das Ziffernblatt einer Uhr: Restklassen mal anders

[ralfkannenberg]

Behauptung √p = irrational
Gegenbehauptung √p = rational, demzufolge wäre √p = a/b möglich
einfach quadrieren p = (a/b)*(a/b) und zerlegen in
Primfaktoren p = (a1*a2*...)²/(b1*b2*...)² oder
umgeschrieben (b1*b2*...)²*p = (a1*a2*...)²
wegen "=" sollte selbstverständlich B(b²,p)=A(a²) sein
aber ()² bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren geradzahlig sein muß
nur zum Verständnis für Mitleser: zB (2*3*5)²=(2*3*5)*(2*3*5)=(2*3*5*2*3*5) hat gerade Anzahl von Faktoren
(oder müßte das extra als Lemma bewiesen werden? kann man ja als bekannt voraussetzen)
rechts stimmt's also: A hat eine gerade Anzahl von Primfaktoren
links ist der Widerspruch: B=b²*p ist eine ungerade Anzahl von Primfaktoren
Ergebnis: √p kann nicht rational sein

Hallo Herr Senf,

was ich noch irgendwie witzig finde: der Beweis funktioniert ja identisch gleich, wenn p das Produkt von einer ungeraden Anzahl Primzahlen ist.

Hingegen kriegt man ihn nicht hin, wenn p das Produkt von einer geraden Anzahl verschiedener Primzahlen ist.

Hinweis:
Gleicher Primzahlen geht im Falle der geraden Gesamtzahl natürlich nicht, denn hier kann es vorkommen, dass die Wurzel daraus rational ist: sqrt(p₁p₁p₂p₂) ist ja gleich p₁p₂.

Bei ungerader Anzahl indes dürfen auch beliebig viele gleiche Primzahlen vorkommen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Herr Senf]

Hallo Ralf, nur mal so
damit jetzt keiner durcheinanderkommt:
"p" ist ja Primzahl, damit kein Produkt von Primzahlen.
Der Beweis "versucht" es über sqrt(p) als Bruch von Primzahlen,
was zum Widerspruch führt.
Gehe ich recht in der Annahme, daß Du auf eine beliebige Zahl X (Nicht-Quadratzahl)
erweitern wolltest, also ohne "Mißverständnisse" sqrt(X)=sqrt(p1*p2*p3*...) für ungerade.
Grüße Senf

[ralfkannenberg]

Hallo Ralf, nur mal so
damit jetzt keiner durcheinanderkommt:
"p" ist ja Primzahl, damit kein Produkt von Primzahlen.
Der Beweis "versucht" es über sqrt(p) als Bruch von Primzahlen,
was zum Widerspruch führt.
Gehe ich recht in der Annahme, daß Du auf eine beliebige Zahl X (Nicht-Quadratzahl)
erweitern wolltest, also ohne "Mißverständnisse" sqrt(X)=sqrt(p1*p2*p3*...) für ungerade.

Hallo Herr Senf,

gibt es irgendwelche Fragen zu meiner Notation "wenn p das Produkt von einer ungeraden Anzahl Primzahlen ist" ?

Bezüglich Deiner Frage: ja. - Wobei bei der Erweiterung auf ein Produkt einer ungeraden Anzahl Primzahlen die von Dir genannte zusätzliche Bedingung "X eine Nicht-Quadratzahl" nicht nötig ist, weil das Produkt einer ungeraden Anzahl Primzahlen keine Quadratzahl ergeben kann.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Herr Senf]

Hallo Ralf,

gibt es irgendwelche Fragen zu meiner Notation "wenn p das Produkt von einer ungeraden Anzahl Primzahlen ist" ?

bei mir weniger, weil ich auf den Kontext achte
Nur haben wir hier den Buchstaben "p" schon in mehreren Bedeutungen benutzt, bei vorigen Beweisen in p/q, ich gewechselt auf a/b.
Mitleser könnten was verwechseln, in einem längeren Thread "entgleitet" irgendwann die einheitliche Notation, darf im Lehrbuch nicht passieren.
Es kann dann schon vorkommen, daß wer Formeln mit gleichen Buchstaben sieht und zusammenkloppt zu einer neuen Entdeckung.
Dem wollte ich nur vorbeugen - Grüße Senf

[Dgoe]

vielleicht so:
Nach der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl, zählt man die jeweilige Anzahl an gleichen Primzahlen zusammen und hält fest, ob die jeweilige Summe gerade oder ungerade ist. Auf diese Menge wendet man die (+/-)-Regeln an, + für gerade und - für ungerade. Wenn das Ergebnis + ist, dann ist die Wurzel rational, wenn Minus dann irrational.
Passt.

was Du hier meinst musst Du mir mal in einer ruhigen Minute erklären.

Hallo Ralf,

OK, ich wollte oben nur eine Möglichkeit finden, wie man herauskriegen kann, wann die Wurzel einer natürlichen Zahl irrational ist. Beschreibung: Dazu wird die Zahl in ihre Primzahlen zerlegt - wie man dies auch immer macht, sei mal gegeben, dass man dann diese Primzahlen hat. Dies sind dann schnell mal mehrere Primzahlen, vereinzelt auch mehrere gleiche Primzahlen.
Beispiel 6936=2*2*2*3*17*17
Also 3 mal kommt die 2 vor (2³), 1 mal kommt 3 vor (3¹), 2 mal kommt 17 vor (17²).
Also 3 mal gerade, 1 mal ungerade, 2 mal ungerade.
Für jedes gerade ein Plus (+), für jedes ungerade ein Minus (-) eingesetzt, ergibt:
+++,-,-- oder +++--- = - (nach den Plus/Minus-Regeln)
Das Ergebnis ist ein Minus, also ist die Wurzel irrational, wäre das Ergebnis ein Plus geworden, dann wäre die die Wurzel rational. Das habe ich bei ein paar Beispielen getestet und passte jedesmal, vielleicht findest Du ein Gegenbeispiel!?

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Beispiele wo es passt:
12=2*2*3 und √12=irr weil (-)
36=2*2*3*3 und √36=rat weil (+)
72=2*2*2*3*3 und √72=irr weil (-)
27=3*3*3 und √27=irr weil (-)
6936=2*2*2*3*17*17=irr weil (-)

[Dgoe]

P.S.:

vielleicht so:
Nach der Primfaktorzerlegung einer natürlichen Zahl, zählt man die jeweilige Anzahl an gleichen Primzahlen zusammen und hält fest, ob die jeweilige Summe gerade oder ungerade ist. Auf diese Menge wendet man die (+/-)-Regeln an, + für gerade und - für ungerade. Wenn das Ergebnis + ist, dann ist die Wurzel rational, wenn Minus dann irrational.
Passt.

Das Durchgestrichene war quatsch, da hab ich mich vertan, so meinte isch es nicht, siehe Beschreibung 2 Post weiter oben. Muss ich anders formulieren...

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Hm, bei 2 geht es nicht. Na ja, eine Ausnahme der Regel... Seufz. Wie doof.

[Dgoe]

Grr,

die 2 ist ja die einzige Primzahl, die durch 2 teilbar ist und damit gerade ist und entsprechend ein + ergibt, an für sich braucht man nur die Anzahl der verbliebenen Primzahlen zu betrachten, wenn diese Anzahl ungerade ist, dann wäre laut Regel die Wurzel irrational (-) und wenn gerade dann rational (+).
Aber das bringt nichts, weil ich schon ein Gegenbeispiel gefunden habe:
8200=2*2*2*3*3*5*5*7*7 und sqrt(8200)=irr=296,98484809834996024835463208404...
+++,--,--,--=+
Widerspruch, irgend etwas stimmt also leider doch nicht, wäre ja auch zu schön, vielleicht muss noch eine Regel mehr dazu, oder anders?? Just forget about it.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Für jedes gerade ein Plus (+), für jedes ungerade ein Minus (-) eingesetzt, ergibt:
+++,-,-- oder +++--- = - (nach den Plus/Minus-Regeln)
Das Ergebnis ist ein Minus, also ist die Wurzel irrational, wäre das Ergebnis ein Plus geworden, dann wäre die die Wurzel rational. Das habe ich bei ein paar Beispielen getestet und passte jedesmal, vielleicht findest Du ein Gegenbeispiel!?

Hallo Dgoe,

also nehmen wir 2¹⁰⁰⁰ * 3. Der Exponent 1000 liefert 500 (+) und die 3 liefert ein (-). Ergibt 499 (+), trotzdem ist die Quadratwurzel irrational, weil die sqrt(3) irrational ist.

2¹⁰⁰⁰ gefällt Dir nicht ? Auch gut, dann betrachte einfach das Produkt der ersten 1000 Primzahlen, bilde deren Quadrat und multipliziere noch die 1001.-te Primzahl.
Die Quadratwurzel von dem ist auch irrational, auch wenn Du noch so viele (+)'sen hast.

Die Regel ist übrigens viel einfacher: sqrt(k) einer ganzen Zahl k ist dann und nur dann rational, wenn k eine Quadratzahl ist.


Freundliche Grüsse, Ralf