die geometrische Reihe für Dummies

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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 11. März 2020, 20:50

Hallo Ralf,

ralfkannenberg hat geschrieben:beim Tangentenproblem geht es darum, an eine stetige Kurve an einem beliebigen Punkt eine Tangente anzulegen.

Wieso genau sollte das nun ohne Unendlich nicht funktionieren? Täte es ich nicht auch eine sehr hohe Zahl, die endlich wäre genau so gut? Ich meine natürlich eine entsprechend so hohe Zahl, dass der Realität des Universums - angenommen es sei endlich - und allem darin befindlichen genüge getan wäre.

ralfkannenberg hat geschrieben:Ja, aber Vorsicht: Du konstruierst da "nur" ein maximales Element. Ein solches maximales Element kann wie bei den natürlichen Zahlen gegen unendlich divergieren oder aber wie bei der Lichtgeschwindigkeit gegen einen endlichen Wert konvergieren.

Zeta würde konvergieren.

ralfkannenberg hat geschrieben:Aus der Maximalität folgt also keinesfalls zwangsläufig eine Unendlichkeit !
Ok.

ralfkannenberg hat geschrieben:Du kannst ins Makroskopische und ins Mikroskopische abzählbar gehen, also per Peano-Axiome -> oo und per Intervallschachtelung oder zunächst noch einfacher per Nullfolge {1/n mit n in IN} -> 0,

Das habe ich oben voneinander auch nicht ausgeschlossen, ja, mikroskopisch geht auch abzäglbar, musste ich schon dran denken. Nur überabzählbar makroskopisch geht nicht, sehe zumindest kein Beispiel...

ralfkannenberg hat geschrieben:oder aber in beide Richtungen per Kontinuum, d.h. mit einer überabzählbaren Menge.

Ja warte, nach oben fehlt überabzählbar. Auch wenn das symmetrischer wäre und Du meist Recht hast bei sowas, was entpräche dem denn dann?

ralfkannenberg hat geschrieben:Vielleicht anders dargestellt: die Folge {1, 2, 3, 4, 5, ...} führt Dich abzählbar zu oo, und die Folge ihrer multiplikativ Inversen, also {1, 1/2, 1/3, 1/4, 1/5, ...} führt Dich abzählbar zur 0. Ob Du das nun noch mit dem Kontinuum "anreichern" möchtest und damit ins Überabzählbare gelangst bleibt letztlich Dir überlassen; wirklich brauchen tust Du das erst in der oben genannten Differential- und Integralrechnung, denn ohne den Stetigkeitsbegriff kannst Du für rationale Zahlen die Funktion f1(x) und für irrationale Zahlen die Funktion f2(x) definieren, und der Nachbarpunkt eines jeden x ist sowohl für die rationalen x als auch für die irrationalen x beliebig nahe.

Natürlich ist das technisch eine völlig absurde Situation, mathematisch aber ist sie möglich. Ja man sogar einen Integralbegriff definieren "Lebesgue-Integral"), bei dem dann nur die Funktionswerte der überabzählbar-unendlichen Menge zählen und die Funktionswerte der abzählbar unendlichen Menge als sogenannte Nullmenge nicht ins Gewicht fallen, ihre Summe also den Wert 0 annimmt.

Aber wie auch immer: mit einem sauberen Stetigkeitsbegriff kann einem so etwas nicht passieren, da hat man immer eine Funktion, die auf dem Kontinuum definiert ist und dort dieselbe Funktion zur Anwendung kommt, egal ob man eine abzählbare Teilmenge oder eine überabzählbare Teilmenge betrachtet.
Ja.

Gruß,
Dgoe
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Mittwoch 11. März 2020, 22:21

Hallo Ralf,

siehe meinen vorherigen Post auch.

Ich würde schon mal eine Asymmetrie festhalten, ins Mikroskopische hinein abzählbar und überabzählbar, während zum Makroskopischen hinauf nur abzählbar möglich ist.

Du sagtest/schriebst zuletzt, dass die Mathematik über den Dingen stehe sinngemäß - ich erspare mir die Zitation.
Da bin ich mir nicht so sicher. Siehe auch Mark Tegmarks und tomS Ausführungen woanders zu diesem Thema nochmal.

Voraussetzungen. Von den herrschenden Axiomen (Peano, Mengenlehre) ausgehend ist die Mathematik per Logik ziemlich allumfassend und gut bestätigt. Mit dem Unendlichen und damit auch Singularitäten gibt es jedoch unbestreitbare Probleme, Fakt.

Da wäre mein intuitiver Ansatzpunkt selbstverständlich die Basis, wenn auch nur mit Hinterfragungen einfach...

Ob Mathematik drüber (als gedankliches Artefakt beispielsweise) oder drunter oder mittendrin ist, hängt doch wohl davon ab, wie man sie definiert, also den Begriff, das Wort Mathematik.

In echt ist nur wichtig, ob wir uns ein akurates Bild der Realität machen und uns nicht nur Logik-Eksessen hingeben, die etwas übersehen womöglich.

Gruß,
Dgoe
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 12. März 2020, 13:53

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:beim Tangentenproblem geht es darum, an eine stetige Kurve an einem beliebigen Punkt eine Tangente anzulegen.

Wieso genau sollte das nun ohne Unendlich nicht funktionieren? Täte es ich nicht auch eine sehr hohe Zahl, die endlich wäre genau so gut? Ich meine natürlich eine entsprechend so hohe Zahl, dass der Realität des Universums - angenommen es sei endlich - und allem darin befindlichen genüge getan wäre.

Hallo Dgoe,

nein, denn wenn Du nur endlich viele Punkte hast findest Du immer Zwischenpunkte und dort könnte die Steigung eine andere sein.
Wobei es noch schlimmer ist: wenn Du nur endlich Punkte und keine Kurve hast, so müsstest Du die Tangente an einen Punkt anlegen und das geht nicht, da jede Gerade diesen Punkt berühren kann und folglich jede beliebige Gerade, die durch diesen Punkt verläuft, eine Tangente wäre.

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Ja, aber Vorsicht: Du konstruierst da "nur" ein maximales Element. Ein solches maximales Element kann wie bei den natürlichen Zahlen gegen unendlich divergieren oder aber wie bei der Lichtgeschwindigkeit gegen einen endlichen Wert konvergieren.
Zeta würde konvergieren.

Das wäre zwar keine Konvergenz im Sinne der Konvergenz, aber tatsächlich wäre Zeta natürlich per definitionem endlich: Du hättest einfach eine endliche Folge von Zahlen und der letzte Wert dieser Folge wäre dann Zeta.

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Du kannst ins Makroskopische und ins Mikroskopische abzählbar gehen, also per Peano-Axiome -> oo und per Intervallschachtelung oder zunächst noch einfacher per Nullfolge {1/n mit n in IN} -> 0,

Das habe ich oben voneinander auch nicht ausgeschlossen, ja, mikroskopisch geht auch abzäglbar, musste ich schon dran denken. Nur überabzählbar makroskopisch geht nicht, sehe zumindest kein Beispiel...

ralfkannenberg hat geschrieben:oder aber in beide Richtungen per Kontinuum, d.h. mit einer überabzählbaren Menge.

Ja warte, nach oben fehlt überabzählbar. Auch wenn das symmetrischer wäre und Du meist Recht hast bei sowas, was entspräche dem denn dann?

Die Beantwortung dieser Frage ist wohl einen eigenen Beitrag wert.

Hier nur zwei Beweisideen: eine Reihe (d.h. "unendliche" Summe) echt positiver Zahlen über eine abzählbare Indexmenge kann konvergieren, wie es beispielsweise die geometrische Reihe tut, aber eine Reihe echt positiver Zahlen über eine überabzählbare Indexmenge divergiert stets gegen Unendlich. Zwar ist auch mir nicht klar, wie man eine Reihe über eine überabzählbare Indexmenge auswählen kann, aber das dürfte notfalls das Auswahlaxiom sicherstellen, dass das "irgendwie" geht.

Vermutlich braucht man aber nicht so schwere Kaliber aufzufahren, denn dieses Resultat dürfte auch in einer Mathematik ohne Gültigkeit des Auswahlaxioms korrekt sein, aber ich bin auf diesem Gebiet kein Spezialist.

Und die andere Idee: der Cantor'sche Diagonalbeweis, mit dem man die Überabzählbarkeit der reellen Zahlen zeigt - streng genommen zeigt man nur die Überabzählbarkeit des reellen Intervalls [0,1], das genügt ja völlig. Dieser Beweis hängt natürlich nicht davon ab, ob man den Beweis im Dezimalsystem (Zehnersystem) durchführt oder im Zweiersystem, d.h. man kann alle reellen zahlen vorgängig auch ins Zweiersystem "übersetzen" und den Beweis dann tätigen. Dann hat man es aber nur mit den Ziffern "0" und "1" zu tun. Und die kann man interpretieren als "ist nicht Teilmenge oder Element von" und "ist Teilmenge oder Element von" und dann auf die Menge aller Mengen anwenden.

Und das ist makroskopisch und nicht mikroskopisch. Die Details dazu, d.h. also die korrekte Konstruktion mit den Mengen und ihren Teilmengen, müsste ich mir allerdings nochmals in einer ruhigen Minute näher anschauen; sie ist ziemlich trivial, aber wenn man sich nicht gerade jeden Tag damit beschäftigt trotzdem etwas ungewohnt.


Dgoe hat geschrieben:Ich würde schon mal eine Asymmetrie festhalten, ins Mikroskopische hinein abzählbar und überabzählbar, während zum Makroskopischen hinauf nur abzählbar möglich ist.

Wie gesagt, Deine Feststellung hat schon etwas und ich kann sie auch nicht aus dem Stehgreif widerlegen. Ich muss mir das wirklich nochmal in Ruhe näher anschauen, denn das mit den Reihen echt positiver Zahlen über eine überabzählbare Indexmenge ist schon etwas realitätsfremd, und das mit den Mengen und Teilmengen ist Mengenlehre, in der Begriffe wie "mikroskopisch" und "makroskopisch" zunächst einmal gar nicht definiert sind.

Dgoe hat geschrieben:Du sagtest/schriebst zuletzt, dass die Mathematik über den Dingen stehe sinngemäß - ich erspare mir die Zitation.
Da bin ich mir nicht so sicher. Siehe auch Mark Tegmarks und tomS Ausführungen woanders zu diesem Thema nochmal.

Um das beurteilen zu können müsste ich mir das nochmals anschauen, d.h. hierzu bräuchte ich eine Referenz; wenn ich mich recht entsinne war das irgendwo im Forum "Abenteuer Universum", nicht wahr ?


Dgoe hat geschrieben:hängt doch wohl davon ab, wie man sie definiert, also den Begriff, das Wort Mathematik.

Ha, da wasche ich meine Hände in Unschuld: eine solche Definition überlasse ich den Philosophen :)


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Freitag 10. April 2020, 01:51

ralfkannenberg hat geschrieben:nein, denn wenn Du nur endlich viele Punkte hast findest Du immer Zwischenpunkte und dort könnte die Steigung eine andere sein.
Wobei es noch schlimmer ist: wenn Du nur endlich Punkte und keine Kurve hast, so müsstest Du die Tangente an einen Punkt anlegen und das geht nicht, da jede Gerade diesen Punkt berühren kann und folglich jede beliebige Gerade, die durch diesen Punkt verläuft, eine Tangente wäre.


Danke Ralf,

dies ist mir erst die Tage über den Lock-down klar geworden, dass dies womöglich exakt die mathematische Entsprechung sein mag, warum man nur von Wahrscheinlichkeiten sprechen kann in der Elementar-Physik.

Mir geht womöglich die Phantasie durch, aber daran will oder möchte ich mal festhalten noch etwas...

Ich habe zu Deinem letzten Beitrag noch einiges mehr zu sagen, bitte um Geduld.
Bin noch hin und weg von dem oben, wenn endlich und diskret ergibt es Uneindeutigkeiten, die nur statistisch berechenbar sind, ziemlich ähnlich der Quantenzustände. Bingo!

Gruß
Dgoe
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Freitag 10. April 2020, 02:58

Hallo Ralf,

zumal man mit dem undefinierten "Unendlich" das Problem ja nur vertagt Richtung Mikroskopisch, es aber niemals löst...
In der Hoffnung, dass die Auflösung irgendwann alles abdeckt...

Es gibt kein Unendlich. Fertig.

Gruß,
Dgoe

P.S.: siehe meinen vorherigen Beitrag vor allem auch.
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Sonntag 12. April 2020, 16:12

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:beim Tangentenproblem geht es darum, an eine stetige Kurve an einem beliebigen Punkt eine Tangente anzulegen.

Wieso genau sollte das nun ohne Unendlich nicht funktionieren? Täte es ich nicht auch eine sehr hohe Zahl, die endlich wäre genau so gut?

Hallo Dgoe,

ich habe mir das überlegt und grundätzlich hast Du vermutlich recht: man kann ja eine stetige Funktion durch stückweise lineare Kurven (geometrisch sind das "zusammenhängende Streckenzüge") beliebig genau approximieren. Die zu approximierende Tangente wäre dann also der Streckenzug der beiden Punkte links und rechts des Punktes, an den die Tangente angelegt werden soll. Ohne Einschränkung der Allgemeinheit kann man dabei ausschliessen, dass der Tangentenpunkt gerade mit einem der Verbindungspunkte der zusammenhängenden Streckenzüge zusammenfällt, indem man beispielsweise den Verbindungspunkt durch den Mittelpunkt zwischen ihm und seinem linken Nachbarpunkt ersetzt.

Mathematisch korrekter - beim Riemann-Integral macht man das übrigens auch so - würde man argumentieren, dass die Auswahl der Verbindungspunkte, aus denen die zusammenhängenden Streckenzüge gebildet werden, mit denen man die stetige Kurve approximieren möchte, "beliebig" ist, d.h. man kann nur dann eine stetige Kurve durch solche stückweise linearen Kurven approximieren, wenn die Auswahl der Verbindungspunkte beliebig ist. Das wiederum bedeutet, dass wenn ein Tangentenpunkt zufälligerweise gerade auf einem solchen Verbindungspunkt landet, man einfach eine andere Auswahl solcher Verbindungspunkte tätigt, bei der eben kein Verbindungspunkt auf den Tangentenpunkt fällt - bei nur endlich vielen Verbindungspunkten lässt sich das ja einrichten.

Was ich sagen will: das mag jetzt etwas verwirrend klingen, sollte aber funktionieren. Nur: diese Methode ist eine Approximierung des Tangentenproblems, aber nicht seine Lösung. Da diese Approximierung aber beliebig genau erfolgen kann, lässt sich so für die Praxis eine Tangente ebenfalls konstruieren. Bei der Lösung des Tangentenproblems aber klappt das mit der sogenannten ersten Ableitung, bei der Approximierung indes muss man doch verschiedene Dinge beachten.

Tatsächlich kann man aber diese Approximierung nutzen, um die Lösung des Tangentenproblems zu beweisen und die Stetigkeit garantiert Dir letztlich "nur", dass eine exakte Lösung existiert.

Für die Praxis würde also Dein Zeta ausreichen, um eine Tangente an eine Kurve konstruieren zu können. Zwar könnte es im Rahmen Deiner Zeta-Theorie passieren, dass es den Punkt, an den die Tangente angelegt werden soll, gar nicht gibt - ja das wird sogar der Normalfall sein, aber aufgrund der von Dir verwendeten (wenngleich auch noch nicht explizit ausfomulierten Voraussetzungen) liesse sich stets ein existierender Punkt finden, der hinreichend nahe am Tangentenpunkt liegt und an den man dann eben die Tangente anlegt.

Zwar wirst Du bei Kurven wie beispielsweise sin(1/x) ganz witzige Probleme bekommen, aber da Zeta ja sehr gross ist lassen sich auch diese Probleme letzlich "bändigen".

Worauf das ganze schlussendlich hinausläuft ist, dass Du die Theorie durch ihre Beweise ersetzt und dabei einfach das "lim n in IN" bzw. "für alle epsilon > 0" durch "lim n in IN und n <= Zeta" und "für alle epsilon > 1/Zeta" ersetzt. Ich vermute, dass man in der Nähe von Zeta unerwünschte Phänomene antrifft, d.h. man wird mit Vorteil einen gewissen "Sicherheitsabstand" (Faktor 2 oder so) zu Zeta einhalten; die Mathematik innerhalb dieses Sicherheitsabstandes muss man dann noch separat betrachten.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Sonntag 12. April 2020, 16:23

Dgoe hat geschrieben:Es gibt kein Unendlich. Fertig.

Hallo Dgoe,

beachte aber bitte, dass ein solches "Postulat" zur Folge hat, dass es mindestens eine natürliche Zahl gibt, zu der man nicht 1 dazu addieren kann, d.h. die Peano-Axiome ihre Gültigkeit verlieren.

Und da man jede natürliche Zahl auch als Menge interpretieren kann hat das dann zur Folge, dass der Begriff der Vereinigungsmenge schon im Endlichen modifiziert werden muss.

Und auch in der Geometrie erhälst Du Schwierigkeiten, weil die meisten Punkte auf einer Geraden gar nicht existieren und fast noch schlimmer: man gar nicht angeben kann, welche das sind, da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, endlich viele Punkte auf einer Geraden anzuordnen, ja sogar gleichabständig anzuordnen.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Montag 13. April 2020, 15:04

Hallo Ralf,

vielen Dank für Deine Antworten.

Die oben zitierte steile Behauptung von mir sollte natürlich nur nochmal zusammenfassend darstellen, wie ich mir das als einfache These mit so wenig Worten wie möglich vorstelle, im dem Sinne von: "Was wäre, wenn ... ?".

Dies spiegelt also keinesfalls meine Überzeugung oder festgefahrene Ansichten wieder, aber das hast Du ja zum Glück schon gleich so verstanden, wie ich es meinte. Hier nur nochmal allgemein bestätigend, dass ich mich für genau die Implikationen interessiere, die Du dankenswerterweise anführst.

Für mich ist es - wie vielleicht auch manch anderen - viel interessanter bzw. spannender sich der Thematik auf diese Weise zu nähern, eben mit Konjunktionen und dem Konditional, These und Antithese...

In etwa so, wie wenn man sich ein Feinabgestimmtes Uhrwerk vornimmt und ein kleines unscheinbares Zahnrädchen dort mittendrin wegrationalisieren wollte. Klar, dass das nicht so ohne weiteres funktioniert.

Nur, einerseits wird einem dadurch dessen Bedeutung erst richtig bewusst, andererseits besteht oder entsteht potentiell die Möglichkeit zu einer anderen Version zu gelangen. Wenn letzteres auch unwahrscheinlicher sein mag, erhält es den Spannungsbogen...

Immerhin gibt es ja nicht nur ein Uhrwerk weltweit, hat also schon mal geklappt manchmal. 8-)

Gruß und bleib gesund,
Dgoe

P.S.:
Zu den Details dann später wieder.
Frohe Ostern!
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 14. April 2020, 14:11

ralfkannenberg hat geschrieben:da es unendlich viele Möglichkeiten gibt, endlich viele Punkte auf einer Geraden anzuordnen, ja sogar gleichabständig anzuordnen.

Hallo Dgoe,

und zwar sind das sogar überabzählbar unendlich viele Möglichkeiten ...


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Dienstag 14. April 2020, 14:16

ralfkannenberg hat geschrieben:beachte aber bitte, dass ein solches "Postulat" zur Folge hat, dass es mindestens eine natürliche Zahl gibt, zu der man nicht 1 dazu addieren kann, d.h. die Peano-Axiome ihre Gültigkeit verlieren.

Und da man jede natürliche Zahl auch als Menge interpretieren kann hat das dann zur Folge, dass der Begriff der Vereinigungsmenge schon im Endlichen modifiziert werden muss.

Hallo Dgoe,

vielleicht ist das aber gar nicht so schlimm, denn für die Zahlen, die "uns" in der Realität interessieren, haben allesamt die Eigenschaft, dass sie kleiner als Zeta sind, und zwar viel kleiner als Zeta. Und wie ich schon weiter oben geschrieben habe muss man sich eigentlich erst dann Gedanken machen, wenn man in die Nähe von Zeta gelangt - bis dahin bleibt alles beim alten. Also solange man grob gesprochen Zahlen kleiner als Zeta/2 betrachtet kann man "im Wesentlichen" die bestehende Mathematik verwenden, und darüber hinaus muss man eben "passend" approximieren.


Freundliche Grüsse, Ralf
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