die geometrische Reihe für Dummies

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

und seine Präsentation des Beweises mit der Menge aller Teilmengen von Minute 8:35 bis Minute 11:45 ist didaktisch brilliant !

Ich schaue mir den gleich noch ein zweites Mal an.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

https://youtu.be/SrU9YDoXE88

"How To Count Past Infinity" (vsauce)

Das gehört zu den besten youtube-Filmen, die ich jemals gesehen habe !

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ok, aber, ich muss noch raussuchen welche Minute er über das Universum sprach und etwas hinterfragt hatte, ob noch sinnvoll oder so. Er mit bejahend fortgesetzt... übergangen eigentlich.

Ich habe jedenfalls jeweils meine 2-3 Einwände dort drin wiedergefunden und war überrascht wie offen sie zutage liegen.

Füge die Sekundenstellen nach...

Gruß
Dgoe

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Danke für das indirekte Lob diesen Link angeführt zu haben. Das war schon lange als ein besonders guter Link vermerkt bei mir. Im Grunde auch meine Quelle, woher ich wusste und davon sprach, dass nur Selbstreferenzen so hohe Zahlen formulieren können.

Ich favorisiere genau genommen was Mathematik betrifft: vsauce, numberphile, mathologer, 3blue1brown,

und N J Wildberger's channel: "Insights into mathematics", former njwildberger.

Alles auf YouTube, alle top, echt... (Reihenfolge oben zufällig)

Gruß,
Dgoe

P.S.: Ach ja alles auf Englisch. Gibt es nicht auf Deutsch, tadaaaa. Dennoch Weltbeste in jedem Fall.

[ralfkannenberg]

über das Universum sprach und etwas hinterfragt hatte, ob noch sinnvoll oder so. Er mit bejahend fortgesetzt... übergangen eigentlich.

Hallo Dgoe,

er hat im Wesentlichen darauf hingewiesen, dass in der Physik letztlich andere Regeln gelten als in der Mathematik, weil die Physik am Experiment "geprüft" wird und die Mathematik in diesem Sinne "frei" ist. Man kann also letztlich immer irgendetwas was einem gerade passt per Axiom garantieren und dann weitermachen, solange das halbwegs widerspruchsfrei geht.

Nur: so ganz die feine Art ist das auch nicht: es erinnert an einen Diktator, dem die Argumente ausgegangen sind und der nun eben irgendeinen Beschluss per Dekret und unter Gleichschaltung demokratisch gewählter Instanzen kurzerhand durchdrückt.

Aus diesem Grunde gibt es in der Mathematik eine stillschweigende ZUsatzforderung, da es sehr schlechter Stil ist, etwas per Axiom durchzudrücken: das Axiomensystem soll minimal sein.

Selbst das jederzeit ehrenwerte Auswahlaxiom, das immerhin die schöne Eigenschaft hat, äquivalent zum Wohlordnungssatz und zum Zorn'schen Lemma zu sein, wird nicht per Axiom durchgedrückt, sondern man macht sich sehr wohl Gedanken darüber, ob Ergebnisse anders ausfallen, wenn das Auswahlaxiom nicht gültig ist. Und wenn man da etwas findet, ist das auch heutzutage immer noch ein Anlass, mit der Fields-Medaille oder mit dem Abel-Preis geehrt zu werden, das sind die beiden Pendents zum Nobelpreis in anderen Wissenschaften.

Ich habe jedenfalls jeweils meine 2-3 Einwände dort drin wiedergefunden und war überrascht wie offen sie zutage liegen.

Jetzt bin ich leider etwas durcheinander ("information overflow") - kannst Du diese 2-3 Einwände bitte noch einmal konkret benennen - auch unter dem Licht der Erkenntnisse der vergangenen Tage ? Nicht dass sich hier ein unnötiges Missverständnis ergibt, von denen renne ich zeitraubend genügend vielen im Abenteier Universum-Forum hinterher, auch wenn diese zweifelsohne ebenfalls sehr interessant sind.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

oben der Link ist ein ganz gutes Erklärvideo, finde ich, das den allgemeinen Konsens wiedergibt. Allerdings auf Englisch.

Ich habe jetzt mal gegoogelt und an Kritik dazu mangelt es nicht:
http://theorangeduck.com/page/infinity-doesnt-exist (Engl.)

Hallo Dgoe,

ich habe mir das einmal angeschaut, bin aber noch nicht fertig. Bei seinen Ausführungen über die Absurditäten steht eine wichtige Voraussetzung ("Axiom" ?) ganz unscheinbar in Klammern:

(given a quantum probablistic universe)

Und dass das von ihm beschriebene Universum unendlich viele Atome enthalten muss hat er gar nicht erst genannt, obgleich sich ein "unendliche Universum" normalerweise nur die Ausdehnung, aber keinesfalls auf den Inhalt bezieht. Aber auch wenn man unendlich viele Atome hat so folgt das alles unter der Annahme eines "quantum probablistic universe" bzw. einer vergleichbaren Voraussetzung.

Ohne das kann man das alles jedenfalls gar nicht herleiten. - Im Übrigen hat das alles gar nichts mit dem youtube-Film zu tun, da dieser viel "höhere" Unendlichkeiten beschreibt; hier genannte Einwände beziehen sich auf abzählbar unendliche Mengen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Ich habe jetzt mal gegoogelt und an Kritik dazu mangelt es nicht:
http://theorangeduck.com/page/infinity-doesnt-exist (Engl.)

Hallo Dgoe,

machen wir mal weiter, jetzt ziehe ich "contra", und zwar im Abschnitt "Keep Adding One"

Der Autor schreibt da das folgede:

So when people say that infinity exists because they can keep adding one, what they really mean is that infinity exists, given infinite time or given infinite space or given an infinite counting speed.

Ja, das ist populärwissesnchaftlich gut beschrieben, sehr gut, ich bin einverstanden. Doch nun läuft der Autor voll in den Hammer, sei es, weil er es nicht besser versteht, oder weil er es mit der Verständlichkeit übertrieben hat:

If we presuppose the opposite - that infinite time doesn't exist - we can easily apply the same argument in reverse. We can say that, if there is some time limit, I can't keep adding one, and so infinity must not exist!

Hier nebt der Autor nicht genügend deutlich hervor, dass es zwar unendlich viele natürliche Zahlen gibt, doch jede von ihnen endlich ist. Man beschreibt also das Unendliche letztlich mit der Vereinigung endlicher Mengen, wobei ich hier der Bequemlichkeit halber stillschweigend die Zahl N in IN mit der Menge {1,2,3,4,...,N} gleichsetze und deren Grösse nicht mit dem Absolutbetrag, sondern über die Teilmengen-Relation, d.h. über die Anzahl Elemente in der zugehörigen Menge, denn die Menge {1,2,3,4,...,N} enthält ja gerade N Elemente.

Worauf will ich hinaus: man gebe eine beliebige Zahl N in IN vor. Zu dieser Zahl kann ich 1 hinzuaddieren, und um alle natürlichen Zahlen bis zur Zahl N+1 hochzuaddieren benötige ich eben eine bestimmte Zeit. Nur eben: sowohl Zählgeschwindigkeit als auch benötigte Zeit sind endlich ! Die Unendlichkeit kommt nicht über die Zählgeschwindigkeit oder die Zeit des Aufsummierend hinein, sondern darüber, dass ich das für jede beliebige natürliche Zahl so machen kann. Und eben: für jede beliebige natürliche Zahl verbleibt die Zählzeit endlich ! Man braucht sich da also die Hände gar nicht mit Unendlichkeiten schmutzig zu machen - dass sind alles endliche Prozesse, aus denen man sich eine abzählbar unendliche Menge konstruiert hat. Und wie man im vorherigen youtube-Film sehr schön gesehen hat kann man zeigen, dass deren "Potenzmenge", also die Menge aller ihrer Teilmengen, nicht bijektiv ist, also "überabzählbar". Erneut kann man ohne sich die Finger schmutzig machen zu müssen auch Überabzählbarkeiten feststellen und dazu ganz elegant eine Bijektion auf die Punkte einer Geraden und somit in die reellen Zahlen angeben.

Aber nun wird es schwierig, denn die Potenzmenge der Potenzmenge ist eine Potenzmenge einer überabzählbaren Menge, d.h. man hat da keine schöne Liste, die man da auflisten und über die man das Diagonalargument anwenden kann. Nun muss man schweres Geschütz auffahren und das Auswahlaxiom anwenden.

Es ist aber besser, wenn man Mathematik ohne so schweres Geschütz auffahren zu müssen betreiben kann. Es ist ein bisschen wie beim Papst: als gläubiger Katholik bin ich selbstverständlich dazu verpflichtet, seine Unfehlbarkeit nicht in Frage zu stellen, dennoch befremdet es die katholische Basis in den meisten Fällen, wenn dem Papst die Argumente ausgehen und er ein Dekret aufgrund seiner Unfehlbarkeit durchdrücken muss. Da finde ich persönlich einen Papst, der eine Schwäche einräumt, authentischer und auch glaubwürdiger, und es fällt mir leichter, wenn der Papst uns Gläubige bittet, etwas zu glauben, und das im Gebet zu begleiten, als uns Gläubige dazu per Unfehlbarkeits-Doktrin zu zwingen.

Und selbst wenn man dieses schwere Geschütz auffährt und das Auswahlaxiom bemüht: spätestens wenn die Menge aller Mengen erreicht ist ist Feierabend mit dem Erhöhen von Mächtigkeiten. Und wir wissen beide vom Russell-Paradoxon, dass die "Menge aller Mengen" so ohne weiteres nicht widerspruchsfrei ist. Ich vermute, dass man mit dieser rekursiven Potenzmengen-Bildung die Menge aller Mengen eben nicht ereichen kann, ich bin hier aber kein Spezialist. Verbleiben wir bei den abzählbaren Mengen der natürlichen Zahlen via Peano-Axiome und den überabzählbaren Mengen des Kontinuums via allen Punkten auf einer Geraden bzw. einer Strecke.

Mit ist kein einziger Fall bekannt, in dem man höhere Mächtigkeiten brauchen würde.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Ich habe jetzt mal gegoogelt und an Kritik dazu mangelt es nicht:
http://theorangeduck.com/page/infinity-doesnt-exist (Engl.)

Hallo Dgoe,

da ich mich nun schon in Rage schreibe machen wir mal weiter: "Mathematical Lamps"

Die Thomson Lampe ist ein ganz banales Beispiel eine nicht absolut-konvergenten Folge. Dass solche gegen mehrere Grenzwerte "konvergieren" können ist nun wirklich nichts neues, üblicherweise sagt man dazu, dass sie "alternieren". Und der Trick mit der Lösung 1/2 ist auch nichts neues:

da wird nämlich mit S subtrahiert und in diesem S stecken unendlich viele Summanden "+1" und so etwas hat nun mal kein additiv Inverses, d.h. man sollte sich davor hüten, das zu subtrahieren, das ist nicht definiert !

Wenn eine Folge konvergert und diese KOnvergenz sogar absolut ist, dann kann man bedenkenlos damit rechnen, ansonsten: Finger weg !!! Dann hat man irgendwelche Reihen, deren positive Gleider gegen +oo divergieren und deren negative Glieder gegen -oo divergieren und das ist nicht definiert ! Ja, man kann sogar zeigen, dass wenn die Reihenglieder genügend schnell absolut gegen 0 gehen, dass solche Reihen dann gegen jeden beliebigen Grenzwert konvergieren. Prominentestes Beispiel hier ist die alternierende harmonische Reihe 1 - 1/2 + 1/3 - 1/4 + 1/5 - 1/6 + 1/7 - 1/8 u.s.w.

Also kurz zur Lampe: das Ding ist nicht absolut-konvergent !


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

- kannst Du diese 2-3 Einwände bitte noch einmal konkret benennen -

Hallo Ralf,

Zum vorvorletzten Post von Dir, neuere noch nicht gelesen wegen Überschneidung.

klar, ich kann die Stellen verlinken (die Sekunde wo die Stelle startet; versprochen), ich habe aber eher laut gedacht, als ich dies erwähnte...

Aber ok, im Grunde komme ich nicht daran vorbei den Bezug genauer herzustellen zu den nächsten Links, da so behauptet, wobei das alles eigentlich offensichtlich sein sollte, wenn man sich es genau vornimmt und auch meine Zitate beachtet passend zum Kontext und was ich vorher alles dazu schrieb allgemein, seufz... dachte ich.

Das Kaliber Wildberger kommt ja auch erst noch...

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Ich habe jetzt mal gegoogelt und an Kritik dazu mangelt es nicht:
http://theorangeduck.com/page/infinity-doesnt-exist (Engl.)

Hallo Dgoe,

machen wir mal kapitelweise weiter:

"The Biggest Number"

If there is no such thing as infinity, and there are a finite amount of numbers, then what is the biggest number? Good question. We could pose the same question to a physicist - if the universe is finite, and there are a fixed number of atoms, then what is at (or beyond) the boundary?

A physicist would probably say that because the boundary is always growing no one really knows. The universe is expanding at the speed of light - which makes observation impossible.

Vorsicht: dieser Einwand ist für die steady state-Modelle des Universums gültig, doch sind diese meines Wissens längst überholt. In diesen wird Masse ständig nachproduziert, damit die Massedichte gleich hoch bleibt, doch glaubt man heute zu wissen, dass die Anzahl Teilchen im Universum endlich ist, d.h. dieses sich mit der Ausdehnung immer mehr ausdünnt.

Die übrigen Gedanken dieses Kapitels betreffen einen Philosophen und nicht einen Mathematiker.

The Real Numbers:

Consider the real numbers which have an infinite decimal expansion but where the expansion follows no pattern. It is impossible to talk about a specific one of these numbers. They are completely impossible to express. Okay so a few we can talk about such as pi and the square root of 2, but most of them just follow no pattern, have no properties, and go on infinitely. This makes them impossible to communicate. In fact nothing can be done with these numbers. Because they can't be expressed they can't even be used in mathematics.

The vast majority of real numbers are like this. The only ones that aren't are those that correspond to the natural numbers. The set of real numbers is somehow padded out with all these indescribable and fundamentally useless elements - and so many of them that in proportion it appears the set is completely full of these indescribable numbers.

The question is, do these indescribable numbers, which have no interaction individually with the rest of the mathematical universe, and only exist due to the axiom of infinity, really exist?

Die Mehrheit der natürlichen Zahlen wäre in diesem Sinne auch "useless", weil es im Weltall gar nicht genügend Papier gäbe, um sie aufzuschreiben, weil sie so riesig gross sind. Und Du weisst: alle natürlichen Zahlen, die danach kommen, sind noch grösser, und von denen gibt es unendlich viele !

Und was diese "unbeschreibbaren und fundamental unnützen" Zahlen anbelangt: jede von ihnen lässt sich als konvergente Cauchy-Folge rationaler Zahlen, d.h. einer abzählbaren Menge, schreiben. Insbesondere benötigt man meines Wissens kein Axiom betreffend Unendlichkeit, um diese Zahlen zu konstruieren !


"Infinity is Useful"

If anything Calculus is a shining example of finitist mathematics!

Das ist leider falsch: nur eine sehr kleine Teilmenge von Formeln lässt sich analytisch lösen.

We can also consider the value of pi. In a infinite mathematical world actual pi - the full decimal expansion of pi - is said to exist. But is this really necessary? Everywhere we use the symbol pi it is equally adequate to instead talk about pi defined in limit form - a finite form. What is the usefulness of pi existing in full decimal expansion form?

Auch die Zahl pi ist exakt definiert, und zwar ist sie als der Quotient "Umfang eines Kreises / Durchmesser des Kreises" definiert. Niemand würde auf die Idee kommen, da irgendwelche Grössen mit unendlich vielen Kommastellen zu berechnen. - Zudem: Auslöschungseffekte: wenn man nur endlich rechnet, kann einem das immer passieren, dass sich da etwas auslöscht und man unsinnige Resultate erhält. Das lässt sich nur durch exaktes Rechnen vermeiden. Und "exaktes Rechnen" bedeutet nicht, mit unendlich vielen Nachkommastellen zu jonglieren, es bedeutet aber auch nicht, nach n Nachkommastellen aufzuhören und sich einzubilden, das sei "exakt genug".

Allerdings kann man jede reelle Zahl als Grenzwert von rationalen Zahlen darstellen, d.h. man findet zwei rationale Zahlen, so dass die reelle Zahl zwischen ihnen liegt. Ratioanle Zahlen kann man exakt darstellen, nämlich unter Angabe zweier Zahlen, nämlich des Zählers und des Nenners, d.h. man kann statt mit der reellen Zahl auch mit den beiden rationalen Zahlen, die auf n Kommastellen genau die reelle Zahl approximieren, "rechnen". Gewiss, die Rechnungen werden umständlich, die Rechenzeit kann sehr langsam werden und wenn sich da was auslöscht kann man das bemerken, aber keine Lösung angeben, sondern zunächst einmal nur die Rechnung abbrechen und evtl. mit künstlicher Intelligenz drangehen, die dann die Aufgabenstellung mit anderen Algorithmen - stets unter Approximation der involvierten reellen Zahlen durch rationale Zahlen - zu lösen versucht.

Bei Aufgaben, in denen Wurzeln involviert sind, kann man mit algebraischen Zahlen oder vielleicht etwas effizienter mit algebraischen Zahlen mit maximalem Grade n versuchen, exakt zu rechnen, auch hier hat man das Problem extrem langsamer Rechenzeiten. Allerdings dürften in der Praxis Volumina die höchste Potenz darstellen, d.h. dann liegen algebraische Zalen vom Grade 3 vor. Wer schon einmal eine Glecihung dritten Grades von Hand aufgelöst hat weiss, wie sehr umständlich das ist - Gleichungen zweiten Grades habe ich oft mit der Lösungsformel aufgelöst, eine dritten Grades - also eine, die da keine schönen Zahlen als Lösung hatte, die man einfach hätte raten können, und deren Lösungen auch nicht auf dem Einheitskreis lagen - habe ich mir in meinem Leben genau einmal zugemutet. Und zwar deswegen, weil ich das einmal gemacht haben wollte.

"Cantor's Paradise"
Das ist als historischer Abriss dieser Zeit ok.


"Maths Imitates Life"

There are no building blocks for infinity. It can't be defined in terms of the natural universe because infinity doesn't exist in physics. We can build seemingly close approximations but they repeatedly trick us because they don't have the properties we expect. Thompson's lamp can't really be half on and half off. Achilles in Zeno's Paradoxes can't really move at infinitesimally small distances.

Thompson's Lampe ist nicht absolut konvergent und Achilles in Zeno's Paradoxon im Wettlauf mit der Schildkröte kann man auflösen, denn hier ist alles absolut konvergent.

But for infinity we can't find the parts we need - not even in other areas of mathematics. These parts simply don't exist.

Dass er diese Teile nicht kennt heisst nicht notwendig, dass es sie nicht gibt. In voller Allgemeinheit mag er recht haben, aber es gibt Beispiele, wo man sich das ganz gut vorstellen kann.

This is ultimately why I believe infinity should not be an axiom of mathematics. It cannot be imagined - and it is not right to declare something exists which cannot be imaginable - not even in mathematics. If you say you believe in infinity, say you understand it, say you can manipulate it and do mathematics with it - it isn't true. It can't be imagined, it can't be realized, it can't be used in mathematics - only finite approximations can. You cannot imagine infinity, use infinity, describe, or realized infinity. If you could - it would be finite. Not only does infinity not exist - I think it cannot exist - not in the real world - not in imagination - not in mathematics.

Der Autor soll sich 1 m vor eine Mauer stellen und dann iterativ je die Hälfte zur Mauer hingehen. Er wird dei Mauer mathematisch nie erreichen, aber hätte er unendlich viel Zeit, d.h. könnte er abzählbar unendlich viele Schritte tun, so würde er die Mauer erreichen.

Und zwar exakt - er würde weder davor noch dahinter landen. Das kann man beweisen. Zum Beispiel mit einer Methode, die hier im Thread-Titel steht: mit einer geometrischen Reihe.

Natürlich, das könnte auch ein Zufall sein. Dann möge der Autor einmal im Zehnersystem die Zahl 1 durch 3 dividieren. Er wird feststellen, dass da unendlich viele Nachkommastellen vorkommen, obgleich die Zahl rational ist. Und er wird noch etwas feststellen: die ersten hundert Stellen der Zahl pi kommen darin nicht vor, auch wenn er im Kapitel "An Infinite Universe" mit dem " Infinite monkey theorem" so etwas suggeriert, aber die Voraussetzungen in einem banal aussehenden Nebensatz in Klammern angibt: "(given a quantum probablistic universe)". Voraussetzungen, die auf den Quotienten 1/3 und viele viele andere auch aber gar nicht zutreffen.


Freundliche Grüsse, Ralf