Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 21. Mai 2015, 13:50

Gegeben ist die Funktion f(x)=x.

Deren Differenzenquotienten rechnen wir aus:

Df(x1,x2)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=(x2-x1)/(x2-x1)=1

D.h., für die lineare Funktion f(x)=x ist der Differenzenquotient 1.


Danach habe ich noch Verständnisprobleme mit dem Umschreiben und so.
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Karl » Donnerstag 21. Mai 2015, 14:01

Dgoe hat geschrieben:Gegeben ist die Funktion f(x)=x.

Deren Differenzenquotienten rechnen wir aus:

Df(x1,x2)=(f(x2)-f(x1))/(x2-x1)=(x2-x1)/(x2-x1)=1

D.h., für die lineare Funktion f(x)=x ist der Differenzenquotient 1.

Völlig richtig!


Dgoe hat geschrieben:Danach habe ich noch Verständnisprobleme mit dem Umschreiben und so.

Das folgt immer dem gleichen Schema :-)

g(x)=k x=k f(x)

Dg=D(k f)=k Df=k 1=k
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 21. Mai 2015, 14:13

Juhuu,

weil ich das fast so stehen hatte vor allem:


Die Verallgemeinerung zu g(x)=? erfolgt mit der Regel 1 (Homogenität).

Dazu schreiben wir g(x) um:

g(x)=a x=a f(x)

Damit gilt:

Dg=Da f=a Df=a 1=a

Somit gilt allgemein, dass der Differenzenquotient für jede lineare Funktion g(x)=? gleich a ist.


hm.
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Karl » Donnerstag 21. Mai 2015, 14:34

Dgoe hat geschrieben:
Somit gilt allgemein, dass der Differenzenquotient für jede lineare Funktion g(x)=? gleich a ist.


hm.


Vollständig ausformuliert ist das richtig und genau der Punkt, wo wir hin wollen:

Für jede Gerade g(x)=a x + b (a und b beliebige reelle Zahlen) gilt:

Dg=a

ist also die konstante Steigung a und unabhängig von der Wahl der x1 und x2

Gut gemacht :-)
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 21. Mai 2015, 16:06

Karl hat geschrieben:Gut gemacht :-)

Danke! *freu* :)
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Spacerat » Donnerstag 21. Mai 2015, 16:19

Karl hat geschrieben:Für jede Gerade g(x)=a x + b (a und b beliebige reelle Zahlen) gilt:

Dg=a
Moment...
Was ist mit dem b?
x_1=4
x_2=5

a=3
b=2

D_g=(g(x_2)-g(x_1))/x_2-x_1=(17-14)/(5-4)=3/1=3
D_g=(g(x_1)-g(x_2))/x_1-x_2=(14-17)/(4-5)=-3/-1=3

ok... passt.
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Donnerstag 21. Mai 2015, 18:22

b verschiebt die Gerade auf der y-Achse, ausser bei b=0, dann verschiebt b sie Null.

Gruß,
Dgoe
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Spacerat » Donnerstag 21. Mai 2015, 23:40

Dgoe hat geschrieben:b verschiebt die Gerade auf der y-Achse, ausser bei b=0, dann verschiebt b sie Null.

Gruß,
Dgoe
Ja, ist ja gut. Ich wollte nur zeigen, dass ich noch dabei bin. ;)
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Re: Differenzenquotienten: einfache Anwendungen

Beitragvon Dgoe » Samstag 23. Mai 2015, 12:42

Hi Spacerat,

dafür bin ich über Pfingsten weg. Deine Beispielrechnung fand ich übrigens sehr willkommen, nie verkehrt.

@alle:
Schöne Pfingst-Feiertage!

Gruß,
Dgoe
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