das Ziffernblatt einer Uhr: Restklassen mal anders

[Dgoe]

Hallo Ralf,

[quote="ralfkannenberg"... da braucht man auch keine umständlichen Primfaktorzerlegungen zu bilden und nachzuzählen.[/quote]

Na gut, dann nur für den Fall, wenn man nicht weiß, ob die zu untersuchende Zahl eine Quadratzahl ist oder nicht, wenigstens.
*schnief*

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Na gut, dann nur für den Fall, wenn man nicht weiß, ob die zu untersuchende Zahl eine Quadratzahl ist oder nicht, wenigstens.
*schnief*

Hallo Dgoe,

wozu kannst Du das brauchen ? Ich meine: warum eine komplizierte Regel "pflegen" und merken wenn es eine ganz einfache gibt ? Der Speicherplatz in meinem Gehirn ist ja auch nicht unbegrenzt.


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

...? Der Speicherplatz in meinem Gehirn ist ja auch nicht unbegrenzt.

Hallo Ralf,

ich hab meinen mit Micro-SD-Karten aufgerüstet! Kriegt man gut mit einem Glas Wasser runter. *scherz*
Na gut, vergessen wir das.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

Behauptung ³√p = irrational
Gegenbehauptung ³√p = rational, demzufolge wäre ³√p = a/b möglich
einfach quadrieren in die 3.Potenz nehmen p = (a/b)*(a/b)*(a/b) und zerlegen in
Primfaktoren p = (a1*a2*...)³²/(b1*b2*...)³² oder
umgeschrieben (b1*b2*...)³²*p = (a1*a2*...)³²
wegen "=" sollte selbstverständlich B(b³²,p)=A(a³²) sein
aber ()³² bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren geradzahlig durch 3 teilbar sein muß
nur zum Verständnis für Mitleser: zB (2*3*5)³²=(2*3*5)*(2*3*5)*(2*3*5)=(2*3*5*2*3*5*2*3*5) hat gerade eine durch 3 teilbare Anzahl von Faktoren
(oder müßte das extra als Lemma bewiesen werden? kann man ja als bekannt voraussetzen)
rechts stimmt's also: A hat eine gerade durch 3 teilbare Anzahl von Primfaktoren
links ist der Widerspruch: B=b³²*p ist eine ungerade nicht durch 3 teilbare Anzahl von Primfaktoren
Ergebnis: ³√p kann nicht rational sein

Baut aber darauf auf, daß es für jede Zahl nur eine Möglichkeit der Primfaktorzerlegung gibt.

Bemerkung:
Der Beweis läuft identisch gleich, wenn man statt p Primzahl p das beliebige Produkt zweier Primzahlen verwendet, dann steht in der drittletzten Zeile - Ergänzung in bold grün:

links ist der Widerspruch: B=b³²*p₁*p₂ ist eine ungerade nicht durch 3 teilbare Anzahl von Primfaktoren.

Insbesondere kann auch p₁ = p₂ sein, dann haben wir gezeigt, dass gilt:

³√p² kann nicht rational sein.

Hallo zusammen,

hat jemand Lust, diesen Beweis zu verallgemeinern ?

Teil 1: sei p eine Primzahl. Dann gilt: ⁿ√p ist irrational
Teil 2: sei P Produkt von (n-1) beliebigen Primzahlen. Dann gilt: ⁿ√P ist irrational


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Hallo Ralf,

wie wäre es, wenn einfach nur alle 3en durch n ersetzt werden? Bis auf den Satz in der Mitte für Mitleser, den man ganz streicht und noch in der 3. Zeile die Gleichung mit p = (a/b)ⁿ ersetzt.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

wie wäre es, wenn einfach nur alle 3en durch n ersetzt werden? Bis auf den Satz in der Mitte für Mitleser, den man ganz streicht und noch in der 3. Zeile die Gleichung mit p = (a/b)ⁿ ersetzt.

Hallo Dgoe,

ist an sich noch etwas an der oberen Grenze Deines Know-Hows, aber meines Erachtens machbar. Versuch es doch einfach mal, Dein Ansatz ist natürlich der richtige Ansatz.

Und: den Satz in der Mitte wollen wir nicht streichen, aber das n-fach kann man mit "(...)" andeuten und wenn man noch etwas gelehrig tun will, so fügt man noch ganz unschuldig ein, dass man den allgemeinen Beweis mit vollständiger Induktion führen kann. Was übrigens völlig korrekt ist.

Das ganze wäre dann ein weiterer Höhepunkt Deiner Algebra-Karriere


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

Sei p eine Primzahl. Dann gilt: ⁿ√p ist irrational

Behauptung ⁿ√p = irrational

Gegenbehauptung ⁿ√p = rational, demzufolge wäre ⁿ√p = a/b möglich.
Einfach in die n.Potenz nehmen p = (a/b)ⁿ
und zerlegen in Primfaktoren p = (a1*a2*...)ⁿ/(b1*b2*...)ⁿ
oder umgeschrieben (b1*b2*...)ⁿ*p = (a1*a2*...)ⁿ,
wegen "=" sollte selbstverständlich B(bⁿ,p)=A(aⁿ) sein,
aber ()ⁿ bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren durch n teilbar sein muß.

Nur zum Verständnis für Mitleser: z.B. für n>2 und die Primzahlen (2*3*5)ⁿ=(2*3*5)*(2*3*5)*(...)=(2*3*5*2*3*5*...) hat eine durch n teilbare Anzahl von Faktoren.

Rechts stimmt's also: A hat eine durch n teilbare Anzahl von Primfaktoren,
links ist der Widerspruch:
B=bⁿ*p ist eine nicht durch n teilbare Anzahl von Primfaktoren.
Ergebnis: ⁿ√p kann nicht rational sein.

Sei P Produkt von (n-1) beliebigen Primzahlen, dann ist links der Widerspruch:
B=bⁿ*P ist eine nicht durch n teilbare Anzahl von Primfaktoren.
Dann gilt: ⁿ√P ist irrational.

[ralfkannenberg]

Sei p eine Primzahl. Dann gilt: ⁿ√p ist irrational

Behauptung ⁿ√p = irrational

Gegenbehauptung ⁿ√p = rational, demzufolge wäre ⁿ√p = a/b möglich.
Einfach in die n.Potenz nehmen p = (a/b)ⁿ
und zerlegen in Primfaktoren p = (a1*a2*...)ⁿ/(b1*b2*...)ⁿ
oder umgeschrieben (b1*b2*...)ⁿ*p = (a1*a2*...)ⁿ,
wegen "=" sollte selbstverständlich B(bⁿ,p)=A(aⁿ) sein,
aber ()ⁿ bedeutet, daß die Anzahl der Primfaktoren durch n teilbar sein muß.

Nur zum Verständnis für Mitleser: z.B. für n>2 und die Primzahlen (2*3*5)ⁿ=(2*3*5)*(2*3*5)*(...)=(2*3*5*2*3*5*...) hat eine durch n teilbare Anzahl von Faktoren.

Rechts stimmt's also: A hat eine durch n teilbare Anzahl von Primfaktoren,
links ist der Widerspruch:
B=bⁿ*p ist eine nicht durch n teilbare Anzahl von Primfaktoren.
Ergebnis: ⁿ√p kann nicht rational sein.

perfekt !

Sei P Produkt von (n-1) beliebigen Primzahlen, dann ist links der Widerspruch:
B=bⁿ*P ist eine nicht durch n teilbare Anzahl von Primfaktoren.
Dann gilt: ⁿ√P ist irrational.

pedantische Frage: warum ist bⁿ * P eine nicht durch n teilbare Anzahl von Primfaktoren ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Dgoe]

warum ist bⁿ * P eine nicht durch n teilbare Anzahl von Primfaktoren ?

Hallo Ralf,

weil bⁿ aus einer nicht durch n teilbaren Anzahl von Primfaktoren und P aus n-1 beliebigen Primzahlen besteht, also auch schlecht durch n teilbar.

Gruß,
Dgoe

[ralfkannenberg]

warum ist bⁿ * P eine nicht durch n teilbare Anzahl von Primfaktoren ?

weil bⁿ aus einer nicht durch n teilbaren Anzahl von Primfaktoren und P aus n-1 beliebigen Primzahlen besteht, also auch schlecht durch n teilbar.

Hallo Dgoe,

das ist korrekt: weil es bei Division durch n den Rest n-1 lässt.

Ich habe Teil 2 des Theorems übrigens falsch formuliert, sorry:

Teil 2: sei P Produkt von k beliebigen Primzahlen mit k < n. Dann gilt: ⁿ√P ist irrational

Und eben, das Argument ist dann, dass eben k bei Division durch n einen Rest k < n belässt.

Das ganze kann man dann nochmals verallgemeinern, da es ja nur auf die Nicht-Teilbarkeit durch n ankommt, d.h. 2n-1 beliebige Primfaktoren dürfen selbstverständlich auch vorkommen. Ich will hier aber nicht weiter ausholen.

Auch kann man die Fälle durch n teilbarer Anzahlen von Primfaktoren untersuchen, und solange diese nicht alle gleich sind kann man - allerdings mit einem anderen Argument - ebenfalls die Irrationalität zeigen. Aber eben, das würde den Rahmen in diesem Forum bei weitem sprengen; kommt hinzu, dass es hierzu noch ein Issue gibt, dass ich mir noch näher im Detail anschauen möchte.


Freundliche Grüsse, Ralf