Zeitkonstanz und Konstanz der Lichtgeschw. - geht das ?

[ralfkannenberg]

um zwangsläufig um abzählbare Unendlichkeit handelt. Überabzählbar Unendlich gibt es in der IEEE 754 nicht, weil sowohl Mantisse als auch Exponent durch die Anzahl der Bits begrenzt ist.

Hallo Hartmut,

nein, das ist auch nicht abzählbar unendlich, das ist ganz banal "endlich".

weil sowohl Mantisse als auch Exponent durch die Anzahl der Bits begrenzt ist.

Und genau das ist die Begründung dazu.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Spacerat]

Hallo Ralf

Sicher reden wir grade aneinander vorbei. Ansonsten müsste ich fragen, wie du überabzählbar Unendlich definieren würdest.

Es sind Definitionen für abzählbar Unendlich - aber keinesfalls für überabzählbar Unendlich. Die Definitionen für NaN und abzählbar Unendlich verringern die endliche Menge aller möglichen Bitkombinationen um 3 bis 4 Werte - kommt darauf an, ob man in einer Programmiersprache sNaN und nsNaN unterscheidet. In Java wird auf diese Unterscheidung verzichtet.

[ralfkannenberg]

Hallo Ralf

Sicher reden wir grade aneinander vorbei. Ansonsten müsste ich fragen, wie du überabzählbar Unendlich definieren würdest.

Nein: ich bin Mathematiker und ich verwende die korrekte Definition !!!

[Spacerat]

Ok, ok, ok...

Und wie würdest du programmtechnisch überabzählbar Unendlich definieren?

Evtl. entgeht dir als Mathematiker ja die Tatsache, dass abzählbar Unendlich das Ende einer Kette bedeuten und als solche selbst Teil einer Menge sind und genau in dieser Menge definiert werden können. Anders ist es bei überabzählbar - die Bitbreite begrenzt den Raum dieser Menge. Überabzählbar ist deswegen in der IEEE 754 nicht definierbar oder besser gesagt, es erübrigt sich.

[ralfkannenberg]

Und wie würdest du programmtechnisch überabzählbar Unendlich definieren?

Evtl. entgeht dir als Mathematiker ja die Tatsache, dass abzählbar Unendlich das Ende einer Kette bedeuten und als solche selbst Teil einer Menge sind und genau in dieser Menge definiert werden können. Anders ist es bei überabzählbar - die Bitbreite begrenzt den Raum dieser Menge. Überabzählbar ist deswegen in der IEEE 754 nicht definierbar oder besser gesagt, es erübrigt sich.

Hallo Hartmut,

das ist theoretische Informatik und ich habe das alles wieder vergessen

Die Stichworte weiss ich noch: mit der Programmiersprache "FOR" kann man abzählbar unendlich viele Funktionen programmieren und mit der Programmiersprache "WHILE" - das ist ja ein Konstrukt, bei dem man vorher nicht weiss, wie oft eine Schleife durchlaufen wird - sogar überabzählbar viele Funktionen. In diesem Zusammenhang erinnere ich mich auch an die "HALT"-Funktion und den "busy beaver".

Man müsste sich das bei Interesse näher anschauen, die Konzepte dahinter waren nicht wirklich schwer. "WHILE" kann man übrigens auch mit "GOTO" programmieren, das ist zwar wegen der sehr schlechten Wartbarkeit verpönt und heutzutage sehr schlechter Programmierstil, aber prinzipiell funktioniert das. Das ist deswegen wichtig, weil es damals in FORTRAN IV (und wenn ich mich recht entsinne auch in Fortran 77) - im Gegensatz zu PASCAL oder MODULA2 - kein "WHILE" gab, wohl aber ein "GOTO".

Mangels Interesse werde ich mir das aber nicht näher anschauen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Spacerat]

...Mangels Interesse werde ich mir das aber nicht näher anschauen.

Darum geht es ja auch gar nicht. Es geht darum dass +Infty und -Infty Teil einer begrenzten Menge sind und in dieser Menge Werte darstellen, die über alle in der selben Menge möglichen Werte hinaus gehen bzw. im negativen Bereich darunter liegen. +Infty und -Infty definieren damit ausdrücklich nur abzählbar Unendlich und zwar unabhängig von einer Programmiersprache. Evtl. ist dies ja noch auf Wikipedia unter IEEE 754 erwähnenswert, dann kommt man wenigstens nicht in die Verlegenheit, +Infty oder -Infty zu verwenden, wenn man überabzählbar unendlich meint. Evtl. erübrigt sich das aber auch deswegen, weil diese Definition (Norm) ja ohnehin nur für Binäre Schalt- und Zählwerke (Kurz: Rechner) gilt und keinesfalls für alle Mathematiker. Evtl. weißt du auch deswegen nicht, worauf ich hinaus will, oder inzwischen doch?

[ralfkannenberg]

Es geht darum dass +Infty und -Infty Teil einer begrenzten Menge sind und in dieser Menge Werte darstellen, die über alle in der selben Menge möglichen Werte hinaus gehen bzw. im negativen Bereich darunter liegen. +Infty und -Infty definieren damit ausdrücklich nur abzählbar Unendlich

Hallo Hartmut,

wie Du gesehen hast benötigt diese IEEE 754 wegen der Unterscheidung von +oo und -oo auch zwei verschiedene Nullen, nämlich eine +0 und eine -0. Man kann sowas ja tun und dann in einem späteren Vergleich festsetzen, dass die beiden Nullen eben gleich gross sind, aber es ist mathematisch unbefriedigend, zwei Zahlen, die sich um einen Betrag 0 unterscheiden, nicht gleichzusetzen. Aber ja - das ist eben der "Preis", wenn man sowas macht, dann benötigt man eben 1/oo = +0 und 1/-oo = -0.

Allerdings definiert dieses +Infty nicht "abzählbar unendlich", sondern einfach nur oo. Aber ok, man kann das natürlich wenn man keine Ahnung von den Zusammenhängen hat, zu "abzählbar unendlich" setzen.

dann kommt man wenigstens nicht in die Verlegenheit, +Infty oder -Infty zu verwenden, wenn man überabzählbar unendlich meint.

Das gäbe ein schreckliches Problem, wenn man das täte, denn dann bräuchte man weitere Typen von Nullen. Dadurch, dass "überabzählbar unendlich" unvorstellbar viel grösser als nur "abzählbar unendlich" ist, würde man für ihren Kehrwert, also 1/"überabzählbar unendlich", eine Null benötigen, deren Absolut-Betrag unvorstellbar viel kleiner als nur 0 wäre. Und das geht halt nicht, d.h. spätestens an dieser Stelle setzt es einen Widerspruch ab, den der Laie vermutlich nicht einmal als solches erkennen kann.

Weisst Du, "überabzählbar unendlich" ist nicht nur "ein bisschen grösser" als abzählbar unendlich, selbst wenn Du unendich mal unendlich bildest hast Du immer noch nur abzählbar unendlich. Nein: überabzählbar unendlich ist riesig riesig riesig mal mehr als "nur" unendlich. Ich kenne keinen Superlativ, der ausdrücken könnte, wie schrecklich viel mal mehr überabzählbar unendlich ist als unendlich.

Das geht so weit, dass man sich in weiten Teilen der höheren Mathematik - also was für Leute, die dann einen Doktortitel erwerben wollen - damit beschäftigt, wie man es schaffen kann, überabzählbar unendliche Mengen so zu "vereinfachen", dass man nur noch einen abzählbar unendlichen Bereich studieren muss und der Rest-Bereich, der nota bene nach wie vor überabzählbar unendlich gross ist, "nicht relevant" ist. Das ist nicht ganz trivial und selbst in einer Schlussdiplom-Prüfung der Mathematik allenfalls am Rande ein Thema.

Und dabei nicht vergessen: diese Vereinfachung hat dann zur Folge, dass man es nach wie vor mit einer unendlich grossen Menge zu tun hat, also keinesfalls mit einer endlichen Menge ! Auch wenn man die nun durchnummerieren kann und entsprechend "fast" wie eine endliche Menge behandeln kann, falls ...


... ja falls gewisse Konvergenzbedingungen erfüllt sind.

Also zusammenfassend für den Laien: Hände weg von überabzählbaren Mengen !

Und eben: diese schrecklich kleinen Nullen, die aber nicht kleiner sein können als eine normale Null, erspart man sich dann auch. Deswegen macht es keinen Sinn, zwischen verschiedenen Mächtigkeiten bei den Unendlichkeiten zu unterscheiden, wenn man mit ihnen rechnen will. Das einzige, was man wissen muss, ist, dass wenn man eine abzählbar unendliche Menge echt positiver Zahlen hat, dass deren Summe dennoch endlich sein kann; beispielsweise 1/3 = 0.33333333... - das sind abzählbar viele Dreien nach dem Komma, doch diese Zahl ist endlich, nämlich ein Drittel. Oder wenn Du es lieber geometrisch hast, so kannst Du vor einer Mauer stehen und den halben Abstand zur Mauer hingehen. Und dann wieder den halben Abstand und wieder den halben Abstand. Das kannst Du n-mal tun, doch es gibt keine natürliche Zahl n, bei der Du die Mauer erreichen würdest. Obwohl Du Dich also jedesmal eine Strecke echt länger als 0 zur Mauer hinbewegst erreichst Du sie nie: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + 1/32 + ... ist echt kleiner als 1 und konvergiert erst gegen 1, wenn man alle n durchlaufen hat. Was natürlich nicht geht, weil man in endlicher Zeit nur endlich viele n durchlaufen kann. - Dies ist übrigens die einfachste "geometrische Reihe", einfach damit Du diesen Begriff auch einmal gehört hast.


Aber wenn die Menge der echt positiven Summanden überabzählbar unendlich gross ist, so divergiert sie immer gegen +oo !


Nein wirklich - de Laien empfehle ich, "unendlich" überhaupt nicht zu verwenden - jeder seriöse Mathematiker kann Mathematik so betreiben, dass er das Wort "unendlich" gar nicht benötigt. Es gibt sehr gute Gründe dafür, warum die Mathematik diesen Begriff nicht definiert.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Weisst Du, "überabzählbar unendlich" ist nicht nur "ein bisschen grösser" als abzählbar unendlich, selbst wenn Du unendich mal unendlich bildest hast Du immer noch nur abzählbar unendlich. Nein: überabzählbar unendlich ist riesig riesig riesig mal mehr als "nur" unendlich. Ich kenne keinen Superlativ, der ausdrücken könnte, wie schrecklich viel mal mehr überabzählbar unendlich ist als unendlich.

Hallo Hartmut,

vielleicht kann man sich das besser vorzustellen versuchen, wenn wir uns ein paar Mengen anschauen. So ist die Menge aller Brüche ("rationale Zahlen"), die immerhin "dicht" im Kontinuum (reelle Zahlen) liegt, so dass man zwischen 2 reellen Zahlen, egal wie nahe die beisammen liegen, stets auch eine rationale Zahl (und damit unendlich viele solcher rationaler Zahlen) findet, nur abzählbar unendlich !

Ja selbst wenn Du da noch alle Wurzeln aller Potenzen (Quadrat, Kubik, hoch 4 usw.) und ihre Summen, Produkte und Quotienten hinzunimmst, also die algebraischen Zahlen bildest, so erhälst Du nur eine abzählbare Menge. Und bei den algebraischen Zahlen finden wir beispielsweise auch die imaginäre Einheit i ! Und alle Ausdrücke der Form a + bi mit a und b algebraische Zahlen. Da ist dann also ziemlich viel dabei, so ziemlich jede Zahl die Du kennst gehört zu den algebraischen Zahlen. Und dennoch ist die Menge der algebraischen Zahlen nur abzählbar unendlich.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Spacerat]

Hallo Ralf

Soviel Text für so wenig Verständnis? Wenigstens sind wir uns ja schon mal dahingehend einig, dass überabzählbar nicht das selbe wie abzählbar Unendlich ist. Und +0 und -0 sind in der IEEE 754 auch tatsächlich zwei verschiedene Werte, die sich nur im MSB (dem N-Flag) unterscheiden.

Mal ein paar Fakten:
1. Überabzählbar Unendlich signalisiert eine unendliche Menge. Überabzählbar Unendlich existiert nur ein einziges Mal in einer unendlichen Menge und nur in einer unendlichen Menge.
2. Abzählbar Unendlich ist der höchste bzw. im negativen Bereich niedrigste Wert einer Reihe und deswegen als solcher Wert in einer unendlichen Menge nicht definiert bzw. definierbar.
3. Nach IEEE 754 ist die Menge aller möglichen Werte durch die Anzahl der Bits begrenzt, IEEE 754 behandelt also nur eine endliche Menge an möglichen Werten. In der IEEE 754 existiert also keine überabzählbar Unendliche Menge und die Definition von überabzählbar Unendlich ist von daher auch nicht sinnvoll.
4. Anders sieht es die IEEE 754 für abzählbar Unendlich vor - dazu wird der höchst mögliche Wert als +Infty definiert und der niedrigst mögliche als -Infty (richtiger, der höchste Exponent mit Mantisse 0 und der höchste Exponent mit Mantisse -0 - Für die Mantisse +-0 sind halt nicht so viele Exponenten sinnvoll, da könnte man glatt noch mehr Konstanten definieren, wenn es denn nötig wäre).
5. In der IEEE 754 können NaN, +Infty und -Infty als Ergebnis auftauchen und damit kann auch (weiter) gerechnet werden (streng nach Regeln - z.B. ist +-Infty/+-Infty stets NaN und NaN ist Not a Number also nicht definiert). Im Gegenatz zu überabzählbar Unendlich - da bekommt man niemals ein Ergebnis.

Ich weiß jetzt nicht, wer von uns hier den Ahnungslosen mimt, aber die IEEE 754 gibt es erstens nicht umsonst und zweitens habe ich mir das alles so nicht selber ausgedacht. Kannst du ja mal mit Mathematiker-Kollegen darüber philosophieren.

Grüße

[ralfkannenberg]

Soviel Text für so wenig Verständnis? Wenigstens sind wir uns ja schon mal dahingehend einig, dass überabzählbar nicht das selbe wie abzählbar Unendlich ist.

Hallo Hartmut,

Du hast nichts, aber auch wirklich nichts verstanden ! Es folgt doch schon aus der Definition, dass überabzählbar nicht dasselbe wie abzählbar Unendlich sein kann. Du bist wirklich gut beraten, den "soviel Text" mal in Ruhe anzuschauen und wenigstens zu verstehen versuchen. Und bei Unklarheiten Fragen zu stellen.

Mal ein paar Fakten:
1. Überabzählbar Unendlich signalisiert eine unendliche Menge. Überabzählbar Unendlich existiert nur ein einziges Mal in einer unendlichen Menge und nur in einer unendlichen Menge.
2. Abzählbar Unendlich ist der höchste bzw. im negativen Bereich niedrigste Wert einer Reihe und deswegen als solcher Wert in einer unendlichen Menge nicht definiert bzw. definierbar.

Ich weiss wirklich nicht, wo Du diesen Schwachsinn her hast.

3. Nach IEEE 754 ist die Menge aller möglichen Werte durch die Anzahl der Bits begrenzt, IEEE 754 behandelt also nur eine endliche Menge an möglichen Werten. In der IEEE 754 existiert also keine überabzählbar Unendliche Menge und die Definition von überabzählbar Unendlich ist von daher auch nicht sinnvoll.

Wie Du selber schreibst kannst Du nur endlich viele verschiedene Zahlen auf dem Computer definieren. Das hat zur Folge, dass es eine kleinste natürliche Zahl N gibt, die man nicht mit dem Computer darstellen kann.

Das hat dann zur Folge, dass die IEEE 754, auf die Du Dich beziehst, eine endliche Zahl nicht darstellen kann, wohl aber eine unendliche. Obgleich die Zahl N echt kleiner +Infty ist, ist sie nicht darstellbar. Das ist aber an sich nicht weiter schlimm, denn Buchstaben sind ja auch darstellbar, obwohl ein Buchstabe nicht grösser als 1 oder kleiner als 1 ist.

4. Anders sieht es die IEEE 754 für abzählbar Unendlich vor - dazu wird der höchst mögliche Wert als +Infty definiert und der niedrigst mögliche als -Infty (richtiger, der höchste Exponent mit Mantisse 0 und der höchste Exponent mit Mantisse -0 - Für die Mantisse +-0 sind halt nicht so viele Exponenten sinnvoll, da könnte man glatt noch mehr Konstanten definieren, wenn es denn nötig wäre).

Bist Du Dir eigentlich sicher, dass die IEEE 754 "abzählbar unendlich" verwendet ? - Ich hätte eher gemeint, dass die "unendlich" verwenden, also ohne das Attribut "abzählbar".

5. In der IEEE 754 können NaN, +Infty und -Infty als Ergebnis auftauchen und damit kann auch (weiter) gerechnet werden (streng nach Regeln - z.B. ist +-Infty/+-Infty stets NaN und NaN ist Not a Number also nicht definiert). Im Gegenatz zu überabzählbar Unendlich - da bekommt man niemals ein Ergebnis.

Wieso nicht: man könnte 1/("überabzählbar unendlich") auch zu 0 definieren. Natürlich macht das keinen Sinn, aber wenn jemand unbedingt den Kehrwert von "überabzählbar unendlich" bilden wollte, so würde 0 herauskommen. Übrigens immer, d.h. da gäbe es keine Ausnahmen dazu.

1/oo konvergiert ja auch stets gegen 0, ganz egal, mit welcher Folge Du gegen unendlich schreitest.

Ich weiß jetzt nicht, wer von uns hier den Ahnungslosen mimt, aber die IEEE 754 gibt es erstens nicht umsonst und zweitens habe ich mir das alles so nicht selber ausgedacht.

Du wendest die IEEE 754 falsch an, das ist alles. Die IEEE machen in der Regel sinnvolle Definitionen, ich habe ja auch beruflich mit denen zu tun.

Kannst du ja mal mit Mathematiker-Kollegen darüber philosophieren.

Diese Art Arroganz kannst Du Dir dorthin stecken, wo Du üblicherweise draufsitzt: im Gegensatz zu Dir weiss ich sehr genau, wovon ich spreche !


Eine Norm liest sich nicht in 5 Minuten, d.h. ich kann jetzt nicht die IEEE 754 einfach mal rasch anschauen. Wie wäre es, wenn Du mir einmal die Stelle heraussuchst, in der in der IEEE 754 die Worte "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich" (im Originaltext !!!) vorkommen; dann können wir versuchen zu verstehen, was denn wirklich gemeint ist.


Ich persönlich vermute, dass man eben Overflow-Situationen vermeiden möchte und deswegen diese "+Infty+, "-Infty", "-0" und "NaN" hinzugefügt hat, um Situationen wie (1/0), (0/0), (0/0²), (-oo + oo), (0^0) usw. usw. behandeln zu können oder wenigstens ohne Programm-Crash im Sinne eines Error-Handlings abfangen zu können.

Aber Du siehst ja selber den Preis: man benötigt eine "-0", es gibt eine endliche natürliche Zahl, die im Gegensatz zu oo nicht darstellbar ist - ja sogar unendlich viele von denen, denn jede natürliche Zahl n > N ist ja auch nicht darstellbar.


Allein daran solltest Du doch schon sehen, dass Du da irgendetwas völlig falsch verstehst. Möglicherweise hast Du irgendetwas über Kardinalzahlen aufgschnappt und wendest das nun völlig falsch an.

"unendlich" kann ein (nota bene divergenter !)"Grenzwert" einer Folge von Zahlen sein, während "abzählbar unendlich" und "überabzählbar unendlich" Mächtigkeiten sind. Mächtigkeiten sind aber keine Zahlen !!!


Freundliche Grüsse, Ralf