das Zehnersystem

[ralfkannenberg]

Hallo Ralf,

Die (7) ist nun an der Reihe, allerdings - bevor ich es vergesse zu erwähnen - ich habe spontan einen Wochendstripp geplant, morgen (heute, FR) am frühen vormittag gehts los. Bin also wohl erst Montag wieder on...

Gruß,
Dgoe

Hallo Dgoe,

das ist dann also der nächste ausstehende Beweis.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

ich war zwischenzeitig noch bei einem anderen Thread, was schnell zuviel auf einmal ist. Zudem mehrmals auch unterwegs.

Das heißt aber nicht dass mein Interesse abgeklungen wäre.
Das kann ich natürlich nur dadurch beweisen, dass ich den Beweis mal angehe...


Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Das kann ich natürlich nur dadurch beweisen, dass ich den Beweis mal angehe...

Hallo Dgoe,

mein Vorschlag:

erst (11) im Ziffernblatt-Thread, dann (11) hier - weil der einfacher als (7) ist - und erst dann zum Abschluss (7) hier.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Das kann ich natürlich nur dadurch beweisen, dass ich den Beweis mal angehe...

mein Vorschlag:

erst (11) im Ziffernblatt-Thread

Hallo Dgoe,

das hast Du nun ja in aller Souveränität gemacht und hier wir haben das auch in der konventionelleren Form, also in multiplikativer Schreibweise.

Hier noch Deine korrekte Antwort, worauf es überhaupt ankommt, und ein paar Abschuss-Kommentare, die eigentlich die wichtigsten Erkenntnisse enthalten, da wir mal über Isomorphien gesprochen haben.

dann (11) hier - weil der einfacher als (7) ist - und erst dann zum Abschluss (7) hier.

Nun könnte man also (11) mit den Originalen anstelle der Drehungen als Übung angehen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Beweis der

(11) Die Operation x ist kommutativ, d.h. a x b = b x a für alle a,b in M

für die Einer E(x) des Zehnersystems.

Zu zeigen: a * b = b * a
Anmerkung: * entspricht (*) und + entspricht (+)
(a und b sind Einer, genau wie deren Produkte)

Die Beweisidee wird also die sein, dass wir die Originale dieser beiden Ausdrücke studieren.

Wir werden nämlich ganz konkret zeigen, dass die Originale dieser beiden Ausdrücke, also a * b sowie b * a, gleich sind.

Sei j das Original von a dann gilt: es gibt eine Zahl u so, dass gilt: j = (10 * u) + a
Sei k das Original von b dann gilt: es gibt eine Zahl v so, dass gilt: k = (10 * v) + b

Wir betrachten nun die Gleichung a * b in der Welt der Originale, also in IZ:

j * k = ((10 * u) + a) * ((10 * v) + b) =
((10 * v) + b) * ((10 * u) + a) = k * j; ich darf beliebig drehen, denn in IZ ist die Multiplikation ja kommutativ.

Da wegen der Gültigkeit des Kommutativgesetzes gilt: j * k = k * j

Etwas einfacher formuliert: wir haben nachgewiesen, dass die Originale gleich sind (mithilfe der Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation für die ganzen Zahlen).

Dabei ist das Argument trivial: wenn die Originale gleich sind, dann sind natürlich auch ihre Einer gleich.

Und da der Einer vom einen Original a * b ist, und vom anderen Original b * a ist, und weil die Originale gleich sind, sind auch die Einer gleich, also:

a * b = b * a

Das war zu zeigen.


Die Zusammenfassung:

wir haben zwei Einer a * b und b * a, diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Kommutativgesetzes der Multiplikation für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen a * b und b * a gleich sein.

[ralfkannenberg]

Hallo Dgoe,

das sieht ok aus; damit können nun die beiden (7) folgen.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

zur Übersicht erst nochmal:
(1) Die Menge ist gegen o abgeschlossen, d.h. für alle a,b in M gilt: a o b ebenfalls in M
(2) Die Operation o ist assoziativ, d.h. a o (b o c) = (a o b) o c für alle a,b,c in M
(3) Die Operation o hat genau ein Neutralelement n, d.h. n o a = a für alle a in M
(4) Zu jedem Element a in M gibt es genau ein inverses Element a' so dass gilt: a' o a = n (n ist das Neutralelement)

(5) Die Operation o ist kommutativ, d.h. a o b = b o a für alle a,b in M

(6) Die Menge ist gegen x abgeschlossen, d.h. für alle a,b in M gilt: a x b ebenfalls in M
(7) Die Operation x ist assoziativ, d.h. a x (b x c) = (a x b) x c für alle a,b,c in M (aktuell)
(8) Die Operationen o und x sind links-distributiv: a x (b o c) = (a x b) o (a x c)
(9) Die Operationen o und x sind rechts-distributiv: (a o b) x c = (a x c) o (b x c)

Ein Ring heisst Ring mit Einselement, wenn zusätzlich gilt:
(10) Die Operation x hat genau ein Neutralelement e, d.h. e x a = a für alle a in M
Genau.

Und ein Ring heisst kommutativ, wenn zusätzlich zu (1) - (9) - d.h. (10) wird nicht gefordert - gilt:
(11) Die Operation x ist kommutativ, d.h. a x b = b x a für alle a,b in M

Vorsicht noch: (10) und (11) sind unabhängige Zusatzbedingungen, d.h. es gibt nicht-kommutative Ringe mit Einselement (z.B. der Matrizenring) und es gibt kommutative Ringe ohne Einselement, z.B. der Ring der geraden Zahlen.

[Dgoe]

Beweis von

(7) Die Operation x ist assoziativ, d.h. a x (b x c) = (a x b) x c für alle a,b,c in M

für die Einer E(x) im Zehnersystem.

Zu zeigen: e*(f*g) = (e*f)*g

Die Beweisidee wird also die sein, dass wir die Originale dieser beiden Ausdrücke studieren.

Wir werden nämlich ganz konkret zeigen, dass die Originale dieser beiden Ausdrücke, also e*(f*g) sowie (e*f)*g, gleich sind.

Sei j das Original von e dann gilt: es gibt eine Zahl u so, dass gilt: j = 10*u + e
Sei k das Original von f dann gilt: es gibt eine Zahl v so, dass gilt: k = 10*v + f
Sei l das Original von g dann gilt: es gibt eine Zahl w so, dass gilt: l = 10*w + g

Wir betrachten nun die Gleichung e*(f*g) in der Welt der Originale, also in IZ:

j*(k*l) = (10*u + e) * ((10*v + f) * (10*w + g)) = 10*(u*v*w) + e*(f*g); ich darf beliebig klammern, denn in IZ ist die Multiplikation ja assoziativ
(j*k)*l = ((10*u + e) * (10*v + f)) * (10*w + g) = 10*(u*v*w) + (e*f)*g; ich darf beliebig klammern, denn in IZ ist die Multiplikation ja assoziativ

Da wegen der Gültigkeit des Assoziativgesetzes gilt: j*(k*l) = (j*k)*l

Etwas einfacher formuliert: wir haben nachgewiesen, dass die Originale gleich sind (mithilfe der Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Multiplikation für die ganzen Zahlen).


Dabei ist das Argument trivial: wenn die Originale gleich sind, dann sind natürlich auch ihre Einer gleich.

Und da der Einer vom einen Original e*(f*g) ist, und vom anderen Original (e*f)*g ist, und weil die Originale gleich sind, sind auch die Einer gleich, also:

e*(f*g) = (e*f)*g

Was zu zeigen war.

Die Zusammenfassung:

wir haben zwei Einer e*(f*g) und (e*f)*g, diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Assoziativgesetzes der Multiplikation für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e*(f*g) und (e*f)*g gleich sein.

[Dgoe]

Beweis von

(8) Die Operationen o und x sind links-distributiv: a x (b o c) = (a x b) o (a x c)

für die Einer E(x) im Zehnersystem.

Zu zeigen: e*(f+g) = (e*f)+(e*g)

Die Beweisidee wird also die sein, dass wir die Originale dieser beiden Ausdrücke studieren.

Wir werden nämlich ganz konkret zeigen, dass die Originale dieser beiden Ausdrücke, also e*(f+g) sowie (e*f)+(e*g), gleich sind.

Sei j das Original von e dann gilt: es gibt eine Zahl u so, dass gilt: j = 10*u + e
Sei k das Original von f dann gilt: es gibt eine Zahl v so, dass gilt: k = 10*v + f
Sei l das Original von g dann gilt: es gibt eine Zahl w so, dass gilt: l = 10*w + g

Wir betrachten nun die Gleichung e*(f+g) in der Welt der Originale, also in IZ:

j*(k+l) = (10*u + e) * ((10*v + f) + (10*w + g)) = 10*(u*(v+w)) + e*(f+g); ich darf das, denn in IZ gilt das Distributivgesetz.
(j*k)+(j*l) = ((10*u + e) * (10*v + f)) + ((10*u + e) * (10*w + g)) = 10*((u*v)+(u*w)) + (e*f)+(e*g); ich darf das, denn in IZ gilt das Distributivgesetz.

Da wegen der Gültigkeit des Distributivgesetzes gilt: j*(k+l) = (j*k)+(j*l)

Etwas einfacher formuliert: wir haben nachgewiesen, dass die Originale gleich sind (mithilfe der Gültigkeit des Distributivgesetzes für die ganzen Zahlen).

Dabei ist das Argument trivial: wenn die Originale gleich sind, dann sind natürlich auch ihre Einer gleich.

Und da der Einer vom einen Original e*(f+g) ist, und vom anderen Original (e*f)+(e*g) ist, und weil die Originale gleich sind, sind auch die Einer gleich, also:

e*(f+g) = (e*f)+(e*g)

Was zu zeigen war.


Die Zusammenfassung:

wir haben zwei Einer e*(f+g) und (e*f)+(e*g), diese haben je ein Original; aufgrund der Gültigkeit des Distributivgesetzes für die ganzen Zahlen sind die Originale gleich - das haben wir oben nachgerechnet. Und zwei ganze Zahlen, die gleich sind, haben trivialerweise denselben Einer, somit müssen e*(f+g) und (e*f)+(e*g) gleich sein.

[Dgoe]

Der Beweis von

(9) Die Operationen o und x sind rechts-distributiv: (a o b) x c = (a x c) o (b x c)

ist vollkommen analog zu (8), statt links-distributiv nun nur rechts-distributiv.