das Ziffernblatt einer Uhr: Restklassen mal anders

[ralfkannenberg]

Hab auch die ganzen Links noch nicht durch, sorry.

Hallo Dgoe,

macht nichts, mach einfach mal hier zur Übung mit der sqrt(5) weiter und vergiss erst mal die inzwischen geführten allgemeinen Beweise; diese werden mit etwas mehr Routine ohnehin besser verständlich.

Als Vorlage kannst Du diesen Beitrag von Dir über die sqrt(3) verwenden.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Als Vorlage kannst Du diesen Beitrag von Dir über die sqrt(3) verwenden.

Hallo Ralf,

genau dort hatte ich den einen Fehler noch nicht korrigiert, nur in der Zusammenfassung hier. Dort ist allerdings nur das Lemma. Ich korrigiere das nun auch in dem ursprünglichen ersten Beitrag am Besten (mit durchstreichen).

Der ist alleerdings von DIr vorher schon mal noch mit Fehler zitiert worden, leider, aber das sollte sich aus dem Kontext ergeben, dass....

Also eins nach dem anderen.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Als Vorlage kannst Du diesen Beitrag von Dir über die sqrt(3) verwenden.

Hallo Ralf,

genau dort hatte ich den einen Fehler noch nicht korrigiert, nur in der Zusammenfassung hier. Dort ist allerdings nur das Lemma. Ich korrigiere das nun auch in dem ursprünglichen ersten Beitrag am Besten (mit durchstreichen).

Hallo Dgoe,

ja, aus Gründen der besseren Transparenz ist es sinnvoll, den kleinen Schreibfehler richtigzustellen.

Der ist alleerdings von DIr vorher schon mal noch mit Fehler zitiert worden, leider, aber das sollte sich aus dem Kontext ergeben, dass....

Genau. Zudem ändert der kleine Fehler nichts an der Gesamtaussage des Beweises, das wäre nur dann der Fall gewesen, wenn der Rest im Quadrat den Wert 0 gehabt hätte, wie das ja beim Lemma 3 beim Versuch, die Irrationalität der sqrt(4) zu beweisen, beim Quadrieren von 4*n+2, passiert.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

den kleinen Schreibfehler

nee, nee, war schon ein echter, wenn auch kleiner Fehler.

[Dgoe]

Da mich der Ehrgeiz geritten hat, hier eine Version, die gehen könnte.


Regeln für die Wurzel einer ganzen Zahl, nach dessen Primfaktorzerlegung, ob die Wurzel rational oder irrational ist:

(1)gerade Anzahl 2en = +
(2)ungerade Anzahl 2en = -
(3)gerade Anzahl anderer Primzahlen = +
(4)ungerade Anzahl anderer Primzahlen = -

(5)Darauf dann die Plus/Minus-Rechenregel angewendet.
(6)nur, wenn das vorläufige Ergebnis + ist, und (2) negativ ist (-, ungerade), dann = End-Ergebnis negativ (-)

(7)End-Ergebnis + = rational
(8)End-Ergebnis - = irrational


Beispiele:

Schema:
Ganze Zahl=Primfaktoren
(1), (2), (3), (4), (5), (6), (7), (8); Irrelevanz überspringend.


2=2
[1]*2= - (1 ist ungerade), also nur -, - ist irrational

3=3
[1]*3= - (1 ist ungerade), also nur -, - ist irrational

8200=2*2*2*3*3*5*5*7*7
[3]*2= - (3 ist ungerade), [6]*andere Primzahlen = + (6 ist gerade), - und + = -, = irrational

12=2*2*3
[2]*2= + (2 ist gerade), [1]*3= - (1 ist ungerade), + und - = -, also irrational

36=2*2*3*3
[2]*2= + (2 ist gerade), [2]*3= + (2 ist gerade), + und + = +, also rational

72=2*2*2*3*3
[3]*2= - (3 ist ungerade), [2]*3= + (2 ist gerade), - und + = -, also irrational

6936=2*2*2*3*17*17
[3]*2= - (3 ist ungerade), [3]*3= - (3 ist ungerade), - und - = +, aber (2) respektive (6) ist - = End-Ergebnis = - = irrational


Nun höre jetz auf damit, weiß nicht, ob es noch Gegenbeispiele gibt. Wenn das immer passt, dann (dann mache ich viel Platz in meinem Regal,^^):

Vorteil: man braucht nicht wissen, ob eine Quadratzahl im Spiel ist.

Nachteil: man braucht die Primzahlen, die Primfaktorzerlegung. Außerdem besonders wegen Regel (6) etwas komplex.


Gruß,
Dgoe

edit
runde und eckige Klammern unabhängig von Konventionen dieses Threads

[Herr Senf]

Hallo Dgoe,
das ist wie mit dem "vor lauter Bäumen ... Wald?".
So viel Mühe braucht man sich beim "Suchen" aller Bäume nicht machen.
Ich hatte den Tipp nach einer ins Auge springenden "Regelmäßigkeit" gegeben.
Wenn also die Primfaktoren wie in den Beispielen schön aufsteigend sortiert sind,
siehst du, daß die geradzahlige Anzahl eines Primfaktors nicht interessiert.
Du mußt nur die erste Primzahl "sehen", die ungerade dort steht, also 1x, 3x usw.
Die 3x sind ja auch nur 2x + 1x, also eine ist nicht "gepaart", das war's schon.
Ob noch mehrere ungerade sind, ist egal für das Ergebnis "irrational".
Im Endspiel sind dann nur die Wurzeln von Quadratzahlen rational.

Umgekehrt kannst du noch was erkennen, wir wissen ja daß das Quadrat einer irrZahl immer rat ist.
Aber auch Produkte unterschiedlicher irrZahlen können rational sein, sieht man über die Primfaktoren:
a) √2 ist irr und (√2)² = √2*√2 = 2 ist rat
b) √3 und √12 sind irr, aber auch √3*√12 ist rat weil
c) √3*√12 = √(3*12) = √36 = 6 bzw. √6*√6 = 6 ist rat
Grüße Senf

[ralfkannenberg]

den kleinen Schreibfehler

nee, nee, war schon ein echter, wenn auch kleiner Fehler.

Hallo Dgoe,

ein kleiner Rechenfehler fällt in dieselbe Kategorie. Kein Mathematiker interessiert sich für sowas, das ist vermutlich auch der Grund, warum sich Mathematiker bei elementaren Rechnungen so oft verrechnen: weil es sowieso trivial, einfach korrigierbar und von der Beweisidee her nicht wichtig ist.

Bei anderen Fragestellungen indes, z.B. bei Eindeutigkeiten oder der Verwendung von Voraussetzungen, sind wir Mathematiker meistens sehr pedantisch und lassen bei Unstimmigkeiten auch nicht locker.

Aber wegen banalen Rechenfehlern, die sowieso keinen Einfluss auf das Ergebnis haben, braucht man nun wirklich keine weitere Sorgfalt walten lassen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Behauptung √p = irrational
Gegenbehauptung √p = rational, demzufolge wäre √p = a/b möglich
einfach quadrieren p = (a/b)*(a/b) und zerlegen in
Primfaktoren p = (a1*a2*...)²/(b1*b2*...)² oder
umgeschrieben (b1*b2*...)²*p = (a1*a2*...)²
wegen "=" sollte selbstverständlich B(b²,p)=A(a²) sein
aber ()² bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren geradzahlig sein muß
nur zum Verständnis für Mitleser: zB (2*3*5)²=(2*3*5)*(2*3*5)=(2*3*5*2*3*5) hat gerade Anzahl von Faktoren
(oder müßte das extra als Lemma bewiesen werden? kann man ja als bekannt voraussetzen)
rechts stimmt's also: A hat eine gerade Anzahl von Primfaktoren
links ist der Widerspruch: B=b²*p ist eine ungerade Anzahl von Primfaktoren
Ergebnis: √p kann nicht rational sein

was ich noch irgendwie witzig finde: der Beweis funktioniert ja identisch gleich, wenn p das Produkt von einer ungeraden Anzahl Primzahlen ist.

Hingegen kriegt man ihn nicht hin, wenn p das Produkt von einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist.

Hinweis:
Gleicher Primzahlen geht im Falle der geraden Gesamtzahl natürlich nicht, denn hier kann es vorkommen, dass die Wurzel daraus rational ist: sqrt(p₁p₁p₂p₂) ist ja gleich p₁p₂.

Bei ungerader Anzahl indes dürfen auch beliebig viele gleiche Primzahlen vorkommen.

Hallo zusammen,

im Falle Produkte einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen muss man anders vorgehen, da genügt es nicht, einfach nur die Anzahl der Primfaktoren zu zählen, sondern man muss festhalten, wie oft die vorkommen.

Nehmen wir obigen Beweis und setzen P (ich schreibe jetzt ein grosses P, was andeuten soll, dass es sich um das Produkt von Primzahlen handelt) gleich p₁ * p₂.

Dann haben wir in der Vorgehensweise von obigem Beweis:

Behauptung √P = irrational
Gegenbehauptung √P = rational, demzufolge wäre √P = a/b möglich
einfach quadrieren P = (a/b)*(a/b) und zerlegen in
Primfaktoren P = (a1*a2*...)²/(b1*b2*...)² oder
umgeschrieben (b1*b2*...)²*P = (a1*a2*...)²
wegen "=" sollte selbstverständlich B(b²,P)=A(a²) sein
aber ()² bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren geradzahlig sein muß
nur zum Verständnis für Mitleser: zB (2*3*5)²=(2*3*5)*(2*3*5)=(2*3*5*2*3*5) hat gerade Anzahl von Faktoren
(oder müßte das extra als Lemma bewiesen werden? kann man ja als bekannt voraussetzen)
rechts stimmt's also: A hat eine gerade Anzahl von Primfaktoren; das genügt hier aber nicht. Was wir aber auch feststellen: rechts kommt jeder Primfaktor doppelt vor.
links ist der Widerspruch: B=b²*P = b²*p₁*p₂ ist zwar auch eine gerade Anzahl von Primfaktoren, aber nur die von b² kommen doppelt vor, aber p₁ und p₂ beide nur einfach.

Da die Primfaktorzerlegung aber eindeutig ist kann sowas nicht passieren.
Ergebnis: √P kann nicht rational sein

Vorsicht: im Falle des Produktes einer ungeraden Anzahl von Primzahlen dürfen die Primzahlen beliebig sein, also auch dieselbe Primzahl mehrfach vorkommen, während im Falle des Produktes einer geraden Anzahl von Primzahlen diese verschieden sein müssen.

Wenn wir hier den allgemeinen Fall betrachten wollen, so müssen wir wie bei der Verallgemeinerung vom Lemma 3 auf Lemma 4 alle Primfaktoren, die in einer geraden Potenz vorkommen, die also geradzahlig vorkommen, d.h. zweimal oder viermal oder sechsmal oder auch zwanzigmal, vor die Wurzel ziehen; das geht, da diese ja Quadratzahlen sind; unter der Wurzel verbleiben dann nur noch verschiedene Primzahlen.

So elegant dieser Beweis ist, aber ich persönlich wittere hier nach wie vor eine Falle: intuitiv ist dieser Beweis mit dieser Erweiterung auf Produkte einer geraden Anzahl Primzahlen viel einfacher als der rein-algebraische Beweis, was Anlass zur Vermutung gibt, dass da noch etwas fehlen könnte, was über die Verwendung der Eindeutigkeit der Primfaktorzerlegung hinausreicht.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Umgekehrt kannst du noch was erkennen, wir wissen ja daß das Quadrat einer irrZahl immer rat ist.
Aber auch Produkte unterschiedlicher irrZahlen können rational sein, sieht man über die Primfaktoren:
a) √2 ist irr und (√2)² = √2*√2 = 2 ist rat
b) √3 und √12 sind irr, aber auch √3*√12 ist rat weil
c) √3*√12 = √(3*12) = √36 = 6 bzw. √6*√6 = 6 ist rat

Hallo zusammen,

um solche hässlichen Situationen zu vermeiden empfehle ich ja auch, die Quadratzahlen unter der Wurzel "auszuklammern":

das heisst also √12 als 2*√3 zu schreiben (√12 = √(4*3) = √4*√3 = 2*√3). Das ist ja die Verallgemeinung vom Lemma 3 zu Lemma 4.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

ich stehe einfach mal auf einfach, locker-flockig, hingucken und fertig.
Behauptung √p = irrational
Gegenbehauptung √p = rational, demzufolge wäre √p = a/b möglich
einfach quadrieren p = (a/b)*(a/b) und zerlegen in
Primfaktoren p = (a1*a2*...)²/(b1*b2*...)² oder
umgeschrieben (b1*b2*...)²*p = (a1*a2*...)²
wegen "=" sollte selbstverständlich B(b²,p)=A(a²) sein
aber ()² bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren geradzahlig sein muß
nur zum Verständnis für Mitleser: zB (2*3*5)²=(2*3*5)*(2*3*5)=(2*3*5*2*3*5) hat gerade Anzahl von Faktoren
(oder müßte das extra als Lemma bewiesen werden? kann man ja als bekannt voraussetzen)
rechts stimmt's also: A hat eine gerade Anzahl von Primfaktoren
links ist der Widerspruch: B=b²*p ist eine ungerade Anzahl von Primfaktoren
Ergebnis: √p kann nicht rational sein

Baut aber darauf auf, daß es für jede Zahl nur eine Möglichkeit der Primfaktorzerlegung gibt.

Hallo zusammen,

damit sich der Herr Senf nicht langweilt:

Sei p eine Primzahl.

1. zeige, dass ³√p irrational
2. zeige, dass ³√(p²) irrational


Freundliche Grüsse, Ralf