Assoziativgesetz in Gruppen vereinigt Absorptionselemente

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Assoziativgesetz in Gruppen vereinigt Absorptionselemente

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 2. September 2020, 19:15

Hallo zusammen,

wenn man zu Gruppen einige Absorptionselemente zufügt, kann man u.U. Halbgruppen erhalten.

Anbei ein einfaches Resultat, welches ich zu einem späteren Zeitpunkt weiter verallgemeinern möchte.
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Re: Assoziativgesetz in Gruppen vereinigt Absorptionselement

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 2. September 2020, 19:22

Hallo zusammen,

fangen wir mal an.

Definition 1:
Ein additives Absorptionselement A der Stufe n ist ein Element mit folgenden Eigenschaften:
1. x+A=A+x=A für alle x Element einer Gruppe G
2. C+A=A+C=A für alle C additives Absorptionselement der Stufe m mit m < n

Definition 2:
Zwei verschiedene additive Absorptionselemente A1 und A2 der Stufe n heissen “einander zugehörig im Grade m“, wenn es ein additives Absorptionselement B der Stufe (n+m) gibt, so dass gilt: A1+A2=A2+A1=B. Das Element B heisst übergeordnet zu A1 und A2.

Bemerkung: es wird an dieser Stelle nicht gefordert, dass das Element B minimal sei. Minimalität in diesem Kontext würde bedeutet, dass für jedes übergeordnete Element D von A1 und A2 gilt, dass die Stufe von D mindestens so gross wie die Stufe von B ist.


Voraussetzungen (Spezialfall mit nur 2 Absorptionselementen der Stufe n sowie einem Absorptionselement der Stufe n+m):
1. es seien x,y,z Elemente einer Gruppe
2. es seien A1 und A2 additive Absorptionselemente der Stufe n, die einander zugehörig im Grade m sind, sei ferner A in {A1,A2}, ihr übergeordnetes Element sei das Element B.

Satz: Dann gilt das additive Assoziativgesetz für alle Elemente der Menge G U {A1, A2, B}


Beweis:
01. x+(y+z)=(x+y)+z, da x,y,z Elemente einer Gruppe
02. die Dreiersumme bestehe aus Summanden von G sowie mindestens einem Summanden gleich A. Dann ist die Dreiersumme stets gleich A, da x+y in G und zudem für alle x in G gilt: A+x=A, x+A=A und ausserdem gilt A+A=A => additives Assoziativgesetz ist stets erfüllt.
03. A+(A+A=(A+A)+A, da A+A=A gilt; ebenso gilt auch B+(B+B)=(B+B)+B, da B+B=B gilt.
04. es sei je ein Summand der Dreiersumme aus G U {A1, A2}. Dann ist die Dreiersumme stets gleich B, da x+A1=A1+x=A1, x+A2=A2+x=A2 sowie A1+A2=A2+A1=B gilt => additives Assoziativgesetz ist stets erfüllt.
05. es sei je mindestens ein Summand der Dreiersumme aus {A1, A2}. Dann ist die Dreiersumme stets gleich B, da A1+A1=A1, A2+A2=A2 sowie A1+A2=A2+A1=B gilt => additives Assoziativgesetz ist stets erfüllt.
06. es sei je ein Summand der Dreiersumme aus G U {A, B}. Dann ist die Dreiersumme stets gleich B, da x+A=A+x=A, x+B=B+x=B sowie A+B=B+A=B gilt => additives Assoziativgesetz ist stets erfüllt.
07. es sei je mindestens ein Summand der Dreiersumme aus G U {B}. Dann ist die Dreiersumme stets gleich B, da x+B=B+x=B sowie B+B=B gilt => additives Assoziativgesetz ist stets erfüllt.

Damit sind alle möglichen Kombinationen überprüft.


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Re: Assoziativgesetz in Gruppen vereinigt Absorptionselement

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 2. September 2020, 19:47

Hallo zusammen,

im allgemeinen Fall können noch sehr viel weitere Kombinationen auftreten, wobei ich mir nicht sicher bin, ob sie alle widerspruchsfrei sind.

So können bei den Dreiersummen drei Absorptionselemente auftreten, die zueinander drei verschiedene übergeordnete Elemente von gleichem oder unterschiedlichem Grade haben können. Dabei sind auch die Grössenverhältnisse dieser Grade der übergeordneten Elemente zu berücksichtigen.

Sind die übergeordneten Elemente vom gleichen Grad, so sind auch diese einander zugehörig, und wenn sie ein übergeordnetes Element besitzen, so ist dieses bei den Fallunterscheidungen ebenfalls zu berücksichtigen.

Beispiel:
Seien A1 und A2 additive Absorptionselemente der Stufe n, die einander zugehörig im Grade k sind, sei ihr übergeordnetes Element das Element B1.
Seien A2 und A3 additive Absorptionselemente der Stufe n, die einander zugehörig im Grade m sind, sei ihr übergeordnetes Element das Element B2.

Dann gilt beispielsweise:
A1+(A2+A3)=A1+B2=B2
(A1+A2)+A3=B1+A3=B1


Es gibt keinen Grund für die Annahme, dass B1 = B2 gelten muss, d.h. in einem solchen Fall ist das Assoziativgesetz nicht erfüllt.


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Re: Assoziativgesetz in Gruppen vereinigt Absorptionselement

Beitragvon ralfkannenberg » Mittwoch 2. September 2020, 20:01

Hallo zusammen,

und nun noch ein Korollar:

Korollar: IR U {+oo, -oo, naN} bildet mit den in der IEEE 754 genannten Definitionen eine Halbgruppe.

Beweis:
1. Nachweis Abgeschlossenheit
Für jede zweiwertige Addition zweier Elemente aus IR U {+oo, -oo, naN} ist ein Ergebnis aus IR U {+oo, -oo, naN} definiert:
1.1: x,y in IR => x+y in IR, Teilmenge von IR U {+oo, -oo, naN}
1.2: x in IR => x+"+oo" = "+oo"+x = "+oo" in IR U {+oo, -oo, naN}
1.3: x in IR => x+"-oo" = "-oo"+x = "-oo" in IR U {+oo, -oo, naN}
1.4: x in IR => x+"naN" = "naN"+x = "naN" in IR U {+oo, -oo, naN}
1.5: "+oo"+"+oo" = "+oo" in IR U {+oo, -oo, naN}
1.6: "-oo"+"-oo" = "-oo" in IR U {+oo, -oo, naN}
1.7: "naN"+"naN" = "naN" in IR U {+oo, -oo, naN}
1.8: "+oo"+"-oo" = "-oo"+"+oo" = "naN" in IR U {+oo, -oo, naN}

2. Nachweis Assoziativgesetz
Wende obigen Satz auf den Spezialfall n=1 und m=1 sowie G=IR, A1="+oo", A2="-oo" und B="naN" an


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Re: Assoziativgesetz in Gruppen vereinigt Absorptionselement

Beitragvon ralfkannenberg » Samstag 19. September 2020, 11:42

ralfkannenberg hat geschrieben:Voraussetzungen (Spezialfall mit nur 2 Absorptionselementen der Stufe n sowie einem Absorptionselement der Stufe n+m):
1. es seien x,y,z Elemente einer Gruppe
2. es seien A1 und A2 additive Absorptionselemente der Stufe n, die einander zugehörig im Grade m sind, sei ferner A in {A1,A2}, ihr übergeordnetes Element sei das Element B.

Satz: Dann gilt das additive Assoziativgesetz für alle Elemente der Menge G U {A1, A2, B}

Hallo zusammen,

ich hatte bisher keine Zeit, mich weiter mit diesem Thema zu beschäftigen, möchte aber dennoch einen Spezialfall herausgreifen und diesen kurz ansprechen. So könnten A1, A2 und A3 additive Absorptionselemente der Stufe n sein, die einander zugehörig im Grade m sind, und ihr übergeordnetes Element sei das Element B.

Dann gilt das additive Assoziativgesetz für alle Elemente der Menge G U {A1, A2, A3, B}

Zwar denke ich, dass das schon aus obigem folgt, ich bin mir aber nicht ganz sicher, deswegen will ich das ebenfalls rasch beweisen:

A1+(A2+A3) = A1+B = B = B+A3 = (A1+A2)+A3.

Das ist übrigens kein theoretisches Hirngespinst, denn die abgeschlossene komplexe Zahlenebene vereinigt mit dem Element naN bildet eine solche Menge mit n=m=1:

In der abgeschlossenen komplexen Zahlenebene gibt es ja +oo, -oo, i*oo, -i*oo und in jede Richtung ebenfalls ein unendlich fernes Element, nämlich (cosα + i*sinα)*oo.

Bei +oo ist α=0°, bei -oo ist α=180°, bei i*oo ist α=90° und bei -i*oo ist α=-90° bzw. völlig gleichwertig α=270°, je nachdem, ob man den Winkelbereich [0°,360°) oder den Winkelbereich (-180°,180°] bevorzugt. Diagonal nach rechts hoch wäre für α=45°, diagonal nach links hoch wäre für α=135°, mit cosα = sinα = 1/2*√2, u.s.w.

Wenn man dann festlegt, dass gilt:
1. "(cosα + i*sinα)*oo" + "(cosβ + i*sinβ)*oo" = naN für α ungleich β mod 360°
2. "(cosα + i*sinα)*oo" + "(cosβ + i*sinβ)*oo" = "(cosα + i*sinα)*oo" für α gleich β mod 360°

dann haben wir gemäss obigen Satz für die abgeschlossene komplexe Zahlenebene vereinigt mit dem Element naN eine Halbgruppe bezüglich der Addition.


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Re: Assoziativgesetz in Gruppen vereinigt Absorptionselement

Beitragvon ralfkannenberg » Samstag 19. September 2020, 12:43

ralfkannenberg hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:Voraussetzungen (Spezialfall mit nur 2 Absorptionselementen der Stufe n sowie einem Absorptionselement der Stufe n+m):
1. es seien x,y,z Elemente einer Gruppe
2. es seien A1 und A2 additive Absorptionselemente der Stufe n, die einander zugehörig im Grade m sind, sei ferner A in {A1,A2}, ihr übergeordnetes Element sei das Element B.

Satz: Dann gilt das additive Assoziativgesetz für alle Elemente der Menge G U {A1, A2, B}

So könnten A1, A2 und A3 additive Absorptionselemente der Stufe n sein, die einander zugehörig im Grade m sind, und ihr übergeordnetes Element sei das Element B.

Dann gilt das additive Assoziativgesetz für alle Elemente der Menge G U {A1, A2, A3, B}

Zwar denke ich, dass das schon aus obigem folgt, ich bin mir aber nicht ganz sicher

Hallo zusammen,

auch wenn das insgesamt spizfindig sein mag, aber ich denke, das folgt tatsächlich bereits aus obigem:

wenn wir drei solche Elemente A1, A2 und A3 haben, dann gilt die zweite Voraussetzung für A1 und A2, für A1 und A3 und für A2 und A3, d.h.

1. A1 und A2 sind additive Absorptionselemente der Stufe n, die einander zugehörig im Grade m sind und ihr übergeordnetes Element ist das Element B
2. A1 und A3 sind additive Absorptionselemente der Stufe n, die einander zugehörig im Grade m sind und ihr übergeordnetes Element ist das Element B
3. A2 und A3 sind additive Absorptionselemente der Stufe n, die einander zugehörig im Grade m sind und ihr übergeordnetes Element ist das Element B

Dann können wir aus obigem (05) zweimal anwenden, und zwar konkret für A1 und A2 sowie für A2 und A3:

ralfkannenberg hat geschrieben:05. es sei je mindestens ein Summand der Dreiersumme aus {A1, A2}. Dann ist die Dreiersumme stets gleich B, da A1+A1=A1, A2+A2=A2 sowie A1+A2=A2+A1=B gilt => additives Assoziativgesetz ist stets erfüllt.

Dann gilt nämlich:
1. mindestens ein Summand der Dreiersumme ist aus {A1, A2}. Dann ist die Dreiersumme stets gleich B, da A1+A1=A1, A2+A2=A2 sowie A1+A2=A2+A1=B gilt
2. mindestens ein Summand der Dreiersumme ist aus {A2, A3}. Dann ist die Dreiersumme stets gleich B, da A2+A2=A2, A3+A3=A3 sowie A2+A3=A3+A2=B gilt

=> additives Assoziativgesetz ist stets erfüllt.

Natürlich ist es viel einfacher, den direkten Beweis A1+(A2+A3) = A1+B = B = B+A3 = (A1+A2)+A3 zu führen, aber es ist im Vorherigen bereits inbegriffen.


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