ALLTOPIC

Karl hat geschrieben:Sehr gut!

Weniger... wenn man mit der Nase drauf gestoßen werden muss. Ist aber 'ne andere Geschichte. Kann man nur drüber lachen und Biere ausgeben.

Nun sehen wir uns einen speziellen Fall an.

Übung:
Wir habe die Funktion f(x)=1. Wie lautet der Differenzenquotient D_f(x₁,x₂)?

Erkläre und interpretiere das Ergebnis.

Wie lässt sich das Ergebnis D_f für eine Funktion g(x)=a für ein beliebiges reelles a erweitern? (Hinweis: verwende Regel 1, der Differenzenquotient ist homogen!)

Karl hat geschrieben:Nun sehen wir uns einen speziellen Fall an.

Übung:
Wir habe die Funktion f(x)=1. Wie lautet der Differenzenquotient D_f(x₁,x₂)?

Erkläre und interpretiere das Ergebnis.

Wie lässt sich das Ergebnis D_f für eine Funktion g(x)=a für ein beliebiges reelles a erweitern? (Hinweis: verwende Regel 1, der Differenzenquotient ist homogen!)

Die Frage hatten wir schon.

viewtopic.php?f=26&t=1149&start=0#p30598

f(x)=1 ist eine Konstantfunktion (f(x)=n => für jedes x wird n zurückgegeben) und der Differenzquotient ist immer 0. Bleibt evtl. noch zu erwähnen, das K*0 dann stets auch 0 ist.

BTW.: @Ralf:
Die Null-Funktion (f(x)=0) ist doch per Definition auch eine Konstantfunktion? Ich persönlich kenne den Begriff Null-Funktion eigentlich nur im Bereich der Programmierung. Dort ist es eine Funktion ohne Argumente mit einem Rückgabewert 0 und ist eigentlich nur dazu da, um Bibliotheken zu laden und zu initialisieren (vergleichbar mit "static {}" in Java).

Die Nullfunktion ist ein Spezialfall der konstanten Funktion.

Karl hat geschrieben:
Wie lässt sich das Ergebnis D_f für eine Funktion g(x)=a für ein beliebiges reelles a erweitern?

Hallo Karl,

wieso steht da g(x) und nicht f(x)? Weil eh egal oder vielleicht doch nicht?

Bin später wieder da. Ich gehe das nochmal von Anfang an durch nachher.

Gruß,
Dgoe

Spacerat hat geschrieben:

Karl hat geschrieben:Sehr gut!

Weniger... wenn man mit der Nase drauf gestoßen werden muss. Ist aber 'ne andere Geschichte. Kann man nur drüber lachen und Biere ausgeben.

Das ist schon okay. Sonst artet das in einem Saufgelage aus...

@Dgoe, @Spacerat,

das Ziel ist zu zeigen, wie man vom Spezialfall zum allgemeine Fall kommt. Und das unter Benutzung von zuvor bewiesenen Regeln (Sätze).

Konkret noch mal die Rechnung:

Gegeben ist die Funktion f(x)=1.

Deren Differenzenquotienten rechnen wir aus:

D_f(x₁,x₂)=(f(x₂)-f(x₁))/(x₂-x₁)=(1-1)/(x₂-x₁)=0

D.h., für die konstante Funktion f(x)=1 ist der Differenzenquotient 0 und unabhängig von x₁ und x₂.

Die Verallgemeinerung zu g(x)=a erfolgt mit der Regel 1 (Homogenität).

Dazu schreiben wir g(x) um:

g(x)=a=a 1=a f(x)

Damit gilt:

D_g=D_{a f}=a D_f=a 0=0

Somit gilt allgemein, dass der Differenzenquotient für jede konstante Funktion g(x)=a gleich 0 ist. im Speziellen auch für die Nullfunktion g(x)=0. Das wird im nächsten Beispiel noch einmal wichtig.

Danke Karl,

das sind zwar vielleicht keine schweren Rechenoperationen, aber wie man das notiert oder aufzeigt, ist auch schon lehrreich. Super übersichtlich jetzt.

Gruß,
Dgoe

Kommen wir zur nächsten Übung:

Gegeben sei die Funktion f(x)=x

Berechne den Differenzenquotienten.

Erkläre und interpretiere das Ergebnis

Wie lässt sich das Ergebnis für g(x)=k x (k sei eine beliebige reelle Zahl) verallgemeinern? Verwende dazu wieder Regel 1 (Homogenität).

Momentchen noch.