Spacerat hat geschrieben:Anders ist relativ. Von der Menge (Anzahl) her sind beide gleichmächtig, aber sind sie auch vom Inhalt her gleichmächtig?
Hallo Hartmut,
vielleicht gelingt es mir ja hier, Dich zu überzeugen: von "der Menge her" heisst von der Kardinalität her; das ist das Thema mit den Bijektionen. Das ist das, was man als Mächtigkeit bezeichnet, die Definition dazu kannst Du selner nachlesen.
Und "vom Inhalt her" ist eine Teilmengen-Beziehung. Selbstverständlich ist die o.g. Menge 1 eine echte Teilmenge der o.g. Menge 2. Dennoch sind sie gleichmächtig.
Auch die rationalen Zahlen sind gleichmächtig zur Menge der natürlichen Zahlen, und auch die Menge der algebraischen Zahlen ist gleichmächtig dazu.
Aber das Kontinuum, also die geometrischen Punkte auf einer Geraden oder einem ihrer Streckenabschnitte, beispielsweise die reellen Zahlen im Intervall (0,1), sind wie Cantor im Jahre 1875 gezeigt hat nicht gleichmächtig, d.h. diese sind übermächtig.
Also: bitte verwende die korrekten Bezeichnungen: was Du mit "Inhalt" umschreibst wird mit dem Teilmengen-Begriff behandelt, und was Du als "Menge" bezeichnest wird mit dem Mächtigkeitsbegriff, der über Bijektionen definiert ist, behandelt.
Es ist nun mal ein Unterschied, ob Du "5" schreibst oder ob Du {1, 2, 3, 4, 5} schreibst. Erstes ist eine
Zahl, zweites ist eine
Menge.
Was man machen kann: man kann eine Funktion anz(M) definieren, die einer endlichen Menge M die Anzahl ihrer Elemente zuweist. Dann kann man zu jeder natürlichen Zahl n eine endliche Menge finden, die genau n Elemente hat, beispielsweise die Menge {1, 2, 3, ..., n}. Und anz(M) ist dann tatsächlich die Mächtigkeit der endlichen Menge. Aber eben: das gilt
nur für endliche Mengen.
Und bei endlichen Mengen gilt auch: wenn Du zu einer endlichen Menge noch ein weiteres Element hinzufügst, die erste Menge also eine echte Teilmenge der neuen Menge ist, dann wird auch ihre Mächtigkeit grösser. Auch hier: das gilt
nur für endliche Mengen.
Freundliche Grüsse, Ralf