Moderatoren: Guhrfisch, nocheinPoet
$$\int {1\over x}\,dx = \ln(x)+C$$
\[\sum_{i=1}^n i = {n(n+1)\over 2}.\]
$$0=a_0\times \sum _{n=1}^{\infty } \left(\left(\frac{1}{n}+H_0{}^2\right)\left(t-t_0\right){}^n\right) -t_0$$
Yukterez hat geschrieben:Die Modelle mit der alternativen Gravitation kommen auch noch, im bayesischen PDF auf Seite 2 wären auch ein paar Kandidaten.
Vorher machen wir noch die Lookbacktime, die ist wirklich haarig wenn man sie genau lösen will, und erfordert Unmengen an Rechenzeit. Deshalb erst mal die modellunabhängigen Formeln, so wie ich sie nach Hogg und Frieman verstehe:
$$t_z=\left(\int_0^z \frac{H_0}{(1+z')\cdot H_{z'}} \, dz'\right)\cdot \left(\frac{1}{H_z\cdot z}\right)$$
das soll nun von z auf a umgestellt werden. Zuerst brauchen wir also zwei Redshiftformeln; eine für die Integration (z') und eine für den Faktor (z).
$$z=\left(\frac{a_0}{a}-1\right);\text{ }z'=\left(\frac{a_0}{a'}-1\right)$$
Dann suchen wir uns ein Modell, zB das Standard Friedmann Lemaître Modell, weil es für den Anfang relativ wenig CPU Zeit braucht:
$$H_a=H_0 \sqrt{ \Omega_R (1+z)^4+\Omega_M (1+z)^3+(1-\Omega_T)(1+z)^2+\Omega_{\Lambda}}$$
und für die Integration brauchen wir auch ein
$$H_{a'}=H_0 \sqrt{ \Omega_R (1+z')^4+\Omega_M (1+z')^3+(1-\Omega_T)(1+z')^2+\Omega_{\Lambda}}$$
dann ermitteln wir das Weltalter nach Skalenfaktor modellunabhängig mit
$$t_a=\left(\int_{a_0}^a \frac{H_0}{(1+z')\cdot H_{a'}} \, da'\right)\cdot \left(\frac{1}{H_a\cdot \left(a-a_0\right)}\right)$$
Input-Form:
- Code: Alles auswählen
// Mupad Syntax for t(a) -> FLRW, ΛCDM, DEOS, PHDE, QESS
// Yukterez, 25.01.2013
DIGITS := 22:
// Input
Mpc := 3.085677581e22*m:
H0 := 70000*m/Mpc/sek:
c := 299792458*m/sek:
OM := 0.29:
OT := 1.0023:
OL := 0.728:
OR := 0:
a0 := 1.314e26*m:
z := a0/a-1:
Z := a0/r2-1:
e0 := 8.8541878176204e-12*amp^2*sek^4/kg/m^3:
h := 6.62606957e-34*kg*m^2/sek:
e := 1.602176565e-19*amp*sek:
alpha := e^2/2/c/e0/h:
w0 :=-1.1:
w1 :=-0.2:
wx := w0*(z+1)^alpha:
r1 := 1*m: // Skalenfaktor am Anfang des Integrals
// Dimensionsdefinition
kg:=1: m:=1: sek:=1:
// Hubblefrequenzen H als Funktion von Skalenfaktor a
HF := H0*sqrt(OR*(z+1)^4+OM*(z+1)^3+(1-OT)*(z+1)^2+OL):
HL := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM))):
HD := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(z+1)^(3*(1+w0+w1))*E^(-3*w1*z/(1+z)))):
HP := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(z+1)^(3*(1+wx)))):
H5 := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(1+z)^(3*(1+w0*(1+z)^-alpha)))):
Hf := H0*sqrt(OR*(Z+1)^4+OM*(Z+1)^3+(1-OT)*(Z+1)^2+OL):
Hl := H0*sqrt((OM*(1+Z)^3+(1-OM))):
Hd := H0*sqrt((OM*(1+Z)^3+(1-OM)*(Z+1)^(3*(1+w0+w1))*E^(-3*w1*Z/(1+Z)))):
Hp := H0*sqrt((OM*(1+z)^3+(1-OM)*(z+1)^(3*(1+wx)))):
Hv := H0*sqrt((OM*(1+Z)^3+(1-OM)*(1+Z)^(3*(1+w0*(1+Z)^-alpha)))):
// Zeit t als Funktion von Skalenfaktor a
tF := (int(H0/((1+z)*HF), a=a0..r2))/Hf/(r2-a0):
plotfunc2d(tF, r2=r1..a0,
Title="tF", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);
tL := (int(H0/((1+z)*HL), a=a0..r2))/Hl/(r2-a0):
plotfunc2d(tL, r2=r1..a0,
Title="tL", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);
tD := (int(H0/((1+z)*HD), a=a0..r2))/Hd/(r2-a0):
plotfunc2d(tD, r2=r1..a0,
Title="tD", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);
tP := (int(H0/((1+z)*HP), a=a0..r2))/Hp/(r2-a0):
plotfunc2d(tP, r2=r1..a0,
Title="tP", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);
t5 := (int(H0/((1+z)*H5), a=a0..r2))/Hv/(r2-a0):
plotfunc2d(t5, r2=r1..a0,
Title="t5", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);
// Modellvergleich
plotfunc2d(t1, tF, tL, tD, tP, t5, r2=r1..a0,
Title="t(a)", TitlePosition = [0, 0], TitleAlignment = Left);
PS: Wir haben (oder ich habe) ein Latex Problem. Ich hab die Formeln deshalb derweil auf meinen Servierer ausgelagert. Plots sind am rechnen.
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