Allererste Einführung in die absolute Konvergenz (Level 0)

[ralfkannenberg]

Hallo zusammen,

schon länger habe ich die Idee, mal etwas über absurd anmutende Ergebnisse unendlicher Summen zu schreiben. Eine ganz nette Besonderheit in diesem Zusammenhang ist ein völlig konter-intuitives Resultat, dass bei unendlichen Summen das Ergebnis von der Reihenfolge der Summanden abhängen kann, was ja auch dem Kommutativgesetz der Addition, also a+b = b+a, völlig zuwiderläuft.

Auf Relativ-Kritisch ist einem User diesbezüglich ein Irrtum unterlaufen, den ich hier angesprochen habe, und ich sehe, dass auf dem Mahag ebenfalls auf einen Spiegel-Artikel referenziert wird, in dem mit solchen Inhalten eine Zahlenspielerei durchgeführt wird.

Wir wollen uns in diesem Thread auf Level 0-Niveau ein bisschen die Hintergründe zu dieser Thematik anschauen, ohne das Thema mit der Epsilontik, also Ausdrücken wie "für alle epsilon grösser als 0 finden wir ein N aus IN, so dass für alle n > N gilt: bla bla bla", abzuwürgen, und uns darauf beschränken, dass man diese Epsilontik für die exakte Beschreibung dieser Sachverhalte benötigt.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

was ja auch dem Kommutativgesetz der Addition, also a+b = b+a, völlig zuwiderläuft.

Hallo zusammen,

mal etwas für den Einstieg:

Wenn das Kommutativgesetz für 2 Summanden gilt, so gilt es ja auch für 3 Summanden:

a+b+c = (b+a)+c = b+(a+c)= b+(c+a) = (b+c)+a = (c+b)+a = c+(b+a) = c+(a+b)

Da es 3!, also 6 Kombinationen geben muss, fehlt noch einer, und zwar der zweite, der mit einem a+() anfängt: a+(b+c) = a+(c+b)

Man "sieht", dass das Kommutativgesetz auch für beliebige Summen aus n Summanden gültig ist, man kann das mit vollständiger Induktion beweisen.

Warum steht dieser (hier nur angedeutete) Beweis nicht im Widerspruch zur obigen Aussage, dass es unendliche Summen gibt, bei denen der Wert der Summe von der Reihenfolge der Summanden abhängt ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[Tachyon]

Hi,

Tja, wenn man Unendlich wie eine Zahl behandelt, kommt halt Unsinn heraus. Der Limes einer Reihe ist nunmal nicht dasselbe, wie die Summe aller Glieder der zugrunde liegenden Folge, weil es bei einer unendlichen Folge kein "alle Glieder" gibt. Man kann zwar Aussagen der Art "für alle Glieder gilt..." machen, meint damit aber nur: "Für jedes beliebige Glied gilt..."

Tach,
Yon

[M_Hammer_Kruse]

Nun gut, auf Small-talk-Niveau:

In der Physik gilt ja bekanntermaßen:
a) Eine unendliche Reihe ist eine Summe aus zwei Gliedern.
b) Eine unendliche Reihe konvergiert, wenn das zweite Glied kleiner ist als das erste.

Gruß
mike

[Herr Senf]

Ich wag mich mal als Matheallergiker aus der Deckung
Ich kenne nur "endliche Summen", und dann war da nochmal die Summe unendlicher Reihen.
Pingelich - Senf

[Tachyon]

Ich kenne nur "endliche Summen", und dann war da nochmal die Summe unendlicher Reihen.

Eigentlich sind Reihen schon Summen. Eine Reihe ist eine Folge aus Summen von Folgegliedern. Oder so. Das unendlichste Glied einer Reihe wäre dann die Summe über die Folge. Aber das gibt es ja nicht. Es gibt nur einen Limes.

Gruß,
Tachyon

[ralfkannenberg]

Tja, wenn man Unendlich wie eine Zahl behandelt, kommt halt Unsinn heraus.

Hallo zusammen,

an sich ist das die Antwort meiner Frage: eine vollständige Induktion beweist ja nur etwas für eine gewisse endliche Zahl n; das können zwar alle n in IN sein, aber dennoch ist jede von ihnen endlich.

Somit kann man mit einer vollständigen Induktion im Allgemeinen keine Aussagen über "das Verhalten im Unendlichen" gewinnen. Oder anders formuliert: die Peano-Axiome definieren nur endliche natürliche Zahlen; zwar gibt es unendlich viele von denen, aber die sind alle endlich. Insbesondere definieren die Peano-Axiome keine "Zahl" mit dem Wert unendlich.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Nun gut, auf Small-talk-Niveau:

In der Physik gilt ja bekanntermaßen:
a) Eine unendliche Reihe ist eine Summe aus zwei Gliedern.
b) Eine unendliche Reihe konvergiert, wenn das zweite Glied kleiner ist als das erste.

Hallo Mike,

das verstehe ich nicht; kannst Du mir ein Beispiel nennen ?


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Auf Relativ-Kritisch ist einem User diesbezüglich ein Irrtum unterlaufen, den ich hier angesprochen habe, und ich sehe, dass auf dem Mahag ebenfalls auf einen Spiegel-Artikel referenziert wird, in dem mit solchen Inhalten eine Zahlenspielerei durchgeführt wird.

Hallo zusammen,

ich will ja hier kein Rätselraten veranstalten: diese Zahlenspielerei ergibt sich deswegen, weil da letztlich irgendwie "+oo" irgendwie mit "-oo" addiert wird. Und es wird auch naiv-intuitiv nicht überraschen, dass bei "oo" - "oo" allerlei Unsinniges herauskommen kann. Wobei das kein Unsinn ist, es ist lediglich nicht definiert und im Allgemeinen auch nicht widerspruchsfrei definierbar.

Aber wenn eine "unendliche Summe" auch absolut konvergiert, d.h. die unendliche Summe der Absolutbeträge der Summanden konvergiert, dann kann solcher "Unsinn" nicht passieren.

Konvergiert heisst übrigens immer, dass die Reihe gegen eine endliche Zahl konvergiert.


Freundliche Grüsse, Ralf

[nocheinPoet]

Ralf ich bitte Dich solche Threads in dem Bereich dafür aufzumachen, alles liegt hier sonst in Smalltalk und hier gehört es nicht hin. Wir sind kein Mathematikforum, dort mögen solche Dinge Smalltalk sein, hier ist das klar dem Bereich Mathematik zuzuordnen. Wenn Du nichts dagegen hast, werde ich die Tage die Threads alle einsortieren.


Lieben Gruß

Manuel