die geometrische Reihe für Dummies

[ralfkannenberg]

tjaaa, Cantor schien jedenfalls etwas unglücklich über diese Aussage von Gauss gewesen zu sein und hat sich letztendlich darüber hinweg gesetzt bzw. seine Lehre als moderner entgegen aller Kritik durchgesetzt.

Hallo Dgoe,

auch nun nur ganz kurz: Cantor ist meines Wissens nicht jemand, der sich mit dem Tangentenproblem auseinandergesetzt hätte, dazu war er zu spät geboren, d.h. bei ihm geht es um etwas anderes, nämlich um Kardinal - und Ordnungszahlen.

Am Ende des Briefes steht übrigens noch:

Hierin ist aber nichts Widersprechendes, wenn der endliche Mensch sich nicht vermisst etwas Unendliches als etwas Gegebenes und von ihm mit seiner gewohnten Anschauung zu Umspannendes betrachten zu wollen.

(Abschrift von mir)

Das gibt die ganze Problematik der Lösung des Tangentenproblems bzw. der Einführung der Differential- und Integralrechnung aus der damaligen Sicht wieder.

Hierbei geht es aber salopp gesprochen um das "unendlich Kleine" und nicht wie bei Cantor um das "unendlich Grosse", auch wenn man bei der Betrachtung des "unendlich Kleinen" natürlich eine Indexmenge wie die natürlichen Zahlen einerseits (ganz konkret für konvergente Nullfolgen) und stetige Funktionen auf dem Kontinuum der reellen Zahlen andererseits benötigt.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ich habe mir die harmonische Reihe auf Wikipedia angesehen und es ist schon verblüffend, dass sie trotz zu Null konvergierender harmonischer Folge (Nullfolge) divergiert. Kurios.

Das höre ich zwar nicht zum ersten Mal, hatte es aber längst vergessen. Hier nur am Rande erwähnt, faszinierend...

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

ich habe mir die harmonische Reihe auf Wikipedia angesehen und es ist schon verblüffend, dass sie trotz zu Null konvergierender harmonischer Folge (Nullfolge) divergiert. Kurios.

Hallo Dgoe,

ja, das kam damals auch für mich überraschend.

Das höre ich zwar nicht zum ersten Mal, hatte es aber längst vergessen.

Für mich war das so überraschend, dass nicht nur das Resultat, sondern auch der Beweis in meinem "Repertoire" geblieben sind:

1/2 >= 1/2
1/3 + 1/4 >= 1/4 + 1/4 = 1/2
1/5 + 1/6 + 1/7 + 1/8 >= 1/8 + 1/8 + 1/8 + 1/8 = 1/2
1/9 + 1/10 + ... + 1/16 >= 1/16 + 1/16 + ... + 1/16 = 1/2
u.s.w.

Tja, und diesen beliebig vielen 1/2 aufsummiert ist, um Gauss zu zitieren, ohne Einschränkung zu wachsen gestattet. Heutzutage sagt man, dass sie über alle Grenzen anwachsen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ja, ich hatte das aus einem der vielen Videocasts/Tutorials/Vorlesungen, die ich über Mathe auf YouTube immer wieder mal schaue. Bin da ein gutes Beispiel, wie schnell man da manches wieder vergisst, geschweige denn sich noch an Herleitungen erinnert.
Andererseits würde ich keine gesehene "Sendung" missen wollen, waren immer interessant, wenn man sich interessiert und das Schulwissen verblasst ist oder Mängel hatte...

Immerhin kam es mir bekannt vor und ich hätte eine entsprechende Frage womöglich counter-intuitiv und damit richtig beantwortet, was die Verwunderung darüber nicht schmälert.

So ist ja beispielweise eine Ameise, die auf einem 1 Meter umfassenden Kreis mit 1 cm/s entlang wandert, recht schnell einmal herumgekommen (in 100 Sekunden). Vergrößert man den Kreisumfang jedoch gleichmäßig (wie ein Gummiband) jede Sekunde um noch einen zusätzlichen Meter, so erscheint das Unterfangen der Ameise ganz herumzukommen recht aussichtslos.

Tatsächlich würde sie daran scheitern, da sie vorher verstirbt und wenn sie lang genug leben könnte, dann spätestens wenn die Erde von der Sonne verschluckt würde und womöglich alles verbliebene später von einem schwarzen Loch noch und das Universum abdankt vielleicht, aber angenommen selbst die Umgebung bliebe stabil, klingt dennoch unmachbar...
Ist es aber. (Ich weiß, dass Du das weißt)

Sie würde herumkommen in endlicher Zeit, nach ziiiemlich langer Zeit, es aber schaffen. Ein Grund ist, dass sich das Band auch hinter ihr vergrößert.
Das alles schon unvorstellbar, obwohl nur eine Konsequenz aus dem vorher weiter oben verblüffenderweise Festgestelltem (es divergiert).

Tja, den Kontext zu unseren Themen noch nicht direkt ansprechend, ein wirklich bemerkenswertes Phänomen.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Hallo Ralf,

selbst Hilbert meinte:

„das Unendliche findet sich nirgends realisiert; es ist weder in der Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig“

Obwohl genauso:

"Das Unendliche kann nur durch das Endliche gesichert werden“

Mündend in:

„Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaen, soll uns niemand vertreiben können.“

Dann noch sein Hotel-Artefakt lieferte...

... Interessant dass Hilbert da so inkonsequent wurde, anekdotisch, eigentlich ohne Not, infiziert von einem "Virus" oder "Krebsgeschwür" der Mathematik, will ich ungestraft behaupten dürfen, um Position zu beziehen.

Ich beziehe die vorläufige Position, jegliche Form der Mengen-Theorie also die sogenannte Mengenlehre in allen Versionen kategorisch abzulehnen. Obwohl sie in endlichen Bereichen sehr anschaulich und gut ist.

Und stimme Cantors Lehrer Kronecker zu, wie auch allen historischen Infinitisten, Intuitivisten und ähnlichen, auch wenn nicht in allen Punkten, aber zumindest, was die Unendlichkeit betrifft.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Was auch nur auf Textbücher Einfluss hat, auf sonst gar nichts. Null. Alles bleibt wie gehabt, wie eh und je.

Free your mind.

Das käme auch Zeta entgegen ein wenig, obwohl kaum eigentlich, oder doch? Etwas schon irgendwie...

[ralfkannenberg]

... Interessant dass Hilbert da so inkonsequent wurde, anekdotisch, eigentlich ohne Not

Hallo Dgoe,

zumindest mir liegt es fern, David Hilbert, einen der grössten Mathematiker aller Zeiten und den wohl grössten Mathematiker der Neuzeit, zu kritisieren.

Vermutlich benötigt man auch hier die Originalzitate im Zusammenhang, um Hilberts Position in dieser Frage erkennen zu können.

Wenn man aber bedenkt, dass Hilbert seine berühmte Liste der Probleme mit der Kontinuumshypothese eröffnet, dann dürfte klar sein, dass er unendlich grosse Mengen zumindest in der Mathematik - möglicherweise im Gegensatz zur "physikalischen Realität" - nicht ablehnt. Und die Kardianlzahlen, die sich aus Cantor's Paradies ergeben, auch nicht. Und auch das oft von mir zitierte 7.Problem macht nur in unendlich grossen Mengen Sinn.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

hier die Quellen:

"Das Unendliche kann nur durch das Endliche gesichert werden"

Hilbert: "Über das Unendliche", S. 190

"das Unendliche findet sich nirgends realisiert; es ist weder in der Natur vorhanden, noch als Grundlage in unserem verstandesmäßigen Denken zulässig"

Hilbert: "Über das Unendliche", S. 190

"Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaen, soll uns niemand vertreiben können."

Hilbert: "Über das Unendliche", S. 170


Apropos, dies noch:

"Und das Fazit ist jedenfalls, daß ein homogenes Kontinuum, welches die fortgesetzte Teilbarkeit zuließe, und somit das Unendliche im Kleinen realisieren würde, in der Wirklichkeit nirgends angetroffen wird. Die unendliche Teilbarkeit eines Kontinuums ist nur eine in Gedanken vorhandene Operation, nur eine Idee, die durch unsere Beobachtungen der Natur und die Erfahrungen der Physik und Chemie widerlegt wird."

Hilbert: "Über das Unendliche", S. 164


https://de.scribd.com/document/33972962 ... ilbert-pdf


Siehe auch:
Hilbert und Bernays: "Grundlagen der Mathematik I", Seite 15ff
- Problematik des Unendlichen -
https://books.google.de/books?id=z5KjBg ... e&q&f=true


Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Du hast recht, ich möchte meine Formulierung meiner Kritik in dieser Form oben zurückziehen. Hilbert gebührt mehr Respekt.

Mir fällt es nur schwer mich ohne die Begriffe "widersprüchlich" oder "inkonsequent" auszudrücken.

Jedenfalls wird auch am letzten Link klar, wie schwierig ihm die Vereinbarung fiel. Letztendlich hat er das Unendliche ausschließlich innerhalb der Mathematik zugelassen und dem mag ich nicht folgen einfach.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Hallo Ralf,

hier noch einige andere interessante Auszüge aus

Rudolf Taschner:
Das Unendliche
Mathematiker ringen um einen Begriff

welches ich heute zu großen Teilen gelesen habe:

Cantor hat – so die Meinung Kroneckers – mit den unendlichen Dezimalzahlen zwar die Probleme des Unendlichen auf diese Objekte übergewälzt, jedoch sind die unendlichen Dezimalzahlen selbst keineswegs mit jener Unbefangenheit als existent und manipulierbar zu betrachten, wie dies uns Cantor glauben macht.
[...]
Cantors unendliche Dezimalzahlen stellten für den Widerspruchs- und Vollständigkeitsbeweis des geometrischen Axiomensystems Hilberts das wesentliche Hilfsmittel dar. Es ist darum kein Wunder, dass sich Hilbert im Gegensatz zu seinem skeptischen Kontrahenten Poincaré mit vollem Einsatz für die von Cantor propagierte Mathematik engagierte.
[...]
Hätte Kronecker zu dieser Zeit noch gelebt, er hätte diese Frage Hilberts als baren Unsinn verworfen. Was sollen derart wilde Spekulationen über »unendliche Kardinalzahlen«, wo doch niemand je imstande ist, sich eine unendliche Menge als vorgegebenes Objekt vorzustellen?
[...]
Hermann Weyl, der begabteste und bedeutendste Schüler von Hilbert selbst, hegte Zweifel an Cantors unbekümmerter Behandlung des Unendlichen. Er meinte, dass die Rechtfertigungsversuche von Cantor und seinen Gefolgsleuten einem Wunschdenken entspringen. Sie tragen »nicht den Charakter einer aus völlig durchleuchteter Evidenz geborenen, klar auf sich selbst ruhenden Überzeugung, sondern gehören zu jener Art von halb bis drei viertel ehrlichen Selbsttäuschungsversuchen, denen man im politischen und philosophischen Denken so oft begegnet.«

Skeptische Stimmen wie diese waren für Hilbert wie für einen Stier das rote Tuch: »Aus dem Paradies, das Cantor uns geschaffen«, so schrieb er vehement, »soll uns niemand vertreiben können.«

An anderer Stelle greift er seinen Schüler Weyl persönlich an: Was er und andere Skeptiker der Mathematik Cantors antun, »kommt im Prinzip darauf hinaus, dass sie die einstigen Pfade von Kronecker wandeln:
Sie suchen die Mathematik dadurch zu begründen, dass sie alles ihnen unbequem Erscheinende über Bord werfen und eine Verbotsdiktatur à la Kronecker errichten. Dies heißt aber, unsere Wissenschaft zerstückeln und verstümmeln, und wir laufen Gefahr, einen großen Teil unserer wertvollsten Schätze zu verlieren, wenn wir solchen Reformatoren folgen.«

Natürlich wusste Hilbert, dass Polemik allein nicht genügt, um die Skeptiker zum Schweigen zu bringen. Er entwarf daher ein Programm, welches der Mathematik Cantors ein unerschütterliches Fundament zugrunde legen sollte.

So, wie er die Geometrie durch die Angabe eines widerspruchsfreien und vollständigen Axiomensystems in ihren Grundfesten absichern konnte, glaubte Hilbert auch mit der Mathematik Cantors als Ganzes verfahren zu können
[...]
Nachdem Gödel Hilberts Programm zertrümmert hatte, ließ die mathematische Schaffenskraft Hilberts nach.
[...]
Gödel und Turing vereitelteten Hilberts
Programm und befreiten damit zugleich die Mathematik vom Gefängnis des rein Formalen."

Quelle:
Rudolf Taschner:
Das Unendliche
Mathematiker ringen um einen Begriff

Link mit Leseproben (siehe Kapitel):
https://books.google.de/books/about/Das ... edir_esc=y

Gruß,
Dgoe