die geometrische Reihe für Dummies

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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 7. Mai 2020, 00:56

Hallo Ralf,

hach, zwei mal nein, aber auch nur weil ich ehrlich nicht einmal das Bild nachgeschlagen habe, extra nicht. Ich habe meine Eselsbrücken gebaut jeweils zur x-Achse und zur y-Achse und zig Dinge. Ich muss es nur wieder aufrufen...
Lass mich nachgucken und dann bin ich wieder im Bilde.

Ich meine, ich bin ehrlich zu Dir, authentisch, aber ich bin sicherlich schnell wieser im Bilde, wenn ich mir Dinge nochmal zu gemüte führe. Da musst Du nicht unbedingt einführen, vielleicht dennoch gut für Mitleser und mich selber ebenso. Aber muss nicht, Du musst nicht bei Adam und Eva anfangen.

Gruß,
Dgoe
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 7. Mai 2020, 01:11

Dgoe hat geschrieben:hach, zwei mal nein, aber auch nur weil ich ehrlich nicht einmal das Bild nachgeschlagen habe, extra nicht. Ich habe meine Eselsbrücken gebaut jeweils zur x-Achse und zur y-Achse und zig Dinge. Ich muss es nur wieder aufrufen...

Hallo Dgoe,

kein Problem - ich will Dich nur dort abholen, wo Du stehst. Eine kleine Einführung wird auch dem stillen Mitleser nicht schaden.


Dgoe hat geschrieben:Lass mich nachgucken und dann bin ich wieder im Bilde.

Lass das, da steht viel zu viel drin. Nette Sachen, wirklich, aber wir brauchen sie nicht.


Dgoe hat geschrieben:Da musst Du nicht unbedingt einführen, vielleicht dennoch gut für Mitleser und mich selber ebenso.

Eben, und schnell vergisst man das wieder, zumal einem da in der Schule viel zu viele Dinge an den Kopf geworfen werden, die man sich, würden die Lehrer einem die Zeit und Muße dazu geben, selber herleiten kann.

Dgoe hat geschrieben:Aber muss nicht, Du musst nicht bei Adam und Eva anfangen.

Na ja, rechtwinklige Dreiecke und dass man zwei gleiche Dreiecke immer zu einem netten Viereck zusammenlgen kann setze ich schon voraus. Und auch, dass man den Satz von Pythagoras auswendig kennt, wobei das vermutlich nur ein kleiner Exkurs sein wird. Weiss ich noch nicht.

OK, hier weiss ich nun Bescheid. Wie sieht das mit der Exponentialfunktion aus: wie ist diese definiert ? Hier gibt es übrigens mehrere Antworten, die richtig sind. Auch hier will ich nur Deinen Stand wissen. Meinetwegen können wir auch banal mit der Eulerschen Zahl anfangen. WItzig noch, dass man je nach Definiiton ihre Existenz recht einfach ausgerechnet mit der geometrischen Reihe, die das ursprüngliche Thema dieses Threads ist, nachweisen kann.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 7. Mai 2020, 01:33

Hallo Ralf,

nun, ich hab gerade mal nur den Einheitskreis aufgeschlagen und eine Illustration reichte mich zu erinnern, dass sin auf der y-Achse abgebildet wird und meine Eselsbrücke war, dass das i in sin wie y klingt.

Aus meinem Nähkästchen.

Gruß,
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 7. Mai 2020, 09:47

Dgoe hat geschrieben:nun, ich hab gerade mal nur den Einheitskreis aufgeschlagen und eine Illustration reichte mich zu erinnern, dass sin auf der y-Achse abgebildet wird und meine Eselsbrücke war, dass das i in sin wie y klingt.

Aus meinem Nähkästchen.

Hallo Dgoe,

meine Idee ist nicht, dass Du Dich für diese beiden neuen Threads irgendwie vorbereiten müsstest. Ich möchte nur wissen wo Du stehst bzw. wo ich Dich abholen kann, und es dann gemeinsam erarbeiten. Statt irgendwelche Wikipedia-Inhalte auswendig zu lernen hat das den Vorteil, dass wir Stück für Stück durchgehen können, auch mal wenn nötig eine Pause einlegen, aber keine Inhalte auswendig gelernt zu werden brauchen.

Nehmen wir mich: das trigonometrische Addtionstheorem haben wir schon in der Schule gelernt und den Beweis konnte ich auswendig rezitieren. Der Lehrer war begeistert, aber wirklcih verstanden habe ich die Idee nicht und nachdem mir im Studium mal ein Studienkollege den Tipp gab, dass man das doch ganz einfach und auch wirklich "additiv" mit der Eulerschen Formel ausrechnen könne - die Exponentialfunktion ist ja additiv, was wir uns dann ebenfalls anschauen werden (gar nicht schwer, aber meistens nicht direkt bewusst) - habe ich mich mit dem Thema nicht mehr weiter beschäftigt.

Aber nun habe ich Lust den geometrischen Beweis zu verstehen, zumal ich persönlich den Beweis der Eulerschen Formel, den ich viele Jahre nach Abschluss meines Studiums anhand der Vorlesungsnotizen nochmals durchgearbeitet habe - auch, um ihn endlich einmal zu verstehen, unbefriedigend finde, und ich denke, das "missing link" zum Befriedigtsein ist dieser geometrische Beweis des trigonometrischen Addtionstheorems.

Deswegen meine Idee, das gemeinsam zu tun.

Noch ein Hinweis, wie ich vorgehen möchte: die Idee ist nicht das Ergebnis, sondern die Idee ist, den Weg dahin zu geniessen. So habe ich die Hälfte meiner Zeit dafür verwendet, herzuleiten, warum zwei Winkel gleich sind - der Schritt wurde in der Wikipedia weggelassen, indes hat ein trockener und langweilig sprechender, aber brilliant beweisender Lehrer in einem YouTube-Film das ebenfalls so geamcht, er hat diese Gleichheit allerdings geringfügig anders gezeigt, d.h. wir werden uns beide Methoden anschauen.

Zurück zum Bild der Wanderung: der Weg wird von einem grossen Felsbrocken versperrt. Wenn man rechts herum geht, sieht man die schöne Aussicht auf die Berge, wenn man links herum geht, sieht man schöne Pflanzen. Also lohnt es sich, bei dem Felsbrocken eine Pause einzulegen und sowohl rechts herum, um die schöne Aussicht auf die Berge zu haben, als auch links herum, um die schönen Pflanzen zu bewundern, zu gehen, statt das Ganze als lästigen Umweg zu betrachten, weil man nur das Ziel vor Augen hat und den Weg so schnell wie möglich ungeachtet aller Schönheiten hinter sich bringen will.


Freundliche Grüsse, Ralf
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 7. Mai 2020, 14:11

Hallo Ralf,

prima! Auch bekannt unter "Der Weg ist das Ziel". :)

So ähnlich auch das Leben, an dessem Ende bekanntlich der Tod steht, welcher ja kaum das Ziel sein sollte...

Gruß,
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Donnerstag 7. Mai 2020, 15:16

Dgoe hat geschrieben:prima! Auch bekannt unter "Der Weg ist das Ziel". :)

Hallo Dgoe,

zweimal in meinem Leben habe ich mich auf den Weg gemacht, einen 4000 m hohen Berg in der Schweiz zu besteigen (mit Bergführer und anderen Leuten). Obgleich der Weg dahin wunderschön war und durch Fels- und Schneelandschaften führte, die man sonst nicht erlebt, war jeder, der den Gipfel nicht erreicht hat, ein "Looser". Unserem Bergführer ist es gelungen, beide Male jeden sicher hinauf und wieder hinunter zu führen, d.h. es gab am Ende zwar komplett erschöpfte Leute, aber keine "Looser".

Im Studium ist es ähnlich: es zählt nichts, ob man einen Beweis verstanden hat oder ihn brute force auswendig lernt, es zählt nur die Prüfung. Und am Ende hat man das Diplom oder man hat es eben nicht. Alles andere ist Kosmetik, für die sich auf gut deutsch gesagt kein Schwein interessiert. Das ist auch der Grund, warum ich mich mit vielen Inhalten erst viele Jahre nach Abschluss meines Studiums beschäftigt habe und auch das Tempo selber vorgebe, während man im Studium letztlich mit grossen Verlusten einfach nur durchgejagd wird und aufpassen muss, dass man dabei nicht abgehängt wird.

Hier aber soll es anders sein: wir wollen uns an der Beweisidee erfreuen - bewiesen und somit unsere Tücher im Trockenen haben wir das zum Teil alle schon in der Schule.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 7. Mai 2020, 23:06

ralfkannenberg hat geschrieben:... Und auch, dass man den Satz von Pythagoras auswendig kennt, ...

Klar. Dazu selbst historisch viel gelernt und Wildberger ist ein guter Part davon übrigens.


ralfkannenberg hat geschrieben:OK, hier weiss ich nun Bescheid. Wie sieht das mit der Exponentialfunktion aus: wie ist diese definiert ? Hier gibt es übrigens mehrere Antworten, die richtig sind. Auch hier will ich nur Deinen Stand wissen.

Dazu fällt mir f(x)=x² ein und die Parabel. Die jetzt zu definieren, tja, öh... ich würde rückfragen, was man an der Notation nicht verstanden hat... (nicht gegoogelt halt)

ralfkannenberg hat geschrieben: Meinetwegen können wir auch banal mit der Eulerschen Zahl anfangen. WItzig noch, dass man je nach Definiiton ihre Existenz recht einfach ausgerechnet mit der geometrischen Reihe, die das ursprüngliche Thema dieses Threads ist, nachweisen kann.

Passt doch gut.

Gruß,
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Zuletzt geändert von Dgoe am Donnerstag 7. Mai 2020, 23:39, insgesamt 1-mal geändert.
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 7. Mai 2020, 23:31

Hallo Ralf,

hab hier eben etwas umeditiert... so passt es, hatte mich verlesen zuerst, egal, just for the record.

Was Epsilon betrifft:

Im Grunde haben wir uns dabei kennengelernt, kurz nachdem ich meinen ersten Post - gleich als eigenes Thema - bei Astronews schrieb 2013. Dabei ging es um meine Fragen bezüglich der sich verlangsamenden Zeit in der Nähe des EH (Ereignishorizont, Schwarzes Loch) und da kamst Du gleich mit Epsilon um die Ecke und ich wusste überhaupt nichts damit anzufangen...

Gruß,
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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon ralfkannenberg » Freitag 8. Mai 2020, 00:28

Dgoe hat geschrieben:
ralfkannenberg hat geschrieben:OK, hier weiss ich nun Bescheid. Wie sieht das mit der Exponentialfunktion aus: wie ist diese definiert ? Hier gibt es übrigens mehrere Antworten, die richtig sind. Auch hier will ich nur Deinen Stand wissen.

Dazu fällt mir f(x)=x² ein und die Parabel. Die jetzt zu definieren, tja, öh... ich würde rückfragen, was man an der Notation nicht verstanden hat... (nicht gegoogelt halt)

Hallo Dgoe,

dazu fällt mir eine Anekdote aus meiner Schulzeit ein, eine Physik-Klausur in der 12.Klasse. Ich habe mal geschaut, was mein Nachbar so macht, und der kam einfach nicht auf die Lösung. Damals hatte ich immer ein Geo-Dreieck und eine Normal-Parabel bei mir und ich schwenkte also die Normal-Parabel vor der Nase meines Nachbarn.

Der Lehrer kam grinsend vorbei und meinte, ich solle aber nicht übertreiben und ging grinsend wieder zum Pult zurück. Leider hat mein Nachbar den Wink mit der Normalparabel, also f(x)=x², nicht verstanden und hat eine Exponentialfunktion angesetzt .......

Also: eine Exponentialfunktion ist keine quadratische Gleichung und in der theoretischen Computer-Mathematik unterscheidet man zwischen polynomialem Wachstum, also ~xn, sowie exponentiellem Wachstum, also ~ex, welches für genügend grosse x stets grösser als polynomiales Wachstum ist. Wenn es also gelingt, eine Aufgabe so zu modifizieren, dass man sie auf polynomiales Wachstum hinunterdrücken kann, so hat man meistens gewonnen. - Ich habe einmal ein Seminar über das Thema besucht, wie man konvexe Mengen in polynomialer Zeit beschreiben kann, allerdings wieder alles vergessen.


Ok, auch kein Problem, ich werde das bei der Eulerschen Zahl ansetzen. Damit haben wir nun eigentlich alle Zutaten, die wir benötigen, beisammen.


Den trigonometrischen Thread werde ich mit Rechtecken ansetzen, die dann entlang ihrer Diagonale in zwei rechtwinklige Dreiecke aufgeteilt werden - so können wir dann auch einfach die Winkelsumme von Dreiecken = 180° beweisen, und den Thread mit der Euler'schen Formel werde ich mit der Euler'schen Zahl und drei verschiedenen Definitionen angeben, wobei wir aber nur eine davon verwenden - praktischerweise ist das gerade diejenige, die auch in der Mathematik verwendet wird, und es den Spezialisten überlassen, zu zeigen, dass die drei Definitionen zueinander äquivalent sind. Mit Hilfe der geometrischen Reihe für 1/2 - das ist ja gerade diejenige, bei der man immer die Hälfte der verbleibenen Strecke zu einer Wand hingeht - werden wir dann ganz einfach sehen, dass die so definierte Euler'sche Zahl existiert, d.h. wohldefiniert ist.

Und im trigonmetrischen Thread werden wir dann verschiedene Quotienten der unterschiedlichen Seiten eines rechtwinkligen Dreiecks näher anschauen; insgesamt gibt es sechs von denen und zwei davon werden wir uns dann näher anschauen, nämlich die, bei der die längste Dreieckseite im Nenner steht, das hat auch den Vorteil, dass der Nenner niemals zu Null wird.

Soviel einmal als Ausblick.


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Re: die geometrische Reihe für Dummies

Beitragvon Dgoe » Freitag 8. Mai 2020, 11:12

Hallo Ralf,

auch die kürzeste Seite eines Dreiecks kann nicht Null werden, solange es ein Dreieck bleiben soll und nicht alle möglichen Vielecke auf einer Linie zusammenfallen dürfen. {Dabei ja schon wieder, wie klein dürften die Seiten oder Winkel höchstens werden? 1/Zeta?! }

Die Vorausschau klingt spannend, ich hätte da nur 42 Fragen zu (scherz).

Zu weiter oben dann: nicht quadratisch? Dann dreieckig?
Schande lass nach.

Gruß,
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