Dgoe hat geschrieben:Danke für den Exkurs. Ich muss gestehen, dass ich das wiederholt rekursiv nach und nach folgend lesen musste und einige Nachfolgeoperationen gleicher Art noch ausstehen.
Hallo Dgoe,
das ist wenig überraschend, denn ich habe ja nirgendwo geschrieben, wie man die konstruiert, sondern nur einige Ergebnisse mitgeteilt.
Du kannst es Dir an sich ganz einfach vorstellen:
- wenn man Zahlen mit sich selber addiert, so multipliziert man: 2+2+2 = 2*3
- wenn man Zahlen mit sich selber multipliziert, so potenziert man: 2*2*2 = 2
3- wenn man Zahlen mit sich selber potenziert, so ... -> Vorsicht: Assoziativgesetz beim Potenzieren nicht gültig !
- u.s.w.
Dasselbe kann man nun auch in die andere Richtung machen:
- wenn man Zahlen mit sich selber "h-iert", so addiert man: 2 h (2 h 2) = 2+3
- wenn man Zahlen mit sich selber "g-iert", so "h-iert" man: 1 g (1 g 1) = 1 h 3
- u.s.w.
Man kann nun das "h-ieren" untersuchen und stellt fest, dass es "im Wesentlichen" die Eigenschaften eines Nachfolgeoperators hat. Das gilt auch für das "g-ieren" und für alle weiteren von denen, deswegen habe ich sie für die Anschauung "(zweiwertige) Nachfolgeoperator n.-ter Stufe genannt".
Man kann diese Operationen natürlich auch rein klassisch untersuchen, also nur für die uns bekannten Zahlen, dann stellt man einfach fest, dass die keine Neutralelemente haben.
Man kann zusätzlich noch per Axiom je ein Neutralelement fordern und dann zusätzlich für dieses rein formal Rechenregeln herleiten; man hat dann aber keine Vorstellung darüber, "wo" sich diese Neutralelemente befinden. Immerhin stellt man dann Gesetzmässigkeiten fest, die auch im klassischen Bereich gelten.
Wenn man zusätzlich noch wissen will, "wo" sich diese "Zahlen" befinden, dann muss man irgendwie eine Abstandsmessung einführen. Allerdings beruhen Abstandsmessungen klassisch auf der Addition, was bei diesen "Zahlen" nicht funktioniert, weil eine Addition für diese "Zahlen" keinen Sinn macht.
Eine banale zusätzliche Rechenregel ergibt sich noch für das Inverse der 2, wobei man sich das nun nicht axiomatisch abzusichern braucht: gibt es das Element, so gilt die Regel, sonst halt nicht. - Wirklich weiter kommt man aber erst, wenn man sich auch ohne die Herleitbarkeit von Rechenregeln alle Inversen axiomatisch sichert.
Wobei einem aber natürlich die volle Problematik von axiomatischen Absicherungen bewusst sein muss !Wie auch immer: das führt nun völlig off-topic in Details; ich will hier nun nur anfügen, dass diese Nachfolgeoperatoren n.-Stufe im Allgemeinen nicht abgeschlossen sind, d.h. gar nicht für alle Argumente definiert sind, zudem sind sie nicht assoziativ und auch nicht kommutativ. Man muss also bei den Herleitungen ziemlich aufpassen, dass man da nicht stillschweigend etwas verwendet, was gar nicht definiert ist.
Und eben: das ganze steht und fällt an genau der Stelle, an der ich erstmals eine axiomatische Absicherung tätige, also bei der Existenz eines Neutralelementes für jeden (zweiwertigen) Nachfolgeoperator n.-ter Stufe. Man kann das noch abschwächen, indem man das nur für jeden (zweiwertigen) Nachfolgeoperator bis und mit n.-ter Stufe fordert, dann stoppt diese Theorie aêinfach nach n Schritten. Wirklich spannend wird es aber erst, wenn man das für alle n zulässt und dann den Grenzübergang betrachtet. Eine algebraische Fortsetzung über diesen Grenzübergang hinaus ist mir bislang nur rein formal gelungen, indem ich einen minimierenden Prozess eingeführt habe. Aber eben, das wird dann alles völlig vage, und ich habe auch kein interessantes Resultat gefunden.
Freundliche Grüsse, Ralf