Das Panzerpardox

[nocheinPoet]

Abb.9

Ich habe einwenig weiter gezeichnet, hier nun die Erklärung. Abb.9 zeigt zwei Koordinatensysteme, auf der y-Achse (vertikal) liegt die Zeit, auf der x-Achse der Raum. Die normalen drei Raumdimensionen sind hier auf nur eine zusammengefasst. Uns bleibt also von einem Objekt nur noch eine Länge im Raum übrig, aber das recht hier dennoch völlig aus.

Violett ist hier das Panzersystem, und türkis das Schluchtensystem. Punkt A ist der Nullpunkt des Panzersystems und dort beginnt auch die Länge des Panzers. Der ist 5m lang und geht somit genau bis zum Punkt B. Hier ist dann der Nullpunkt des Schluchtensystems, die Schlucht beginnt und geht mit ihren 8m bis zum Punkt C.

Die Zeichnung zeigt also den Panzer mit 5m vor der 8m Schlucht stehen. Auf der Abbildung ruhen also noch beide Objekte. Sie „berühren“ sich im Punkt B.

Die Physiker sprechen oft von einem „Ereignis“ an einem bestimmten Punkt im Raum zu einer bestimmten Zeit „passiert“ eben etwas. Wir können hier A, B und C auch Ereignisse nennen.


Hintergrund:

Es gibt unterschiedliche Wege, sich die Aussagen der SRT klar zumachen, ich bin da vor vielen Jahren einen ein wenig unorthodoxen beschritten, der die Dinge jedoch sehr schon und klar beschreibt. Die Annahmen sind ganz einfach und schnell gesagt:

Alles bewegt sich immer konstant mit Lichtgeschwindigkeit (c) durch die Raumzeit.

Das war es im Grunde schon. In welche Richtung könnte man nun noch fragen und die Antwort ist, in Richtung Zeit, alles bewegt sich auf „seiner“ Zeitachse. Alle Dinge bewegen sich mit Lichtgeschwindigkeit durch die Zeit und das immer und konstant. Aber es ist die „eigene“ Zeit, die eigene Zeitachse steht immer senkrecht auch den eigenen Raumachsen. Die Strecke AB bewegt sich also wie auch die Strecke BC nach oben, sie bewegt sich mit c durch die Zeit.


Ereignisse die im eigenen System auf gleicher Höhe auf der Zeitachse sind, sind gleichzeitig. Wir können also ABC gleichzeitig messen. Bewegt sich nun eine Länge, also ein Objekt mit einer räumlichen Ausdehnung durch die Raumzeit entlang der Zeitachse bilden alle Punke (Ereignisse) in der Raumzeit eine Fläche. Die für den Panzer habe ich violett, die für die Schlucht türkis gezeichnet.

Da sich Panzer und Schlucht zueinander nicht bewegen, gibt es auch keine Überschneidungen der Flächen, es gibt so in der Raumzeit kein Ereignis, wo ein Punkt des Panzers über der Schlucht ist. Der Panzer parkt also am Schluchtrand und wenn da nicht Bewegung rein kommt, bis in alle Ewigkeit.


Hintergrund:

In der von mir hier gewählten Diagrammform gibt es keine Koordinatensysteme die zueinander bewegt sind, die Nullpunkte bleiben immer dort wo sie in der Raumzeit sind. Wie bringen wir nun aber Bewegung ist Spiel?

Stellen wir uns dazu mal zwei Fahrzeuge auf einem großen Parkplatz vor, beide fahren parallel mit einer konstanten Geschwindigkeit zueinander. Kein Fahrzeug kann seine Geschwindigkeit ändern, diese ist konstant. Wenn nun das eine Fahrzeug sich dem anderen nähern will, muss es die Richtung ändern. Das bedeutet, die Koordinatensysteme können sich zueinander nicht bewegen, aber sie können gedreht werden.


Ich zeige hier nun schon mal das Diagramm für diese Rotation, und werde dieses dann im nächsten Beitrag weiter erklären, wenn es bis hier Fragen gibt, dann stellt diese.


Abb.10

[Artie]

http://www.relativity.li/de/epstein/lesen/c0_de/c4_de/

Es lohnt sich wirklich mal Epstein zu lesen, ich finde so sollte man die SRT erklären und betrachten.

Herzlichen Dank für den Link!
Bin am Lesen.

[Tachyon]

Hallo Manuel,

ich halte nicht viel von der Herangehensweise, alle Körper bewegten sich mit Lichtgeschwindigkeit durch die Raumzeit. Sie verschleiert einen wesentlichen Unterschied zwischen Raum- und Zeitdimensionen. Die Raumzeit ist nicht euklidisch, sondern pseudo-euklidisch. Das macht sich darin bemerkbar, dass die Zeitkoordinate in der Metrik das entgegengestzte Vorzeichen hat. Die Metrik ist nicht positiv-definit, es gibt positive und negative Raumzeit-Abstände. In der Fachsprache nennen wir die raumartig und zeitartig und ein Raumzeitabstand von Null bedeutet im Gegensatz zur euklidischen Metrik nicht, dass die beiden Punkte identisch sind, sondern dass sie auf einem gemeinsamen Lichtstrahl liegen. Kurz: die Raumzeit hat etwas andere Eigenschaften als ein vierdimensionaler Raum, in dem sich die Objekte bewegen.

Der Trick, mit dem man den Raum euklidisch macht, ist eine Vertauschung von Eigenzeit mit Koordinatenzeit. Wir haben ja die Gleichung:

ds²=dt²-dx²-dy²-dz²

(ds ist hier das Eigenzeit-Differential)

das kann man umformen zu:

dt²=dx²+dy²+dz²+ds²

Und so sieht es tatsächlich aus, wie ein gewöhnlicher Vektor im 4D-Raum. Die vergangene Koordinatenzeit ist sozusagen die Länge des Vektors aus Eigenzeit und zurückgelegte Strecken im Raum. Aber dt ist kein Skalar bezüglich der Lorentztransformation. ds ist der Skalar und dt bildet mit dx, dy und dz einen Vierervektor. Du gerätst mit diesem Zugang zur Relativitätstheorie in eine Sackgasse. Du kannst zwar die Längenkontraktion einigermaßen erfassen, kommst aber vermutlich schon mit der Zeitdilatation durcheinander. Vor allem aber büßt du die Symmetrie der SRT ein, was dann den Schritt zur allgemeinen Relativitätstheorie erschwert.

Gruß,
Tachyon

[nocheinPoet]

Ich halte nicht viel von der Herangehensweise, alle Körper bewegten sich mit Lichtgeschwindigkeit durch die Raumzeit. Sie verschleiert einen wesentlichen Unterschied zwischen Raum- und Zeitdimensionen. Die Raumzeit ist nicht euklidisch, sondern pseudo-euklidisch.

Moin Joachim, da bin ich mir noch nicht so sicher…;)

Das macht sich darin bemerkbar, dass die Zeitkoordinate in der Metrik das entgegengesetzte Vorzeichen hat. Die Metrik ist nicht positiv-definit, es gibt positive und negative Raumzeit-Abstände. In der Fachsprache nennen wir die raumartig und zeitartig und ein Raumzeitabstand von Null bedeutet im Gegensatz zur euklidischen Metrik nicht, dass die beiden Punkte identisch sind, sondern dass sie auf einem gemeinsamen Lichtstrahl liegen. Kurz: die Raumzeit hat etwas andere Eigenschaften als ein vierdimensionaler Raum, in dem sich die Objekte bewegen.

Das will ich ja nicht bestreiten…

Der Trick, mit dem man den Raum euklidisch macht, ist eine Vertauschung von Eigenzeit mit Koordinatenzeit. Wir haben ja die Gleichung:

ds² = dt² - dx² - dy² - dz² (ds ist hier das Eigenzeit-Differential)

das kann man umformen zu:

dt² = dx² + dy² + dz² + ds²

Und so sieht es tatsächlich aus, wie ein gewöhnlicher Vektor im 4D-Raum.

Ist doch aber toll so.

Die vergangene Koordinatenzeit ist sozusagen die Länge des Vektors aus Eigenzeit und zurückgelegte Strecken im Raum.

Für das GE mit den Zwillingen ist das auch recht nützlich…

Aber dt ist kein Skalar bezüglich der Lorentztransformation. ds ist der Skalar und dt bildet mit dx, dy und dz einen Vierervektor. Du gerätst mit diesem Zugang zur Relativitätstheorie in eine Sackgasse. Du kannst zwar die Längenkontraktion einigermaßen erfassen, kommst aber vermutlich schon mit der Zeitdilatation durcheinander.

Zurzeit grüble ich mehr, wie ich da ein Photon vernünftig ins Diagramm bekomme. Und das mit der Zeit klappt doch super, wenn ich den Vektor im 4d Raum kippe, ist der Anteil auf der Zeitachse kleiner und somit vergeht die Zeit langsamer. Man kann da super auch den Lorenzfaktor rausziehen.

Vor allem aber büßt du die Symmetrie der SRT ein, was dann den Schritt zur allgemeinen Relativitätstheorie erschwert.

Bis zur ART kommen die Kritiker doch eh nie…;)


Es ist nun so, ich habe das ja nicht studiert, ich habe mit 15 angefangen über die Raumzeit zu grübeln, weil ich dringend eine Formel brauchte für mein Simulationsprogramm. Der Flug zum Pluto dauerte in Echtzeit einfach zulange, oder ich musste auf Überlicht gehen. Da es damals noch kein Internet gab, habe ich mir eben selber was überlegt und zusammengeschraubt. Die Formel die ich so gefunden habe, entspricht 1/γ und ich konnte damit alles berechnen. Auch die ZD. Im AC habe ich das über die Impulse bis E = mc² und weiter getrieben, wobei am Ende das leider versandet ist.

Ich habe mich auch mit ca. 15 dann mit 4d Räumen beschäftigt, ich fand das megainteressant. Die Rotationsmatrizen waren echt heftig. Das habe ich dann später genutzt um Fraktale zu berechnen, Du weißt sicher, das Madelbrot und Juliamenge zusammenhängen. Sind zwei Flächen die sich im 4d Raum in einem Punkt treffen. Wenn man weiß wie es geht, kann man beliebige Schnitte durch dieses 4d Gebilde machen und von einer Julia auch zu einer Mandelbrotmenge rotieren. Die Parallelen zur Raumzeit sind einfach was die Mathematik angeht nicht zu bestreiten.

Auch ein schwarzes Loch kommt einer Hyperkugel unglaublich nahe. Am Horizont sollen sich auch Raum und Zeitachse tauschen. Es ist wie eine Rotation im 4d Raum.

Ich finde die ganzen Parallelen einfach zu schön, um das Bild einfach so aufzugeben. Und als ich dann Epstein entdeckt habe, dachte ich mir, na also, man kann es auch so sehen. Nun bin ich wohl eh zu alt, um Physik zu studieren, und habe auch nicht die Zeit so ganz tief da einzusteigen. Ich versuche so eben, mein Bild zu festigen, und ein wenig zu erweitern.

LK und ZD bekomme ich so jedenfalls super hin, und wenn ich nun die Ruhemasse dazu nehme, und so mit einem Viererimpuls reche wird mir auch klar, warum ich nicht an c kommen kann.

Ich habe ja c als Vektor im 4d-Raum und jede Masse bewegt sich so erstmal nur auf der Zeitachse. Photonen nur „räumlich“. Beschleunige ich nun eine Masse, kippe ich den Vektor. Das mache ich mit einem Impuls der im Raum liegt. Ich kann nun aber den Impuls im Raum beliebig groß machen, ich bekomme den Vektor eben wegen seinem Anteil auf der Zeitachse nie vollständig um 90 Grad gedreht.

Man kann das wirklich sehr schön geometrisch zeichnen, das passt einfach sehr gut, und ist soweit auch klar verständlich. Es kann meiner Meinung nach darum auch nicht so falsch sein. Aber ich würde da gerne mehr von Dir zu hören, also wenn Du Langeweile hast, dann können wir das über die Zeit in Ruhe mal erörtern. Du kannst mir dann auch Deine Einwände klarer machen, so einfach will ich das nicht hin nehmen. Kennst mich doch…;)


Schöne Feiertage wünscht Dir

Manuel

[Tachyon]

Zurzeit grüble ich mehr, wie ich da ein Photon vernünftig ins Diagramm bekomme. Und das mit der Zeit klappt doch super, wenn ich den Vektor im 4d Raum kippe, ist der Anteil auf der Zeitachse kleiner und somit vergeht die Zeit langsamer. Man kann da super auch den Lorenzfaktor rausziehen.

Dein Problem mit dem Photon zeigt genau, wo der Hase im Pfeffer liegt. Diese Darstellung funktioniert nicht auf Basis von Koordinatensystemen, sondern auf Basis von Objekten. Einfach weil die Zeitachse die Eigenzeit ist. Für lichtschnelle Objekte geht die Eigenzeit aber gegen Null. Eine Lichtwelle ist nun ein ausgedehntes "Objekt", das natürlich auch der Längenkontraktion und Zeitdilatation unterliegt, kann aber in diesen Diagrammen nicht dargestellt werden.

Diese Darstellung verschleiert die Symmetrie, die den Naturgesetzen zugrunde liegt, denn ein Koordinatensystem, dass aus drei Raumkoordinaten und eine für jedes Objekt unterschiedlich gehende und für einige sogar stehende Zeit besteht, kann für nichts verwendet werden. Man kann damit nicht rechnen, keine Physik betreiben.

Gruß,
Tachyon

[nocheinPoet]

Zurzeit grüble ich mehr, wie ich da ein Photon vernünftig ins Diagramm bekomme. Und das mit der Zeit klappt doch super, wenn ich den Vektor im 4d Raum kippe, ist der Anteil auf der Zeitachse kleiner und somit vergeht die Zeit langsamer. Man kann da super auch den Lorenzfaktor rausziehen.

Dein Problem mit dem Photon zeigt genau, wo der Hase im Pfeffer liegt. Diese Darstellung funktioniert nicht auf Basis von Koordinatensystemen, sondern auf Basis von Objekten. Einfach weil die Zeitachse die Eigenzeit ist.

Nun ja,… - Alter Miesmacher…

Wir haben es aber doch schon in der Regel in der RT mit Objekten zu tun. Ein Elektron, ein Photon, ein Manuel, und kein Objekt kann aus seiner Eigenzeit raus. Was interessiert es mich, wie schnell Deine Uhr geht? Im Grunde geht es doch um mich, oder um das System des Objektes. Für uns ist die Eigenzeit der Erde wichtig, nicht wie schnell oder langsam die Uhr in einer Galaxis geht, die mit 0,8c auf uns zu fliegt. Auch ist es mir recht Banane, was da sich so wer für Gedanken macht, wie schnell meine Uhr in Relation zur seiner geht. In Anbetracht meiner Zimmeruhr, warum sollte ich nicht meine Eigenzeit für die Zeitachse nehmen?

Ich dachte so Relativitätsprinzip, ich bin der Nabel der Welt, stehe im Zentrum des Universums, ich ruhe in mir und dem was ist. Alles dreht sich im mich, alles bewegt sich wenn dann in Bezug zu mir.

Und wo ich grade mal im Zentrum bin, durch die Ausdehnung des Universums gibt es doch um mich herum eine Kugeloberfläche hinter der sich alles schneller als c von mir entfernt. Was dahinter liegt, liegt außerhalb meines wahrnehmbaren Universums. Ein Photon von dort könnte mich ja nie erreichen. Jemand der nun 1m neben mir steht, hat auch so eine Kugeloberfläche, aber seine geht in eine Richtung 1m weiter als die meine. Er könnte also noch ein Photon aus einem Bereich registrieren, das mich nicht mehr erreichen kann. Er könnte so auch eine Nachricht bekommen, die ich nicht erhalten kann. Was ist nun, wenn er es mir erzählt? Habe ich dann eine Information bekommen, die ich gar nicht bekommen kann? Die Frage musste ich einfach mal an den Mann bringen…

Für lichtschnelle Objekte geht die Eigenzeit aber gegen Null.

Wohl wahr, das ist echt ärgerlich, aber zum Glück ist da ja eh nur das Photon, das wirklich lichtschnell ist. Und egoman wie ich bin, geht eben alles um mich herum viel schneller. Das Werte nun gegen Null und Unendlich streben, habe ich ja auch in einer anderen Form der Darstellung.

Eine Lichtwelle ist nun ein ausgedehntes "Objekt", das natürlich auch der Längenkontraktion und Zeitdilatation unterliegt, kann aber in diesen Diagrammen nicht dargestellt werden.

Brommel…

So richtig will es nicht ins Diagramm, das sehe ich schon. Aber es gibt doch eh kein IS für ein Photon, ein Photon hat ja kein Ruhesystem. Dennoch ist es ärgerlich…

Diese Darstellung verschleiert die Symmetrie, die den Naturgesetzen zugrunde liegt, denn ein Koordinatensystem, dass aus drei Raumkoordinaten und eine für jedes Objekt unterschiedlich gehende und für einige sogar stehende Zeit besteht, kann für nichts verwendet werden. Man kann damit nicht rechnen, keine Physik betreiben.

Nun schauen wir mal eben bei Wikipedia nach:

Der Vierervektor der Geschwindigkeit (vμ) ergibt sich durch Differentiation des Ortsvektors (xμ) nach der Eigenzeit dτ. Die Eigenzeit τ ist über die Zeitdilatation definiert als

,

wobei γ der Lorentzfaktor ist. Daraus ergibt sich die Vierergeschwindigkeit zu

.

Interpretation

Die Norm der Vierergeschwindigkeit ergibt sich sowohl in der speziellen- als auch in der allgemeinen Relativitätstheorie zu

.

Anders ausgedrückt bewegt sich ein jeder Gegenstand stets mit Lichtgeschwindigkeit durch die vier Dimensionen der Raumzeit.

Dieses Ergebnis erklärt die Zeitdilatation folgendermaßen:

Befindet sich ein Gegenstand von einem Bezugssystem aus betrachtet in Ruhe, so bewegt er sich mit Lichtgeschwindigkeit in Richtung der Zeitdimension. Wird dieser Gegenstand hingegen im Raum beschleunigt, so muss seine Bewegung in Richtung der Zeit abbremsen (Zeitfluss verlangsamt sich), damit die Norm der Vierergeschwindigkeit konstant bleibt. Da sich aber der Zeitfluss verlangsamt, erscheint die Geschwindigkeit im Vierervektor erhöht.

Photonen und andere, masselose Teilchen (Luxonen) bewegen sich immer mit Lichtgeschwindigkeit durch den Raum und ruhen dafür in der Zeit (Vierergeschwindigkeit nicht definiert).

Es kann doch nun nicht so falsch sein, es so zu betrachten, ich hatte mich damals richtig gefreut, dass ich mit meiner Überlegung das von selber gefunden habe. Ich bin sehr sensibel, mach mir das nicht kaputt.

Im Ernst, ich sehe ja dass es Probleme gibt, dennoch ist es doch richtig, das sich in der Raumzeit eben alles konstant mit c bewegt. Und nun kann ich mit dieser Diagrammform recht klar zeigen, wie der verkürzte Panzer über der Schlucht schwebt, so wie er auch gleichzeitig beide Seiten der verkürzten Schlucht berührt. Dafür eignet sich das dann doch schon.

Wie schraubst Du das denn anders in ein Minkowski Diagramm?

Ich mag einfach keine nicht rechtwinkligen Achsen. Wenn ich mich auf y bewege, dann eben auch nur da. Und wie sehen denn da die Achsen bei c aus? Und auch hier kann man kein Photonruhesystem schrauben.

Ich finde einfach die geometrische Betrachtung so schön. Das dieser Vektor in der Raumzeit kippt, und man da dann γ und einiges mehr raus bekommt. Beschreibe doch mal die Symmetrie welche so verschleiert wird.

[Tachyon]

Hallo Manuel,

das wird jetzt ein bisschen weh tun.

Wikipedia lügt. Die zeitliche Komponente der Vierergeschwindigkeit nimmt mit der 3d-Geschwindigkeit nicht ab, sondern zu. Die Vierergeschwindigkeit ist definiert als:

$$u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$$

Die Formel gibt Wikiedia auch richtig an, aber im Text wird behauptet, die zeitliche Komponente nehme mit der Geschwindigkeit ab, tatsächlich ist aber:

$$u^0 = c \frac{dt}{d\tau} = \gamma c $$

Das ist immer größer als c, weil gamma immer größer ist als Eins (außer für v=0).Nur so kann auch die letzte Formel, die Wikipedia richtig angibt, stimmen:

$$\sqrt{u_\mu u^\mu}=\sqrt{\gamma^2c^2-\gamma^2 v^2}=c$$

Beachte hier das Minus-Zeichen. Der Gesamtausdruck kann nur immer gleich c sein, wenn der erste Term unter der Wurzel größer als c² ist.

Tut mir Leid, wenn dir das die Festtage verdirbt. Du musst jetzt ganz stark sein

Frohes Fest,
Tachyon

[nocheinPoet]

Hallo Manuel, das wird jetzt ein bisschen weh tun. Wikipedia lügt.

Moin Joachim, sicher das es eine Lüge ist, also das gezielte und bewusste verbreiten von Unwahrheiten? Könnte sich Wikipedia nicht auch nur irren? Egal, aber ich werde es überleben.

Die zeitliche Komponente der Vierergeschwindigkeit nimmt mit der 3d-Geschwindigkeit nicht ab, sondern zu. Die Vierergeschwindigkeit ist definiert als:

$$u^\mu = \frac{dx^\mu}{d\tau}$$

Die Formel gibt Wikiedia auch richtig an, aber im Text wird behauptet, die zeitliche Komponente nehme mit der Geschwindigkeit ab, tatsächlich ist aber:

$$u^0 = c \frac{dt}{d\tau} = \gamma c $$

Das ist immer größer als c, weil gamma immer größer ist als Eins (außer für v=0).Nur so kann auch die letzte Formel, die Wikipedia richtig angibt, stimmen:

$$\sqrt{u_\mu u^\mu}=\sqrt{\gamma^2c^2-\gamma^2 v^2}=c$$

Beachte hier das Minus-Zeichen. Der Gesamtausdruck kann nur immer gleich c sein, wenn der erste Term unter der Wurzel größer als c² ist.

Tut mir Leid, wenn dir das die Festtage verdirbt. Du musst jetzt ganz stark sein

Also erstmal machst Du mir ja ein tolles Weihnachtsgeschenk in dem Du LATEX nutzt. Du bist nämlich der Erste hier im Forum der das getan hat. Damit sei Dir eh alles vergeben. Und dann habe ich da eben mal mein Bild zu gepinselt:



Setzen wie mal c = 1. Die Hypotenuse c steht bei vr = 0 senkrecht und so ist vt = 1. Gibt es nun eine Geschwindigkeit, kippt c und während nun vr gegen 1 strebt, strebt vt gegen 0. Ich erlaube mir den einfachen Pythagoras mal hinzuschreiben:

$$1=c=\sqrt{vr^2+vt^2}$$

Die zeitliche Komponente ist:

$$vt=\sqrt{1-vr^2}$$

Und das ist:

$$vt=\sqrt{1-vr^2}=1/\gamma $$

Du hast geschrieben:

$$c=\sqrt{\gamma^2c^2-\gamma^2 v^2}$$

Mir ist nicht so richtig klar, warum Du da noch c in der Wurzel hast. Wenn ich ehrlich bin, ist mir zurzeit eh nicht wirklich klar, wie Du dahin kommst und warum. Ich schaue mir das Mal an, was Du da so geschrieben hast. Was ist Dein v eigentlich genau?


Dir ein schönes Fest

Manuel

[Tachyon]

Hallo Manuel,

Frohes Neues Jahr!

Hast du dich schonmal mit Vierervektoren beschäftigt? Dort gilt eine etwas andere Metrik als die euklidische Geometrie.

Euklidische Geometrie:
Zwei Punkte A und B können durch ihr drei Raumkoordinaten angegeben werden:
$$A=(x_A,y_A,z_A)$$
$$B=(x_B,y_B,z_B)$$
Der Abstand dieser Orte errechnet sich nach Pytagoras zu:
$$s_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2}$$
Der Abstand kann nur positiv sein und ist invariant gegenüber Drehungen und Verschiebungen der Koordinaten.

Minkowski-Geometrie der Raumzeit:
Zwei Ereignisse (Raumzeit-Punkte) A und B können durch drei Raum- und eine Zeitkoordinate angegeben werden:
$$A=(ct_A,x_A,y_A,z_A)$$
$$B=(ct_B,x_B,y_B,z_B)$$
Das c hat die Aufgabe, gleiche Einheiten zu erzwingen. Man kann es auch zu 1 setzen, wenn man möchte.
Hier kann man fast analog einen Abstand definieren nach:
$$s_{AB}=\sqrt{(x_A-x_B)^2+(y_A-y_B)^2+(z_A-z_B)^2-c(t_A-t_B)^2}$$
Das Minus-Zeichen vor der Zeitkoordinate ist wichtig, denn nur durch dieses Minus ist dieser Raum-Zeit-Abstand invariant gegenüber Lorentztransformationen.
Dieser Abstand ist nur für raumartig getrennte Ereignisse definiert. Für lichtartig getrennte Ereignisse ist er Null und für zeitartig getrennte Ereignisse ist er nicht definiert, dafür kann man für diese einen Analogen zeitartigen Abstand definierten:
$$\tau_{AB}=\sqrt{c(t_A-t_B)^2-(x_A-x_B)^2-(y_A-y_B)^2-(z_A-z_B)^2}$$
Das ist die Eigenzeit eines Objektes, das mit konstanter Geschwindigkeit geradlinig von A nach B fliegt. Sie ist auch Lorentzinvariant.

Die Vierer-Geschwindigkeit entsteht nun aus dem variablen Vierervektor, der den Ort eines Objektes beschreibt, indem man nach der Zeit ableitet. Ein Objekt A fliege entlang einer Bahn, die beschrieben ist durch:
$$A(\lambda)=\left(ct_A(\lambda),x_A(\lambda),y_A(\lambda),z_A(\lambda)\right)$$
Alle Koordinaten sind also Funktionen von einem Parameter lambda, der irgendwie zeitabhängig ist. Schließlich möchte man die Bewegung eines Objektes beschreiben, das geht, indem x, y, und z von der Zeit abhängen. Aber welche Zeit nimmt man? Man kann die Bewegung nach Koordinatenzeit darstellen:
$$A(t)=(ct,x_A(t),y_A(t),z_A(t))$$
oder nach Eigenzeit:
$$A(\tau_A)=(ct_A(\tau_A),x_A(\tau_A),y_A(\tau_A),z_A(\tau_A))$$

Wenn man nun die Geschwindigkeit erhalten will, so leitet man nach der Zeit ab. Nimmt man Koordinatenzeit, so erhält man:

$$v_A=\frac{dA}{dt}=\left( c \frac{dt}{dt}, \frac{dx_A}{dt}, \frac{dy_A}{dt}, \frac{dz_A}{dt} \right)=(c,v_x,v_y,v_z)$$

Das ist offenbar kein Vierervektor und hier gilt dein Pytagoras auch nicht, weil die Zeitkomponente immer c ist. Unabhängig vom Koordinatensystem. Du leitest ja die Zeitkoordinate nach sich selber ab und erhälst damit immer 1. Die Ortskomponenten dieser Geschwindigkeit bilden den gewöhnlichen Geschwindigkeitsvektor, der Koordinatenabhängig ist. Du erhälst nach Pytagoras immer einen Betrag, was größer als c ist.

Nun nehmen wir die andere Möglichkeit und leiten nach Eigenzeit ab:

$$u_A=\frac{dA}{d\tau}=\left( c \frac{dt_A}{d\tau}, \frac{dx_A}{d\tau}, \frac{dy_A}{d\tau}, \frac{dz_A}{d\tau} \right)=\gamma(c,v_x,v_y,v_z)$$

Auch hier erhältst du nach deinem Pytagoras stets einen Betrag, der größer als c ist. Er ist sogar größer als der nach der Koordinatengeschwindigkeit, aber wenn du die Norm der Minkowski-Geometrie benutzt, dann erhältst du:

$$u_A^2 =\gamma^2 (c^2-v^2) =c^2 \frac{1-v^2/c^2}{1-v^2/c^2}=c^2 $$

Die Minkowski-Norm des Geschwindigkeits-Vierervektors ist also tatsächlich immer c, wie Wikipedia richtig angibt. Aber die Zeitkomponente ist größer oder gleich c und die Raumkomponenten sind größer als v oder 0.

Gruß,
Tachyon

[nocheinPoet]

.
Hallo Joachim, auch Dir erstmal ein frohes neues Jahr. Meine mathematischen Fähigkeiten reichen nur bis zur Differenzialrechnung, ich habe leider kein Abitur. Was die 4.Dimension angeht, habe ich mir das selber angelesen und überlegt. Matrizenrechnung ist mir aber bekannt, brauchte ich ja für meine 3d Programme und den Apfelmann.

Zu dem was Du schreibst, es gibt doch auch einen vierdimensionalen Raum, der euklidisch ist. Der Minkowskiraum ist eben ein vierdimensionaler Raum der anders definiert ist. Ich komme doch aber auch ganz ohne den Minkowskiraum auf Gamma. Wie ich Dir ja gezeigt habe. Das klappt auch mit den Impulsen. Ich fasse die drei Raumdimensionen einfach zu einer zusammen und habe dann dazu noch die Zeitliche. Das kann ich dann ohne Probleme frei nach Euklid rechnen.

Danke auch für Deine Erklärungen, werde mir das Mal wenn ich Zeit finde einwenig aufzeichnen. Dennoch sehe ich nicht den Punkt, der mich in diesem „komischen“ Minkowskiraum zwingen sollte. Tut das wirklich Not?


Lieben Gruß

Manuel