trigonometrische Additionstheoreme

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trigonometrische Additionstheoreme

Beitragvon ralfkannenberg » Sonntag 10. Mai 2020, 21:24

Hallo zusammen,

in diesem Thread geht es um einen Beweis, mit dem die meisten von uns bereits zu Schulzeiten gequält wurden. Wir wollen das nun anders handhaben, zumal wir nicht durch irgendwelche Lehrpläne hindurchgejagt zu werden brauchen, d.h. wir wollen uns Zeit lassen und diese Beweis geniessen. Und wenn sich irgendjemand irgendwo gehetzt fühlt, so halten wir inne und machen eine Pause.

Auch dieses Thema benötigt eine Einarbeitung, da ich das Wissen um die trigonometrischen Funktionen bzw. die Winkelfunktionen nicht als bekannt voraussetzen möchte.

Als bekannt setze ich lediglich voraus, dass jeder weiss, was ein Rechteckt ist, also grob formuliert ein "Quadrat" mit verschieden langen Seiten.

Fangen wir doch gleich einmal an:

Man kann in einem Rechteck eine Diagonale ziehen, dadurch wird das Rechteck in zwei gleichaussehende "rechtwinklige Dreiecke" aufgeteilt, und man kann sich vermutlich auch unschwer vorstellen, dass man zu jedem rechtwinkligen Dreieck - das ist ein Dreieck, das einen Winkel mit 90° hat, also einen sogenannten "rechten Winkel" - durch Anlagern eines zweiten genau gleichaussehenden rechtwinkligen Dreiecks ein Rechteck herstellen kann.

Wenn man die Winkel im Rechteck aufsummiert, so ergibt das 90° + 90° + 90° + 90°, also 360°, und wenn man das Rechteck durch eine Diagonale in zwei gleichaussehende rechtwinklige Dreiecke aufteilt, so bekommt jedes von ihnen je 180°, d.h. die Winkelsumme im ebenen rechtwinkligen Dreieck beträgt 180°. Das gilt übrigens für beliebige Dreiecke in der Ebene; das kann man beispielsweise intuitiv auf diesem Bild sehen. Streng genommen kann man das gar nicht beweisen, sondern es ist axiomatisch vorgegeben; man kann aber beweisen, dass wenn das Parallelenaxiom in der Geometrie gilt, dass dann und nur dann auch das Dreieck-Winkelsummen-Axiom gilt, d.h. diese beiden Axiome sind äquivalent.

Wir wollen hier aber keine Axiomatik betreiben und mit Hilfe des Rechtecks lässt sich die Winkelsumme im rechtwinkligen Dreieck sehr einfach auch direkt herleiten.

Kleine Übungsaufgabe: wie gross sind die Winkel im gleichseitigen Dreieck ? Auch das kann man direkt, d.h. ohne Axiome herleiten, indem man das gleichseitge Dreieck in zwei gleichaussehende rechtwinklige Dreiecke aufteilt: vom Mittelpunkt einer Seite zieht man eine "Diagonale" zum gegenüberliegenden Eckpunkt und bildet dann die Bilanz der Winkel: der rechte Winkel hat 90°, der "ungeteilte" Winkel habe den Wert α und der durch die "Diagonale" - eigentlich ist es ei "Lot" - geteilte Winkel hat da er α genau in der Mitte teilt den Wert α/2.

Daraus folgt: 90° + α + α/2 = 180°, weil das halbe Dreieck ja ein rechtwinkliges Dreieck ist, d.h. 3/2*α = 90°, d.h. α=60°. Somit beträgt jeder Winkel im gleichseitigen Dreieck 60° und bei drei solchen Winkeln beträgt die Winkelsumme im gleichseitigen Dreieck ebenfalls 180°.


Das ist jetzt keine schwere Kost, aber es ist viel Kost, und da wir nicht in Zeitnot sind, dürfen wir die nun erst einmal in Ruhe "verdauen".


Freundliche Grüsse, Ralf


Bemerkung: dieser Thread wird parallel geführt, und zwar zu Über die Euler'sche Identität
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