Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Hier werden andere Standardmodelle der Physik kritisiert oder verteidigt

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Re: Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 16. April 2014, 20:16

Struktron hat geschrieben:de Vries'schen Algorithmus

Hallo Lothar,

ich kenne diesen Begriff nicht und kann im Internet auch nichts dazu finden.

Könntest Du bitte einen Link benennen, in dem man lesen kann, was das ist ?


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Beitragvon Struktron » Donnerstag 17. April 2014, 00:07

Hallo, den Link habe ich auf meiner Homepage, hier noch einmal:
http://www.chip-architect.com/news/2004 ... stant.html
Für Dich als Mathematiker ist sicher die Diskussion auf news:de.sci.physik, Ist die Feinstrukturkonstante Ergebnis von Stößen? interessant.
Ausschnitt von Gottfried Helms:
"Die Formel von Hans de Vries, die eine Fixpunktgleichung für
eine analytische Funktion (in der Nähe des Fixpunktes konvergierende
Potenzreihe) ist, kann auf beliebig viele Stellen genau ausgerechnet
werden.

Die praktische Seite dabei beinhaltet

a) das Abschneiden ("truncation") der enthaltenen Potenzreihe und
b) das Iterieren bis zur Konvergenz.

Wenn die Potenzreihe zu großzügig abgeschnitten wird, konvergiert
die Prozedur zu einem falschen Wert, wenn auch der Fehler erst nach
vielleicht vielen Dezimalstellen sichtbar wird.

Mit Pari/GP kann man "beliebig genau", also z.B mit 10000 Stellen
rechnen; um aber z.B. für den Fixpunkt t mindestens 60 korrekte
Stellen zu erreichen, reichen bereits 200 oder weniger Stellen interne
Genauigkeit aus. Effektiver als die beschriebene Python-prozedur
ist hierbei außerdem sicherlich die Newton-Iteration wenn es um
viele Stellen Genauigkeit geht.

Die Fixpunkt-Formel von Hans de Fries enthält eine Potenzreihe
f(x) = 1 + x/c_1 + x^2/c_2 + x^3/c_3 + ...
wobei
c_k = (2 pi)^(k:2)
und (k:j) der Binomialkoeffizient k!/j!/(k-j)! ist

(Man sollte anmerken, daß ich für die Genauigkeit von 80 korrekten
Stellen für den Fixpunkt hier mind 13 Terme benötige, wenn x schon
in der Nähe von 0.007 ist)


Die Fixpunktformel von Hans de Vries ist dann

t = f(t)^2 / b

wobei
b = exp( Pi^2/2)

und t ist der Fixpunkt in der Nähe von 0.007 (die ersten Stellen geben
den Hinweis auf die Feinstrukturkonstante, die bis zu ~12 Stellen empirisch
ermittelt worden ist)

Eine Prozedur, die die Newton-Iteration verwendet (jede Iteration
verdoppelt die Zahl der korrekten Stellen (sofern die andern Komponenten,
z.B. die Funktion f(x), überhaupt soviele korrekte Stellen liefern))

Wir benennen
g(x) = f(x)/b
g'(x) = (f(x+h/2)-f(x-h/2))/h \\ die Ableitung, mit z.B. h =1e-12

und berechnenen dann
t = 0.007 \\ initialisieren
\\ ------ iterieren---------------------------
err = (g(t)-t)/(g'(t)-1) \\ der verbleibende Fehler geht gegen 0
t = t - err
\\ --- bis err unter gewünschter Größe. Die Potenzreihe muß mit genügend
\\ vielen Termen berechnet werden!

Mit 100 Stellen ergibt sich
t = 0.007297352568653853422694733690852932089174790336171742833037518749864476055046395522108640468730705414

=== Die physikalische Seite: ===================================================

Die Feinstrukturkonstante alpha ist zu
alpha ~ 0.0072973525698(24) (wikipedia)
angegeben. Die Differerenz ist erkennbar hier:

alpha ~ 0.00729735256 98(24) (wikipedia)
t = 0.00729735256 865385...

wobei ich jetzt nicht genau die Bedeutung der Unschärfe-angabe (24) weiß.

=== Kompatibilität verbessern ? ==========================

Veränderungen in der Zahl der Terme (womöglich mit Argumenten aus den
physikalischen Modellierungen) führen allerdings nicht zu einer
besseren Annäherung von t an den empirischen alpha-Wert in den letzten
Stellen. Wenn ich z.B. nur 3 Terme verwende sind die letzten drei
Stellen noch kleiner:
alpha ~ 0.0072973525 6 98(24) (wikipedia)
t = 0.0072973525 6 865385...
t_3 = 0.0072973525 4 562...

Eine interessante Diskussion btw. für einen physikalischen Laien, ich
sollte glaube ich mal einiges über diese Fein-Struktur-Konstante lesen..."

MfG,
Lothar W.
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Re: Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 17. April 2014, 11:24

Struktron hat geschrieben:http://www.chip-architect.com/news/2004_10_04_The_Electro_Magnetic_coupling_constant.html

Hallo Lothar,

könnte ich bitte etwas genaueres über den Werdegang des Herrn de Vries erfahren ?

Meine Frage ist von einer seiner Äusserungen auf der von Dir genannten Seite motiviert:

Hans de Vries hat geschrieben:The formula above generates the value of α exact in all ten known digits.

Irgendwie scheint der Autor nicht verstanden zu haben, was "exakt" bedeutet.

Zudem ist seine Formel zu α keineswegs unabhängig, da er einen Faktor Gamma verwendet, der von α abhängig ist:

α = Gamma2(α) * exp(-π2/2)


Diese Abhängigkeit, die ich bold rot markiert habe hat Herr de Vries ein bisschen unterschlagen, d.h. seine Formel ist in Wirklichkeit eine iterative Formel und man muss da erst noch zeigen, dass das konvergiert.


Freundliche Grüsse, Ralf


EDIT 11:55 Uhr: im letzten Satz von mir das Wort "exakt" vor konvergiert gestrichen: eine Konvergenz ist natürlich per definitionem exakt
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Re: Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Beitragvon Struktron » Donnerstag 17. April 2014, 12:46

Hallo Ralf,
ralfkannenberg hat geschrieben:
Struktron hat geschrieben:http://www.chip-architect.com/news/2004_10_04_The_Electro_Magnetic_coupling_constant.html


könnte ich bitte etwas genaueres über den Werdegang des Herrn de Vries erfahren ?

Dazu weiß ich nicht mehr, als auf seiner Internetseite steht. Den Link fand ich in einem Beitrag von Luke Leighton in news:sci.physics.research, das aber als moderierte Newsgruppe nicht so einfach zugängig ist.
Luke meldete sich dann in news:de.sci.physik, weil er auf die Diskussionen zu "Ist die Feinstrukturkonstante Ergebnis von Stößen? (Fortsetzung von 2005) aufmerksam wurde. Er antwortete auch nicht auf meine Frage nach Kontakten zu de Vries. Selbst habe ich es nicht versucht.
ralfkannenberg hat geschrieben:Meine Frage ist von einer seiner Äusserungen auf der von Dir genannten Seite motiviert:

Hans de Vries hat geschrieben:The formula above generates the value of α exact in all ten known digits.

Irgendwie scheint der Autor nicht verstanden zu haben, was "exakt" bedeutet.

Er selbst gab ja keinen Hinweis, wie man die Iteration durchführen soll. Luke Leighton machte das mit Python und erklärete auch, wie ich es zum Laufen bringen könnte (in dsp). Parallel dazu lief es dann bei mir auch in Mathcad.
In der weiteren Diskussion schaltete sich Gottfried Helms (was der wo ist, weiß ich auch noch nicht, wäre aber interessant, vermutlich ist er Mathematiker) ein und rechnete mit Pari/GP noch genauer.
Deutlich wird daraus, dass erst einmal nur der Zahlenwert der Fixpunktberechnung ziemlich genau ermittelt wird. Die physikalische FSK muss noch erklärt werden.
ralfkannenberg hat geschrieben:Zudem ist seine Formel zu α keineswegs unabhängig, da er einen Faktor Gamma verwendet, der von α abhängig ist:

α = Gamma2(α) * exp(-π2/2)

Diese Abhängigkeit, die ich bold rot markiert habe hat Herr de Vries ein bisschen unterschlagen, d.h. seine Formel ist in Wirklichkeit eine iterative Formel und man muss da erst noch zeigen, dass das exakt konvergiert.

Von Deinen Fragen hat Gottfried Helms eigentlich alles beantwortet. Nicht alles habe ich zitiert, das kannst Du ja selbst nachlesen, falls Du an der dahinter steckenden Mathematik weiter arbeiten möchtest. Interessant ist, wie schon geschrieben, dass man bei der Wahl des Anfangswertes ziemlich frei ist. Für die Physik wird es sicher schwieriger diesen Algorithmus einer dahinter steckenden Geometrie zuzuordnen,... Da reicht allerdings die Übereinstimmung zum derzeitigen CODATA-Wert, aber man muss abwarten, wie der sich entwickelt.

MfG
Lothar W.
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Re: Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 17. April 2014, 13:55

Struktron hat geschrieben:Interessant ist, wie schon geschrieben, dass man bei der Wahl des Anfangswertes ziemlich frei ist.

Hallo Lothar,

was heisst "ziemlich frei": wie gross ist der Konvergenzradius ?


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Beitragvon Struktron » Freitag 18. April 2014, 11:35

Hallo Ralf,
ralfkannenberg hat geschrieben:
Struktron hat geschrieben:Interessant ist, wie schon geschrieben, dass man bei der Wahl des Anfangswertes ziemlich frei ist.


was heisst "ziemlich frei": wie gross ist der Konvergenzradius ?

Bisher habe ich nur in meinen Algorithmen Anfangswerte eingesetzt und geschaut, welches Ergebnis heraus kommt. Mathcad hat eine interne Rechengenauigkeit, welche ich nicht einmal kenne. Angezeigt werden maximal 15 Nachkommastellen. In meinem kleinen Python-Programm habe ich auch nur die Standard-Genauigkeit. In beiden Algorithmen merkt man, dass eine Abhängigkeit von der Zahl der verwendeten Terme existiert und auch die Iterationszahl wichtig für ein Ergebnis mit möglichst vielen Nachkommastellen ist. Beide Algorithmen steigen mit Fehlermeldung aus, wenn bei den internen Rechnungen durch die Rechengenauigkeit beispielsweise ein Wert Null im Nenner erzeugt wird. Das zu überprüfen ist mir momentan nicht wichtig, weil der physikalische Hintergrund für die Interpretation als physikalische Konstante zuerst gelöst werden muss.

Viele Grüße und noch einmal allen frohe Ostern.
Lothar W.
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Re: Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 22. April 2014, 10:19

ralfkannenberg hat geschrieben:was heisst "ziemlich frei": wie gross ist der Konvergenzradius ?

Hallo Lothar,

könntest Du bitte meine Frage beantworten ?


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Beitragvon Struktron » Dienstag 22. April 2014, 19:29

Hallo Ralf.
als Mathematiker solltest Du das vielleicht schaffen, den Konvergenzradius mit der Formel von de Vries analytisch zu bestimmen. Ich kann das nicht, bin ja auch kein Mathematiker. Vielleicht schlage ich mal irgendwo nach, wie man das macht. Momentan aber nicht. Was in Wikipedia steht, bezieht sich auf komplexe Zahlen, in meinem alten Skript steht nicht genug.
Interessant ist momentan vor allem ein physikalischer Hintergrund.

MfG
Lothar W.
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Re: Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 23. April 2014, 10:10

Struktron hat geschrieben:als Mathematiker solltest Du das vielleicht schaffen, den Konvergenzradius mit der Formel von de Vries analytisch zu bestimmen.

Hallo Lothar,

ich habe nicht verstanden, warum Du mir jetzt Arbeit aufzubürden versuchst. Wenn der Konvergenzradius hinreichend klein ist, ist der Algorithmus völlig wertlos.

Struktron hat geschrieben:Ich kann das nicht, bin ja auch kein Mathematiker.

Dafür machst Du aber erstaunlich viele Aussagen über Mathematik und auch Physik.

Struktron hat geschrieben:Vielleicht schlage ich mal irgendwo nach, wie man das macht. Momentan aber nicht.

Das solltest Du aber tun, sonst ist der Algorithmus nämlich möglicherweise wertlos.

Struktron hat geschrieben:Was in Wikipedia steht, bezieht sich auf komplexe Zahlen, in meinem alten Skript steht nicht genug.

Ich hoffe doch sehr, dass Dir bekannt ist, dass ein Konvergenzradius keine beliebige komplexe Zahl sein kann, sondern stets reell und nicht-negativ oder - für einmal ist auch diese Lösung zulässig - "unendlich". Letzteres ist dann der Fall, wenn man keine nicht-negative reelle Zahl findet, die die Konvergenz einschränkt, d.h. der Algorithmus für alle Ausgangswerte konvergiert. Die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion ist meines Wissens eine solche Funktion mit Konvergenzradius "unendlich".

Struktron hat geschrieben:Interessant ist momentan vor allem ein physikalischer Hintergrund.

Aber auch ein solcher benötigt ein belastbares Fundament.


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Re: Erzeugung der Feinstrukturkonstante durch Stöße

Beitragvon Struktron » Mittwoch 23. April 2014, 14:39

Hallo Ralf,
ralfkannenberg hat geschrieben:
Struktron hat geschrieben:als Mathematiker solltest Du das vielleicht schaffen, den Konvergenzradius mit der Formel von de Vries analytisch zu bestimmen.


ich habe nicht verstanden, warum Du mir jetzt Arbeit aufzubürden versuchst. Wenn der Konvergenzradius hinreichend klein ist, ist der Algorithmus völlig wertlos.

Du fragst danach, also interessiert es Dich. Da der de Vries'sche Algorithmus nicht meiner ist und ich mit ihm sicher keine Lorbeeren gewinnen kann, werde ich mich auch nicht darum bemühen, zu zeigen, ob er wertvoll ist oder wertlos.
ralfkannenberg hat geschrieben:
Struktron hat geschrieben:Ich kann das nicht, bin ja auch kein Mathematiker.

Dafür machst Du aber erstaunlich viele Aussagen über Mathematik und auch Physik.

Struktron hat geschrieben:Vielleicht schlage ich mal irgendwo nach, wie man das macht. Momentan aber nicht.

Das solltest Du aber tun, sonst ist der Algorithmus nämlich möglicherweise wertlos.

Struktron hat geschrieben:Was in Wikipedia steht, bezieht sich auf komplexe Zahlen, in meinem alten Skript steht nicht genug.

Ich hoffe doch sehr, dass Dir bekannt ist, dass ein Konvergenzradius keine beliebige komplexe Zahl sein kann, sondern stets reell und nicht-negativ oder - für einmal ist auch diese Lösung zulässig - "unendlich". Letzteres ist dann der Fall, wenn man keine nicht-negative reelle Zahl findet, die die Konvergenz einschränkt, d.h. der Algorithmus für alle Ausgangswerte konvergiert. Die Taylor-Reihe der Exponentialfunktion ist meines Wissens eine solche Funktion mit Konvergenzradius "unendlich".

Ich schrieb, dass ich realistische Anfangswerte 0 < a < 11 sogar mit nur drei Termen und zehn Iterationsschritten getestet habe. Luke Leighton und Gottfried Helms haben mehr Ambitionen bzgl. der Genauigkeit und mathematischen Korrektheit, als ich.
Mathcad-deVries.png
Feinstrukturkonstante mit Mathcad nach de Vries
Mathcad-deVries.png (4.11 KiB) 7123-mal betrachtet

Im älteren Mathcad 14 braucht man für die Iteration interessanterweise keinen Vektor-Index. In Python 2.7 übrigens auch nicht.
Interessant wäre für mich, wie man beispielsweise in die Taylor-Reihe der Exponentialfunktionen physikalisch kommen könnte? Was stellen die verwendeten Ableitungen in den unendlich vielen Gliedern dar? Sind diese beispielsweise auf Geschwindigkeitsänderungen zurück zu führen?
ralfkannenberg hat geschrieben:
Struktron hat geschrieben:Interessant ist momentan vor allem ein physikalischer Hintergrund.

Aber auch ein solcher benötigt ein belastbares Fundament.

Mit dem de Vries'schen Algorithmus erhielt ich einen Hinweis, dass für eine der interessantesten und auch wichtigsten Naturkonstanten ein Iterationsverfahren existiert, welches den Zahlenwert der FSK in CODATA-Genauigkeit reproduziert. Nun werden ja Reihenentwicklungen und deren Grenzwerte vielfältig in der Physik verwendet. Wie kommen wir aber mit physikalisch anschaulichen Vorstellungen in diese Reihenentwicklungen? Das kann mit den kontinuierlichen Größen (Feldgrößen) der Standardphysik versucht werden und auch mit diskreten Objekten, wie ich das versuche. Bei mir kommt als Erklärungsvorteil noch hinzu, dass der leicht verständliche Geschwindigkeitstausch Ursache für die sonst notwendige Erklärung ganz kleiner Änderungen sein kann. Schon bei den Newton'schen (und Leibniz'schen) Herleitungen der Differentialrechnung ergibt sich so eine Entscheidungsmöglichkeit, ob im ganz Kleinen etwas diskretes tatsächlich existieren könnte oder nicht.
Dazu ist sicher viel Hilfe, gemeinsames Nachdenken, ... erforderlich.

MfG
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