Hallo zusammen,
jeder von uns kann im Zehnersystem rechnen. Und keine Angst - in diesem Thread bleiben wir im Zehnersystem, auch wenn er als Parallelthread zum Smalltalk-Thread endlich viele natürliche Zahlen gedacht ist. Und zwar als Hilfe, wenn wir nicht mehr durchblicken und ein leicht verständliches Beispiel benötigen.
Das Zehnersystem ist also auf unserer Seite und wird uns helfen !
Unsere Ausgangsmenge ist der IZ, das ist der Ring der ganzen Zahlen, also { ..., -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}.
Nun benötigen wir eine Funktionen, nämlich die Einerfunktion E, die jeder ganzen Zahl nur ihren Einer zuweist, also E(1) = 1, E(28)=8.
Als erstes stellen wir fest, dass E(x+10) = E(x) ist; ich will das jetzt nicht rigoros beweisen, man sieht das an sich ganz einfach:
E(38) = 8, und E(28) ist auch 8.
Satz 1: E(x+10) = E(x)
Der Bequemlichkeit halber betrachten wir die Einerfunktion nur für nicht-negative ganze Zahlen, da das für unsere nachfolgenden Gedanken völlig genügend ist. Und sollte es uns doch mal wider Erwarten über den Weg laufen, so addieren wir einfach die Zahl 10, dann stimmt es wie wir ja von Satz 1 wissen auch wieder:
E(-1) liefert dann E(-1 + 10) = E(9), also 9. Das macht auch Sinn, denn -1 ist um 9 grösser als der nächst kleinere Zehner, und das ist ja -10.
E(-2) liefert dann E(-2 + 10) = E(8), also 8. Das macht auch Sinn, denn -2 ist um 8 grösser als der nächst kleinere Zehner, und das ist ja -10.
Aber wie gesagt: wir werden die Einerfunktion E(x) meistens nur für nicht-negative Zahlen verwenden.
Nun führen wir zusätzlich zu unseren vier Grundrechenarten noch vier parallele Grundrechenarten ein, die wir mit einem Präfix M- kennzeichnen, also:
M-Addition
M-Subtraktion
M-Multiplikation
M-Division
Nun müssen wir diese noch definieren:
Um diese zu kennzeichnen, schreiben wir das Verknüpfungssymbol in runde Klammern, also (+), (-), (*) und (/).
seien a und b in IZ.
Dann gelte:
a (+) b = E(a+b)
a (-) b = E(a-b)
a (*) b = E(a*b)
a (/) b = E(a/b)
Das genügt mal für den Moment. Fragen ?
Freundliche Grüsse, Ralf