das Zehnersystem

[Dgoe]

Hallo Ralf,

Wenn ich z. B. (Punkt für Tausenderstellen) dies hier habe:

2,538 * -42,19 = -107,07822

Wegen 3 Stellen hinter dem Komma multipliziert mit 1.000 (3 Stellen nach der 1)
2,538 * 1.000 = 2.538 => E(2.438) = 8

Wegen negativ und 2 Stellen hinter dem Komma multipliziert mit -100 (2 Stellen nach der 1)
-42,19 * -100 = 4.219 => E(4.219) = 9

Die 3 + 2 = 5 Stellen entsprechend 100.000 (5 Stellen nach der 1) und die Vorzeichen sind zu merken!
(-100 * 1.000 = -100.000) also durch -100.000 wird am Ende dividiert.


E(2.538 * 4.219) = E(10.707.822) = 2


E(8 * 9) = E(72) = 2


und am Einfachsten:
E( (-2) * (-1) ) = E(2) = 2

nun zurück zur Kommastelle:
2/(-100.000) = -0,00002

siehe zum Vergleich:
-107,07822
-000,00002

passt!


Diese ganzen Nullstellen oben meinte ich und mein Denkfehler ist auch egal, den zu erklären ist schwieriger und unlogischer als alles andere. Ich weiß manchmal selbst nicht mehr, was ich mal irgendwann falsch gedacht hatte.

Gruß,
Dgoe

[Dgoe]

Zum Kopfrechnen mit Bruchzahlen also folgendes Prinzip:

Vorbereitung:
Man Zähle/addiere alle Nachkommastellen zusammen und merke sich die Anzahl, zusätzlich zählt man die Vorzeichen (Regel: ++=+, +-=-, -+=-, --=+, zur Erinnerung) und merke es sich.

Hauptschritt:
Dann schaut man, ob die letzte Stelle jeweils größer als 5 ist, sind beide größer, dann "dreht" man beide Zahlen jeweils um und multipliziert sie, die letzte Stelle ist das Ergebnis (drehen=-10). Sind beide gleich 5 oder kleiner oder unterschiedlich, multipliziert man direkt, das Ergebnis ist wieder die letzte Stelle.

Nachbehandlung:
Das Ergebnis liegt an der Stelle hinter dem Komma, wie die gemerkte Anzahl (Kontrolle: diese Anzahl minus 1, ist die Anzahl an Nullen zwischen Komma und Ergebnis - oder man zählt die Null vor dem Komma mit und fügt am Ende das Ergebnis hinzu). Bleibt nur noch das gemerkte Vorzeichen hinzuzufügen.


Analog dazu kann man im Hauptschritt auch addieren, subtrahieren und dividieren, anstatt zu multiplizieren. (dividieren nicht durch 0). - Müsste ich aber noch prüfen.



Für jeden, der unbedingt auf die Schnelle wissen will, wie die letzte Stelle aussieht, auch bei Bruchzahlen. Als schnelle Gegenkontrolle auch praktisch.

@all: Ich würde aber abwarten, was Ralf antwortet, bevor man das so verwendet.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Für jeden, der unbedingt auf die Schnelle wissen will, wie die letzte Stelle aussieht, auch bei Bruchzahlen. Als schnelle Gegenkontrolle auch praktisch.

Hallo Dgoe,

darauf will ich eigentlich gar nicht hinaus, aber wenn Du wissen willst, wie die letzte Stelle aussieht, so geht das viel einfacher:

2.538 * -42.19 = -107.07822

Du multiplizierst einfach die beiden letzten Ziffern und beachtest noch das Vorzeichen.

Also: .x8 * -.x9 = -.x2 und das kommt ja auch heraus: negativ und Schlussziffer von 72, also 2

Das kommt daher, dass:

letzte Stelle(2,538) = letzte Stelle(2,538 * 1000) = E(2538) = 8
letzte Stelle von (-42,19) = letzte Stelle(-42.19*100) = E(-4219) = -9

Und nun kann man die Regeln von E(x), die wir noch gar nicht bewiesen haben, anwenden.

@all: Ich würde aber abwarten, was Ralf antwortet, bevor man das so verwendet.

Wie gesagt, das hat nichts mit der Fragestellung zu tun, ist aber ein netter Exkurs, wie man auch bei sehr grossen Produkten sehr einfach die Schlussziffer herausfinden kann.

Wenn ich die Einerfunktion E(x) erweitere, dass auch 2 Nachkommastellen erlaubt sind, so bekommen wir natürlich bei der Multiplikation ein Problem, weil das Produkt dann im Allgemeinen 4 Stellen haben wird.

Also wenn ich diese E(x)-Funktion auf Nachkommastellen erweitern würde, dann gleich auf alle, dann wären die zulässigen Ergebnisse von E(x) alle Zahlen grösser gleich 0 und echt kleiner 10. So etwas zu betrachten ist z.B. dann von Interesse, wenn ich beispielswiese ein Zweiersystem oder ein Zehnersystem oder ein Zwölfersystem in ein "pi-System" umwandeln will, denn dabei werden dann auch Nachkommastellen benötigt.

Allerdings habe ich dann wieder unendlich wieder Zahlen, während wir mit dem Weg der Restklassen ja eine Menge nur "endlich vieler natürlicher Zahlen" konstruieren wollten. Diese neue Struktur würden wir dann also wieder verlieren.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

... aber wenn Du wissen willst, wie die letzte Stelle aussieht, so geht das viel einfacher: ...

Warum einfach, wenn es auch kompliziert geht? Natürlich nicht, aber ich hatte vergessen noch darunter zu schreiben, dass man damit auch die Stelle hinter dem Komma erfährt, es ging ja um Bruchzahlen. Dazu kommt man da schon nicht drum herum, zudem habe ich deinen "Trick" benutzt, die Rechnung zu vereinfachen.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

an dieser Stelle noch eine Bemerkung, das hat mir heute nacht keine Ruhe gelassen:

die Menge der ganzen Zahlen ist bezüglich der Multiplikation abgeschlossen, d.h. das Produkt zweier ganzer Zahlen ist wieder eine ganze Zahl.

Auch die Menge der geraden ganzen Zahlen ist bezüglich der Multiplikation abgeschlossen, d.h. das Produkt zweier gerader ganzer Zahlen ist wieder eine gerade ganze Zahl.

Auch die Menge der ganzzahligen Vielfachen von z.B. 10 ist bezüglich der Multiplikation abgeschlossen, d.h. das Produkt zweier ganzzahliger Vielfachen von 10 ist wieder ein ganzzahliges Vielfaches von 10.

Auch die Menge der ganzzahligen Vielfachen von z.B. 12 ist bezüglich der Multiplikation abgeschlossen, d.h. das Produkt zweier ganzzahliger Vielfachen von 12 ist wieder ein ganzzahliges Vielfaches von 12.

Auch die Menge der ganzzahligen Vielfachen von z.B. 1000 ist bezüglich der Multiplikation abgeschlossen, d.h. das Produkt zweier ganzzahliger Vielfachen von 1000 ist wieder ein ganzzahliges Vielfaches von 1000.


Das ist alles schön und gut und wohl auch klar, aber Vorsicht: die Menge aller "ganzer" Zahlen mit 2 Nachkommastellen (also 0.01, 3.67, 8.95 usw.) isz bezüglich der Multiplikation nicht abgeschlossen, denn das Produkt zweier solcher Zahlen hat im Allgemeinen 4 Nachkommastellen. Aus diesem Grunde kann man unsere Überlegungen von E(x) nicht so ohne weiteres auf zwei Nachkommastellen erweitern.

Bezüglich der Addition sind diese Zahlen abgeschlossen, d.h. man erhält keine weiteren Nachkommastellen, wenn man zwei Zahlen, die zwei Nachkommastellen haben, addiert oder subtrahiert; aus diesem Grunde ist dieses Problem bislang auch nicht beim Ziffernblatt der Uhr aufgetreten.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

darauf will ich eigentlich gar nicht hinaus, ...

OK.

Wie gesagt, das hat nichts mit der Fragestellung zu tun, ist aber ein netter Exkurs, ...

Welche Fragestellung meinst du, habe ich eine Frage übersehen - oder meinst du deine Planung? Wohlgemerkt, ich habe nicht die leiseste Ahnung worauf das Ganze hier hinaus läuft, nur dass ich dann die modulo Notation besser kennen werden würde, aber eine Klasse an Resten sagt mir zur Zeit rein gar nichts.

Wenn ich die Einerfunktion E(x) erweitere, dass auch 2 Nachkommastellen erlaubt sind, ...

Wie geht das denn? Du meinst (nicht) allgemein die 2 letzten Stellen?

...so bekommen wir natürlich bei der Multiplikation ein Problem, weil das Produkt dann im Allgemeinen 4 Stellen haben wird.

Na und!? Ein Problem ist nur ein Hindernis, dass man entweder überspringen, beseitigen oder umgehen kann. Nur so als Spruch.

... während wir mit dem Weg der Restklassen ja eine Menge nur "endlich vieler natürlicher Zahlen" konstruieren wollten.

Das denkst du als Lehrer, mir ist weder Sinn des Titels noch des Begriffs bekannt.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Wie gesagt, das hat nichts mit der Fragestellung zu tun, ist aber ein netter Exkurs, ...

Welche Fragestellung meinst du, habe ich eine Frage übersehen

Hallo Dgoe,

die Fragestellung war meine Idee, die Funktionen E(x) und U(x) feiner zu granulieren. Im Hinterkopf hatte ich dabei die Umwandlung vom Zehnersystem ins pi-System, dem System, in dem die Kreiszahl pi den Wert 10 hat und keineswegs unendlich viele Nachkommastellen.

Wenn man das korrekt machen will benötigt man eine beliebig fein granulierte Funktion E(x) und U(x), was aber nicht wirklich schwer ist. Aber eben - das ist nicht das Thema dieser Threads und es genügt mal für den Moment zu wissen, dass man eine solche Erweiterung bei Bedarf machen könnte und dass diese nicht schwer wäre.

ich habe nicht die leiseste Ahnung worauf das Ganze hier hinaus läuft, nur dass ich dann die modulo Notation besser kennen werden würde, aber eine Klasse an Resten sagt mir zur Zeit rein gar nichts.

Das ist sehr gut so, denn ich habe die Erfahrung gemacht, dass sobald die Leute damit konfrontiert werden ihnen die Rolladen runter gehen und sie "zu" machen. Nur soviel: Du rechnest schon die ganze Zeit damit, nur ohne es zu bemerken. Ich möchte aber, dass Dir das noch ein bisschen mehr in Fleisch und Blut übergeht, ehe wir das dann ganz konkret benennen.

Wenn ich die Einerfunktion E(x) erweitere, dass auch 2 Nachkommastellen erlaubt sind, ...

Wie geht das denn? Du meinst (nicht) allgemein die 2 letzten Stellen?

...so bekommen wir natürlich bei der Multiplikation ein Problem, weil das Produkt dann im Allgemeinen 4 Stellen haben wird.

Na und!? Ein Problem ist nur ein Hindernis, dass man entweder überspringen, beseitigen oder umgehen kann. Nur so als Spruch.

Na ja, es ist ein "Killer", und ich habe heute nacht überlegt, woran das liegt. Und dabei habe ich bemerkt, dass das Problem eben daher kommt, dass diese Strukturen mit nur endlich vielen Nachkommastellen eben bezüglich der Mutliplikation nicht abgeschlossen sind und damit eben keine Ringstruktur bilden. Eine solche brauchen wir aber, wenn wir sinnvoll multiplizieren wollen.

... während wir mit dem Weg der Restklassen ja eine Menge nur "endlich vieler natürlicher Zahlen" konstruieren wollten.

Das denkst du als Lehrer, mir ist weder Sinn des Titels noch des Begriffs bekannt.

Der Sinn kommt von einem Deiner Einwände auf dem astronews-Forum, bei dem Du Deine "Begeisterung" über irreduzible Polynome und Körpererweiterungen kundgetan hast.

Um da etwas vernünftig darüber sprechen zu können benötigen wir eben Strukturen, die ähnlich sind wie "endlich viele natürliche Zahlen". Das ist der erste Thread in diesem Zusammenhang, den ich hier im allTopic eröffnet habe, und um das ganze wenigstens ein bisschen anschaulich halten zu können, habe ich den Thread über das Zehnersystem und etwas später über das Ziffernblatt der Uhr eröffnet.

Derzeit sind wir einerseits bei der Frage, welche Werte E(x) annehmen kann, nämlich 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 und was zum Wert -1 und zum Wert 0.5 zu sagen wäre.

Und wie eine analoge Funktion U(x) im Uhrenthread aussehen würde.

Und dann müssen wir noch beweisen, wie E(x) auf (+), (-), (*) und wenn definiert (/) operiert. und wie das ganze bei U(x) im Uhrenthread zumindest für [+] und [-] aussieht.

Tja, und momentan stehen wir eben bei E(x) und warum E(x) nicht den Wert 0.5 annehmen kann. Rein formal war das klar, weil ich E(x) nur auf IZ definiert habe und 0.5 nicht in IZ liegt.

Also das ist der Kontext. Und ja, der Fortgang der Dinge gestaltet sich äusserst erfreulich, so dass ich auch ein bisschen drumherum aus dem Nähkästchen plaudern kann.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

...über irreduzible Polynome und Körpererweiterungen ...

Ja, ich erinnere mich, an der Stelle brauchte ich dringend 'mal eine Pause.

Danke für deine ausführliche Antwort.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Das denkst du als Lehrer, mir ist weder Sinn des Titels noch des Begriffs bekannt.

Hallo Dgoe,

vielleicht noch etwas hierzu: zumindest ich habe die Erfahrung gemacht, dass ich Strukturen am besten verstehe, wenn ich ein bisschen damit "spiele" und mit ihnen vertraut werde. Wie das konkret geschieht kann ganz unterschiedlich sein und sich auch völlig zwanglos aus einem Smalltalk ergeben. Es ist also nicht schlimm, wenn das jetzt in diesem und im Ziffernblatt-/Uhrenthread etwas unstrukturiert aussieht (und auch ist), wichtig ist eigentlich nur, dass wir uns mit den Dingern, also im Wesentlichen mit den zehn Einern und mit den zwölf Uhrzeiten ein bisschen beschäftigen und mit ihnen vertraut werden.

Mir ist es dann oft so gegangen, dass wenn ich die Elemente und ihr Verhalten einer Struktur gut kannte und dann ein Formalismus drübergestülpt wurde, ich immer wieder bemerkt habe "ach das ist gemeint"; sowas merkt man aber nur, wenn man die Dinger eben schon ein bisschen kennt. Jemand, der formal-logisch besser denken kann als ich benötigt diesen Zwischenschritt des Vertraut-Werdens vermutlich nicht, aber eben - zumindest ich habe das immer als sehr hilfreich empfunden.

Und ja - für einmal bin ich tatsächlich froh um jede Idee, wie man diese zehn Einer und diese zwölf Uhrzeiten von noch einem anderen Blickwinkel aus betrachten kann. Dabei macht es übrigens gar nichts, wenn wir uns noch primär nur mit der Addition und der Subtraktion bzw. dem Zeiger um einige Stunden vorstellen oder zurückstellen beschäftigen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

kein Problem, im Gegenteil, ich halte deinen Ansatz für sinnvoll. Ich wollte nur daran erinnern, dass ich nicht unbedingt zielführend antworten kann, da ich das konkrete Ziel noch nicht kenne, abgesehen von Begriffen, die mir nicht so viel sagen. Ich bin mit einigen Punkten auch schon vertrauter geworden. Wo waren wir stehengeblieben? Obwohl, steht ja oben, aber was nun genau jetzt als unmittelbar nächstes?

Gruß,
Dgoe