigens auch nicht, diesen zu führen, sondern halte meine Beweise statt dessen so, dass sie ohne das auskommen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Herr Senf]

Hallo zusammen,
bin gespannt, wie "länglich" der Beweis in der algebraischen Variante wird.
Bei Dedekind war es mir schon zu mühsam, die Einzelheiten mitzudenken, das Procedere war kompliziert genug.
Das mit den Primzahlen hier http://de.wikiversity.org/wiki/Quadratw ... ng/Aufgabe hat auch noch keiner erledigen wollen.
Obwohl der Beweis √p != a/b selbst nur ein "eleganter kürzlicher" Dreizeiler ist, muß man sich auf die Eindeutigkeit verlassen können.
Grüße Senf

[ralfkannenberg]

bin gespannt, wie "länglich" der Beweis in der algebraischen Variante wird.

Hallo Herr Senf,

nur unwesentlich länger als der Beweis für die sqrt(2) oder die sqrt(3).

Bei Dedekind war es mir schon zu mühsam, die Einzelheiten mitzudenken, das Procedere war kompliziert genug.

Deswegen meide ich mathematische Sachverhalte von Dedekind, wie z.B. Dedekind'sche Schnitte u.ä.

Das mit den Primzahlen hier http://de.wikiversity.org/wiki/Quadratw ... ng/Aufgabe hat auch noch keiner erledigen wollen.

Das wird im Rahmen des o.g. Spezialfalles (1) erfolgen. Im Grunde genommen geht es darum, dass man bei einer Primzahl p ausschliessen kann, dass aus r² teilbar durch p nicht folgt, dass auch r durch p teilbar ist.

So ist die Zahl 36 durch 4 teilbar, aber die Zahl 6 ist nicht durch 4 teilbar. Das kommt eben daher, dass Zahlen der Form (4n + 2)² ebenfalls durch 4 teilbar sind, da (4n + 2)² = 16n² + 16n + 4 = 4(4n² + 4n + 1).

Bei einer Primzahl passiert einem das nicht.

Obwohl der Beweis √p != a/b selbst nur ein "eleganter kürzlicher" Dreizeiler ist, muß man sich auf die Eindeutigkeit verlassen können.

Das wiederum sehe ich nicht; meines Erachtens genügt es, dass man jede positive ganze Zahl als Produkt von Primzahlen schreiben kann, aber wofür man die Eindeutigkeit benötigt sehe ich momentan nicht. Vielleicht ist hier doch ein anderer Beweis gemeint.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Herr Senf]

Hallo Ralf,
ich stehe einfach mal auf einfach, locker-flockig, hingucken und fertig.
Behauptung √p = irrational
Gegenbehauptung √p = rational, demzufolge wäre √p = a/b möglich
einfach quadrieren p = (a/b)*(a/b) und zerlegen in
Primfaktoren p = (a1*a2*...)²/(b1*b2*...)² oder
umgeschrieben (b1*b2*...)²*p = (a1*a2*...)²
wegen "=" sollte selbstverständlich B(b²,p)=A(a²) sein
aber ()² bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren geradzahlig sein muß
nur zum Verständnis für Mitleser: zB (2*3*5)²=(2*3*5)*(2*3*5)=(2*3*5*2*3*5) hat gerade Anzahl von Faktoren
(oder müßte das extra als Lemma bewiesen werden? kann man ja als bekannt voraussetzen)
rechts stimmt's also: A hat eine gerade Anzahl von Primfaktoren
links ist der Widerspruch: B=b²*p ist eine ungerade Anzahl von Primfaktoren
Ergebnis: √p kann nicht rational sein

Baut aber darauf auf, daß es für jede Zahl nur eine Möglichkeit der Primfaktorzerlegung gibt.
Grüße Senf

[ralfkannenberg]

ich stehe einfach mal auf einfach, locker-flockig, hingucken und fertig.
Behauptung √p = irrational
Gegenbehauptung √p = rational, demzufolge wäre √p = a/b möglich
einfach quadrieren p = (a/b)*(a/b) und zerlegen in
Primfaktoren p = (a1*a2*...)²/(b1*b2*...)² oder
umgeschrieben (b1*b2*...)²*p = (a1*a2*...)²
wegen "=" sollte selbstverständlich B(b²,p)=A(a²) sein

Hallo Herr Senf,

ich habe die allgemeinen Fall nun ausformuliert und ins Forum gestellt, den Fall der Quadratwurzel einer Primzahlen findest Du im Lemma 1. Ich denke, ich benötige nur die Existenz einer Primfaktorzerlegung, komme aber ohne deren Eindeutigkeit aus.

aber ()² bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren geradzahlig sein muß

Interessanter Ansatz; an sich folgt aus dem Quadrat nur, dass die Potenzen der verschiedenen Primfaktoren gerad-zahlig sein müssen. Bei dem von Dir genannten Widerspruch indes genügt tatsächlich deren gerade Anzahl. Schön !

nur zum Verständnis für Mitleser: zB (2*3*5)²=(2*3*5)*(2*3*5)=(2*3*5*2*3*5) hat gerade Anzahl von Faktoren
(oder müßte das extra als Lemma bewiesen werden? kann man ja als bekannt voraussetzen)

Habe ich mir auch überlegt, ob man das als selbstverständlich annehmen darf oder nicht. Wenn Du die Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung voraussetzst folgt das allerdings schon direkt.

rechts stimmt's also: A hat eine gerade Anzahl von Primfaktoren
links ist der Widerspruch: B=b²*p ist eine ungerade Anzahl von Primfaktoren
Ergebnis: √p kann nicht rational sein

Elegant, weil Du im Gegensatz zu mir ohne Grössenrelation auskommst und nur die Geradzahligkeit verwendest. Das hat den Vorteil, dass Dein Beweis auch auf nicht-angeordneten Ringen funktioniert, also auf solchen, die keine Ordnungsrelation haben.

Baut aber darauf auf, daß es für jede Zahl nur eine Möglichkeit der Primfaktorzerlegung gibt.

Mal schauen, ob es auch ohne die Eindeutigkeit geht.

Wie auch immer: das ist ein sehr schöner und sehr eleganter Beweis !

Bist Du selber darauf gekommen oder hast Du ihn irgendwo gefunden ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Herr Senf]

Hallo Ralf,
ich bin doch kein Mathefreak
Dieser Beweis √p wird in jedem Matheforum rauf- und runtergebetet. Deswegen hat's mich ja gewundert, daß er
hier vom 15.06.13 http://de.wikiversity.org/wiki/Quadratw ... ng/Aufgabe nicht "erledigt" ist.
Aber der ist so einfach, daß ich ihn "von selbst" ohne Grübeln hingeschrieben habe, bei √2 nach Euklid muß man mehr aufpassen.
Ich hab meine Variante extra nicht im Mathesprech, sondern etwas einfacher notiert, verbraucherfreundlich auf's Papier gebracht.
In der Oberschule durfte/mußte ich ja immer mit zur Matheolympiade, schon in der Kreisklasse war Mittelfeld, einmal bis Bezirksklasse geschafft.
Diese "gute" Erfahrung mit der Beweisallergie hat mich letztendlich überzeugt, daß es für "richtige" Mathematik nicht richtig reicht.
Hab ich also den kleinen (-12) Bruder angelernt und machen lassen, der hat's durchgezogen dipl-prom-hab-doz-prof.
Ich vergnüge mich lieber mit leichteren Fingerübungen.
Grüße Senf