Dgoe hat geschrieben:ralfkannenberg hat geschrieben:Wie oft "rückt" denn da so ein ak oder allgemeiner, so ein b * ak, nach, ...
Wie Du selber schon beantwortet hast: unendlich oft.
ralfkannenberg hat geschrieben: ...oder anders gefragt: wieviele Summanden hat die Summe bzw. deren Differenz, die da im Beweis betrachtet wird ?
Wie Du selber schon beantwortet hast: unendlich viele.
Hallo Dgoe,
ganz genau. Und das Problem liegt ganz banal darin, dass Summen mit unendlich vielen Summanden im Allgemeinen
nicht definiert sind. Das schliesst aber natürlich nicht aus, dass es Spezialfälle geben mag, in denen sie definiert sind, aber das muss man dann eben beweisen.
Und unsere geometrische Reihe für Zahlen a > 1 zeigt eben sehr schön, warum es berechtigt ist, zu sagen, dass Summen mit unendlich vielen Summanden im Allgemeinen nicht definiert sind. Für Zahlen 0 <= a < 1 kann man beweisen, dass es geht, und dazu benötigt man die epsilon, aber das machen wir später. Elementar gezeigt haben wir es bislang ja nur für a=1/2 und für die Euler'sche Zahl benötigen wir nur die geometrische Reihe für a=1/2.
Vorsicht: Man mag versucht sein, zu glauben, dass das Problem darin liegt, dass die Reihenglieder nicht gegen 0 konvergieren, aber das genügt eben nicht - da hatten wir ja das Gegenbeispiel der alternierenden harmonischen Reihe !
Das "Problem" was hier vorliegt kann man sich sogar veranschaulichen:
Wir haben ja 2 Summen mit je unendlich vielen Summanden, die wir voneinander subtrahieren. Für a >=1 divergieren beide Summen gegen oo, so dass wir also bei der Differenzbildung den Ausdruck oo + (-oo) betrachten und das klappt eben nicht - daraus lässt sich keine Aussage und auch kein Beweis gewinnen. Das ist ganz analog zu der Situation, dass man bei einer zu behauptenden Gleichung versehentlich beide Seiten mit 0 multipliziert und dann meint, man hätte die Gleichheit bewiesen.
Bei 0 <= a < 1 indes - das ist allerdings noch zu zeigen - konvergieren die positiven Summanden gegen eine endliche Zahl und konvergieren auch die negativen Summanden gegen eine endliche Zahl. Man nennt solche Reihen, bei denen das der Fall ist,
absolut konvergent und nur wenn man nachweisen kann, dass eine Reihe absolut konvergent ist, darf man wie bei endlichen Summen Summanden vertauschen, Faktoren ausklammern etc. Andernfalls kann es einem passieren, dass man versehentlich irgendwo mit oo addiert oder einen Ausdruck oo + (-oo) betrachtet und somit sämtliche Beweiskraft verliert.
Freundliche Grüsse, Ralf