die geometrische Reihe für Dummies

[Dgoe]

Was ist so kompiziert daran daran Unendich nicht zu akzeptieren, Unendlich zu akzeptieren ist doch genau so Banane, wo ist der oder da ein Unterschied.

[Dgoe]

Gibt es nicht. Es gibt kein Unendlich fertig aus bumms. Ha, dennoch gelten die Beweise alle erst mal und für fast alle Zeiten erst mal.

[Dgoe]

Natürlich bleibt eine Hintertür noch offen dann. Aber wer kann daran klopfen? Absehbar niemand. Und wieviele Tränen fließen, wenn im Mathematik-Unterricht dies eingeräumt werden müsste? Genau...

[ralfkannenberg]

wieso sollte die Idee von Zeta an einem Faktor 10000 scheitern, ist doch nichts, also echt gar nichts. Vergiss Wildberger, irgendwie verstehst Du mich nicht.

Hallo Dgoe,

nur im Weltbild von Wildberger führt das zu Problemen, sonst nicht. Wobei ich gestern in einer Quelle, die ich aufgrund einer Deiner Suchanfragen gefunden habe, die Idee gelesen habe, dass man die Verbindungsmöglichkeiten aller Teilchen des Universums miteinander betrachten könnte, das läuft so auf (10**80)! (d.h. Fakultät) hinaus, und dann ist der Faktor natürlich ein "bisschen" grösser. Da ist definitiv dann keine Chance.

Zeta ist weder zu niedrig, noch zu hoch anzusetzen, sie ist einfach nicht definiert, Punkt aus fertig. Unendich ist ebenso nicht definiert, Punkt aus fertig. Einzige unterschiedliche Eigenschaft von Zeta zu Unendlich ist: Zeta ungleich Unendlich.

Oha, das war mir bei meiner Argumentation nicht (mehr) bewusst. Zeta ist auch nicht definiert ...

Frage zu meinem besseren Verständnis:

Gilt:

1. n <= Zeta (endlich) < "unendlich" für alle n in IN, oder
2. es gibt ein N in IN, so dass: N <= Zeta < n für alle n > N (wobei wir N derzeit nicht kennen)
3. etwas anderes ?

Im ersten Fall wäre Zeta ein endlicher "Häufungspunkt" der natürlichen Zahlen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Gilt:

1. n <= Zeta (endlich) < "unendlich" für alle n in IN, oder
2. es gibt ein N in IN, so dass: N <= Zeta < n für alle n > N (wobei wir N derzeit nicht kennen)
3. etwas anderes ?

Im ersten Fall wäre Zeta ein endlicher "Häufungspunkt" der natürlichen Zahlen.

Hallo Ralf,

zu 1.) Die erste Hälfte passt, die zweite Hälfte nicht, da etwas Undefiniertes, wie Unendlich, nicht in eine Gleichung oder Ungleichung gehört.

Zu 2.) Habe ich nicht verstanden, was ist groß, klein N,n? Und so...

Zu 3.) Möglicherweise.


Definition

In der Analysis ist ein Häufungspunkt einer Menge anschaulich ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat. [...]
Ein Punkt p heißt Häufungspunkt oder Häufungswert einer Folge von Punkten, falls in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes unendlich viele Folgenglieder liegen.

Quelle https://de.m.wikipedia.org/wiki/H%C3%A4ufungspunkt
(Bold by me)

Wozu soll so ein Begriff genau nütze sein, mal abgesehen von dem intuitiv vage zu Erfassendem, wenn er für seine Definition ein entscheidendes Element benutzt, welches nicht definiert ist!?


Natürlich wäre es vorteilhaft, wenn Zeta dadurch, dass endlich, also ungleich Unendlich, besser zu definieren wäre oder überhaupt erst dadurch, während Unendlich ja eben wegen nicht endlich das nicht vermag.

Nur wie? Das ist nicht mit vom Himmel gefallen halt leider...


Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

1. n <= Zeta (endlich) < "unendlich" für alle n in IN, oder
2. es gibt ein N in IN, so dass: N <= Zeta < n für alle n > N (wobei wir N derzeit nicht kennen)
3. etwas anderes ?

Im ersten Fall wäre Zeta ein endlicher "Häufungspunkt" der natürlichen Zahlen.

zu 1.) Die erste Hälfte passt, die zweite Hälfte nicht, da etwas Undefiniertes, wie Unendlich, nicht in eine Gleichung oder Ungleichung gehört.

Hallo Dgoe,

meinetwegen. Aber wenn ich DIch richtig verstanden habe ist Zeta weder gleich "unendlich" noch grösser "unendlich". Somit ist es eigentlich irgendwo naheliegend, dass es echt kleiner als "unendlich" ist.

Zu 2.) Habe ich nicht verstanden, was ist groß, klein N,n? Und so...

DIe natürlichen Zahlen sind dann wie folgt angeordnet: {1,2,3,4,....,N<=Zeta,N+1,N+2,N+3,N+4 usw.}, d.h. n liegt in der Menge {N+1,N+2,N+3,N+4,...}.
Natürlich gibt es diese n in der Zeta-Theorie nicht, weil sie grösser als Zeta sind, aber in der herkömmlichen Mathematik gibt es sie.

Zu 3.) Möglicherweise.

Aha ...

Definition

In der Analysis ist ein Häufungspunkt einer Menge anschaulich ein Punkt, der unendlich viele Punkte der Menge in seiner Nähe hat. [...]
Ein Punkt p heißt Häufungspunkt oder Häufungswert einer Folge von Punkten, falls in jeder noch so kleinen Umgebung des Punktes unendlich viele Folgenglieder liegen.

Quelle https://de.m.wikipedia.org/wiki/H%C3%A4ufungspunkt
(Bold by me)

Wozu soll so ein Begriff genau nütze sein, mal abgesehen von dem intuitiv vage zu Erfassendem, wenn er für seine Definition ein entscheidendes Element benutzt, welches nicht definiert ist!?

Das ist nur eine anschauliche Beschreibung von Häufungspunkten; definiert sind sie über konvergente Teilfolgen. Bei der anschaulichen Beschreibung kannst Du auch "unendlich viele" durch "beliebig viele" ersetzen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ja, jetzt verstehe ich Punkt 2.)
Wahrscheinlich habe ich gestern Abend das letzte > -Zeichen falsch herum gelesen, oder war einfach unkonzentriert.
Aber wie Du schon anmerkst, dass es diese n nur in der herkömmlichen Mathematik gibt, meine ich das Konzept einer maximalen Zahl mit höheren Zahlen zu beschreiben, ist nicht besonders schön oder "elegant" irgendwie.

Größer als Unendlich ist natürlich noch schlimmer als Unendlich.

Zeta sei endlich und größer allem anderen - was konsequenterweise das Unendliche verabschiedet.

Gruß,
Dgoe

P.S.: Habe so einiges zu Gauss und Unendlich gefunden, passt ganz gut, kommt gleich noch...

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Hier zu Gauss:

„So protestiere ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer Vollendeten, welches in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine façon de parler [Sprechweise] indem man eigentlich von Grenzen spricht, denen gewisse Verhältnisse so nahe kommen als man will, während anderen ohne Einschränkung zu wachsen gestattet ist.“
(Gauß an Heinrich Schumacher (1780 − 1850), 12. Juli 1831)

[Brief Nr. 396, Zitat editiert von mir: Vollendete groß geschrieben]
Quelle: http://www.upucs.de/Resource%3Fmethod%3 ... lehre1.pdf
(Gefunden in:
Oliver Deiser:
Einführung in die Mengenlehre,
Die Mengenlehre Georg Cantors und
ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo;

Textseite 26, PDF-Seite 28)

Man beachte natürlich auch den Kontext dort..

Hier noch der vollständige Brief (in 3 Gifs aufgeteilt):
https://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/gsb396a.gif
https://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/gsb396b.gif
https://www.sgipt.org/wisms/geswis/mathe/gsb396c.gif

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Hier zu Gauss:

„So protestiere ich zuvörderst gegen den Gebrauch einer unendlichen Größe als einer Vollendeten, welches in der Mathematik niemals erlaubt ist. Das Unendliche ist nur eine façon de parler [Sprechweise] indem man eigentlich von Grenzen spricht, denen gewisse Verhältnisse so nahe kommen als man will, während anderen ohne Einschränkung zu wachsen gestattet ist.“
(Gauß an Heinrich Schumacher (1780 − 1850), 12. Juli 1831)

[Brief Nr. 396, Zitat editiert von mir: Vollendete groß geschrieben]
Quelle: http://www.upucs.de/Resource%3Fmethod%3 ... lehre1.pdf
(Gefunden in:
Oliver Deiser:
Einführung in die Mengenlehre,
Die Mengenlehre Georg Cantors und
ihre Axiomatisierung durch Ernst Zermelo;

Textseite 26, PDF-Seite 28)

Hallo Dgoe,

super, besten Dank

Ich bin auf Arbeit, deswegen jetzt nur so viel: aus dem Zusammenhang erkenne ich, dass sich Gauss hier auf Zahlen bezieht, denn "denen gewisse Verhältnisse so nahe kommen als man will, während anderen ohne Einschränkung zu wachsen gestattet ist." für Mengen gilt das nicht.

EIn Beispiel für ersteres ist die geometrische Reihe 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ...
Ein Beispiel für zweiteres ist die harmonische Reihe 1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + 1/6 + ...

Diese Einstellung zu Zahlen teile ich, wie Du weisst.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

tjaaa, Cantor schien jedenfalls etwas unglücklich über diese Aussage von Gauss gewesen zu sein und hat sich letztendlich darüber hinweg gesetzt bzw. seine Lehre als moderner entgegen aller Kritik durchgesetzt.

Am Ende des Briefes steht übrigens noch:

Hierin ist aber nichts Widersprechendes, wenn der endliche Mensch sich nicht vermisst etwas Unendliches als etwas Gegebenes und von ihm mit seiner gewohnten Anschauung zu Umspannendes betrachten zu wollen.

(Abschrift von mir)

Dies jedoch ist wiederum aus Gauss Kontext herausgegriffen, siehe dazu das Original am Besten. (letzter Link oben)

Zeta sei endlich und größer allem anderen - was konsequenterweise das Unendliche verabschiedet.

Finde es selber reichlich absurd, aber so die Idee eigentlich.
Ausserdem mag das eventuell ja implizieren, dass man der Mengenlehre widerspricht und das stelle ich mir noch viel verwegener vor...


Gruß,
Dgoe