Trolle, Cranks und Populisten in physikalischen "Blogs"

[ralfkannenberg]

Ok Sciencewoken, die Formulierung "spitzfindig" war zu hart, ich bitte dafür um Entschuldigung, das ist mir herausgerutscht. Tatsächlich ging es mir auch nicht um den Namen dieser Formel, sondern um deren Anwendung, wobei ich die Idee, den Spezialfall als "Euler'sche Identität" zu bezeichnen und den Allgemeinfall als Euler'sche Formel, tatsächlich gut finde.

Ich selber kam übrigens während eines Schulballs erstmals mit dieser Euler'schen Identität, also im Spezialfall für 180°, in Kontakt, da war ich vielleicht in der 12.Klasse. Ein absolutes Genie eine Klasse tiefer sass am selben Tisch wie ich und hat uns diese Formel gezeigt. Zwar habe ich sie nicht verstanden - auch im Mathematik-Leistungskurs haben wir so etwas damals nicht behandelt, aber ich habe sie mir als Kuriosum gemerkt, weil da mit e, pi und i gleich alle "komischen" Zahlen drin vorkamen.

Einige Zeit später kam ich dann mit der Euler'schen Formel selber in Kontakt, die wurde uns aber auch nicht bewiesen, aber sie war so praktisch, weil man sich dank ihr diese umständlichen trigonometrischen Additionstheoreme nicht mehr zu merken brauchte, sondern mit Hilfe der als gültig vorausgesetzten Euler'schen Formel jederzeit innert weniger Sekunden selber herleiten konnte und dabei gleich beide, also diejenige für den Sinus (im Imaginärteil) und diejenige für den Cosoinus (im Realteil), auf dem goldenen Tablett serviert bekam.

Den Beweis haben wir dann erst im Studium irgendwann einmal behandelt, der war aber kein Prüfungsthema, so dass ich mich erst nach dem Studium, als ich etwas mehr Muße hatte und noch nicht so beruflich angespannt war wie heute, näher angeschaut habe.


Freundliche Grüsse, Ralf

[ralfkannenberg]

Das wäre aber nun mal kein konkreter Wert, sondern konkrete Koordinaten. Also hast du keinen Schimmer davon, was ein konkreter Wert überhaupt ist. Ist das wieder spitzfindig?

Nicht einmal, aber tatsächlich weiss ich nicht, was Du unter einem "konkreten Wert" verstehst.

Nehmen wir die Zahl 1, die hat (nehme ich an) den konkreten Wert 1. Und die Zahl 2 den konkreten Wert 2. Und die Zahl -1 den konkreten Wert -1 (und Absolutwert +1) und die Zahl 0 den konkreten Wert 0.
Stimmt das soweit ?

Dann lass uns einmal die Zahl Quadratwurzel(2) anschauen.

Im Körper IR hat sie den konkreten Wert Quadratwurzel(2), also in Dezimalstellen geschrieben ungefähr 1.4142135624....... (habe ich jetzt kopiert). Bist Du an der Dezimalschreibweise interessiert ?
Im Körper IQ(Quadratwurzel(2) ) hat sie einen ganz anderen konkreten Wert, da die Quadratwurzel(2) kein Element von IQ ist. Dort hat sie also den Wert 1*Quadratwurzel(2), wobei man aber die Quadratwurzel(2) nicht weiter "auflösen" kann; alles was man weiss ist, dass ihr Produkt mit sich selber 2 ergibt. Im Körper IQ (Quadratwurzel(2) ) ist die Quadratwurzel(2) also linear unabhängig zu 1 und ihre Darstellung ist (0,1) im Koordinatensystem {1,Quadratwurzel(2)}.

Wenn Du nun den Körper IQ(Quadratwurzel(2) ) zum Körper IR(Quadratwurzel(2) ) ergänzst, dann kannst Du die Quadratwurzel(2) "einfügen", da sie eine reelle Zahl ist, d.h. der Körper IR(Quadratwurzel(2) ) = IR. Das klappt deswegen, weil man den Körper der reellen Zahlen anordnen kann, d.h. eine kleiner gleich-Beziehung definieren kann.

Analog kann man Körper IQ (Quadratwurzel(-1) ) zum Körper IR(Quadratwurzel(-1) ) ergänzen, im Gegensatz zm vorherigen Beispiel ist aber die Quadratwurzel(-1) ) kein Element von IR. Wenn man aber eine linear unabhängige Einheit dazuadjungiert und ihr Quadrat so definiert, dass es eine negative Zahl bildet, dann erhält man einen Körper, der isomorph zum Körper IC der komplexen Zahlen ist. Allerdings kann man diesen Körper der komplexen Zahlen nicht anordnen, d.h. man kann die Quadratwurzel(-1) im Gegensatz zur Quadratwurzel(2) oder zur Quadratwurzel(3) nicht einfach so in den Zahlenstrahl einfügen, man kann ihr aber einen Punkt in der komplexen Zahlenebene zuweisen, ebenso wie man der Quadratwurzel(2) einen Punkt in der Zahlenebene {1, Quadratwurzel(2)} zuweisen kann, wenn der Zahlenkörper "nur" die rationalen Zahlen IQ umfasst.

Ist es das, was Dich stört: das man i nicht im Zahlenstrahl unterbringen kann, weil IC nicht angeordnet werden kann ? - Solche Bedenken sind ja völlig legitim und man kann darüber auch vernünftig sprechen.

[ralfkannenberg]

Oha, ich sehe gerade, dass ich eine nur in der Algebra übliche Notation verwende:

sei K ein (algebraischer) Körper und r ein Element, welches nicht in K liegt. Sei der Einfachheit halber r² Element von K, d.h. wir betrachten hier der Einfachheit halber nur algebraische Körpererweiterungen vom Grade 2.

Dann gilt: K[r] ist die Menge aller Elemente k+l*r mit k,l in K. Wenn diese Menge einen Körper bilden, so schreibt man K(r).

Man kann diese Definition natürlich auch auf algebraische Körpererweiterungen höheren Grades ausdehnen.


In unseren Beispielen:

IQ(Quadratwurzel(2) ) ist gleich der Menge aller Elemente p+q*Quadratwurzel(2) mit p,q in IQ; man kann zeigen, dass diese Menge einen Körper bildet.
IQ(i) ist gleich der Menge aller Elemente p+q*i mit p,q in IQ; man kann zeigen, dass diese Menge einen Körper bildet.
IR(i) ist gleich der Menge aller Elemente s+t*i mit s,t in IR, also gleich IC; auch IC bildet bekanntlich einen Körper.

Somit ist dann IR(Quadratwurzel(2) ) gleich der Menge aller Elemente s+t*Quadratwurzel(2) mit s,t in IR, und da die Quadratwurzel(2) eine reelle Zahl ist, sind auch alle s+t*Quadratwurzel(2) reelle Zahlen, d.h. wir haben hier die Menge IR der reellen Zahlen, die ebenfalls einen Körper bildet.


Der Körpernachweis ist in den obigen Fällen direkt, lediglich beim multiplikativen Inversen muss man einen kleinen Trick anwenden und mit [p-q*Quadratwurzel(2)] bzw. [p-q*i] erweitern:

1/[p+q*Quadratwurzel(2)] = [p-q*Quadratwurzel(2)]/([p+q*Quadratwurzel(2)]*[p-q*Quadratwurzel(2)]) = [p-q*Quadratwurzel(2)]/(p²-2q²) = [p/(p²-2q²)] - [q/(p²-2q²)]*Quadratwurzel(2)
1/[p+q*i] = [p-q*i]/([p+q*i]*[p-q*i]) = [p-q*i]/(p²+q²) = [p/(p²+q²)] - [q/(p²+q²)]*i

[ralfkannenberg]

Hierzu:

Das schrieb ich doch schon. Alles, was mit Ziffern (damit sind ausdrücklich keine Symbole gemeint) und ggf einem Vorzeichen und/oder einem Komma dargestellt werden kann - sprich jede erdenkliche reelle Zahl. Das ist eine klare Definition, die eigentlich jeder kennt.

Das ist korrekt, d.h. wenn Du als konkreten Wert nur reelle Zahlen zulässt, dann kann man i keinen "konkreten Wert" zuweisen, weil i über IR linear unabhängig ist, sprich selber keine reelle Zahl ist. Und wenn Du den Körper der komplexen Zahlen zugrundelegst, dann erhälst Du genau das, was Yukterez geschrieben hat, nämlich dass es keinen konkreteren Wert als i=√(-1) gibt, d.h. in IC ist letztlich i=i*1, also das i-fache Vielfache von 1.

Das ist ja dieselbe Situation, die wir im Körper IQ(Quadratwurzel(2) ) vorfinden: dadurch, dass die Quadratwurzel(2) keine rationale Zahl ist, sondern über IQ linear unabhängig ist, kann man ihr keinen rationalen Wert zuordnen. Man kann sie aber als zusammengesetzte "ratioanle Zahl" schreiben, nämlich als 0*1 + 1*Quadratwurzel(2), also 0 * eine rationale Zahl + 1 * eine Quadratwurzel(2), wobei die beiden Koeffizienten, also 0 und 1, beide rationale Zahlen sind. Wenn Du aber den Körper der reellen Zahlen zugrundelegst, dann erhälst Du √2, d.h. in IR ist letztlich √2=√2*1, also das √2-fache Vielfache von 1.


Das ist nun tatsächlich ziemlich pedantisch, also spitzfindig, wird aber benötigt, um die verschiedneen Situationen mit den unterschiedlichen zugrundeliegenden Zahlkörpern korrekt beschreiben zu können.

[ralfkannenberg]

Und noch ein Wort zu den Mächtigkeiten:

Was könnten denn wohl nun numerische Bezeichnungen entlang der Y-Achse darstellen? Und du sagst mir, ich wüsste nicht mal, was Mächtigkeit (Kardinalität) bedeutet?

Ich bin mir nicht sicher, ob Du den Begriff der Mächtigkeit im "herkömmlichen" Sinne verwendest.

Zunächst einmal gelten zwei Mengen als "gleichmächtig", wenn sie gleich viele Elelemte enthalten. Allerdings ist die Wortwahl "gleich viele Elemente" nur für endliche Mengen definiert; hier haben wir übrigens keine Probleme mit der IEEE 754, da Computerspeicher nur endlich viele Zustände annehmen können, d.h. wir haben stets nur endliche Mächtigkeiten und benötigen die Definition der Mächtigkeiten über Bijektionen gar nicht.

Diese benötigt man erst, wenn man nicht-endliche Mengen miteinander vergleichen möchte, also beispielsweise IN mit IQ oder IQ mit IR u.s.w.
Wenn man das tut, dann stellt sich heraus, dass die Mengen IN, IQ, IQ(Quadratwurzel(2) ), IQ(i) allesamt gleichmächtig sind, man nennt die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen auch "abzählbar unendlich", während wie Cantor im Jahre 1874 nachgewiesen hat, die Mengen IR = IR(Quadratwurzel(2) ) und IR(i) = IC gleichmächtig sind; man nennt diese Mächtigkeit der reellen Zahlen auch "überabzählbar unendlich".

[ralfkannenberg]

Ganz genau: die Hamiltonschen Quaternionen IH kann man schreiben als IR(i,j) mit geeigneten Zusatzbedingungen für die Multiplikation der imaginären Einheiten untereinander, wobei es Hamilton's Leistung war, zu erkennen, dass man noch eine weitere linear unabhängige imaginäre Einheit k benötigt, die zu k=i*j definiert wird.

Zusätzlich muss man noch definieren, dass i² = j² = k² = -1 gilt.

[ralfkannenberg]

ok, gehen wir es doch einmal in Ruhe durch und betrachten:

x=a+bc

Fall 1: setzen wir c zu "+oo", dann haben wir x=a+b*(+oo)

- für positive b erhaten wir dann: x=a+oo, die sich aber nicht zu oo zusammenaddieren, weil oo linear unabhängig ist
- für negative b erhalten wir dann: x=a-oo, die sich aber ebenfalls nicht zu -oo zusammenaddieren, weil -oo ebenfalls linear unabhängig ist


Fall 2: setzen wir nun c zu "-oo", dann haben wir x=a+b*(-oo)

- für positive b erhaten wir dann: x=a-oo, die sich aber nicht zu -oo zusammenaddieren, weil -oo linear unabhängig ist
- für negative b erhalten wir dann: x=a+oo, die sich aber ebenfalls nicht zu +oo zusammenaddieren, weil +oo ebenfalls linear unabhängig ist


Habe ich das soweit korrekt verstanden ? Und wenn ja - was haben wir nun gewonnen ?

[ralfkannenberg]

b könnte auch 0 sein, dann haben wir eine naN-Situation, also a+naN oder so ähnlich (?!)

[ralfkannenberg]

Hallo Kurt,

um overflow-Situationen am Computer besser handeln zu können. Es gibt durchaus solche "undefinierten" Situationen, die konvergieren, so dass man weiterrechnen könnte.

Ausserdem wäre es natürlich schon sehr wünschenswert, auch die Mathematik entsprechend erweitern zu können - man braucht ja nicht für alle Rechnungen die Körpereigenschaften, ja selbst die Gruppeneigenschaften sind nicht immer nötig, wie man beispielsweise bei der relativistischen Geschwindigkeitsaddition sehen kann.

Das Problem ist auch gar nicht hier, das Problem kommt dann, wenn man versucht, die in die IEEE 754 aufgrund der nur endlich vorhandenen Speicherplätze "hineingepresste" Mathematik da wieder "herauszupressen", weil dann Phänomene wie der "Pohl'sche Additionssatz" und der "Pohlsche Mittelwertsatz" auftreten, die zu Widersprüchen führen.

Der Versuch, einige solcher "undefinierten" Elemente über linear unabhängige Komponenten behandeln zu wollen ist meiner Einschätzung nach durchaus seriös; zwar habe ich hier die beste Lösung noch nicht gefunden - mir hat da etwas im Stile IR ⊕ P3 vorgeschwebt, was aber zu Widersprüchen führt, aber zumindest IR ⊕ P1 ⊕ P1 ⊕ P1 dürfte klappen und idealerweise klappt auch IR ⊕ P2 ⊕ P2; mein Ziel ist, letzteres zu beweisen.

Das würde dann konkret auf IR ⊕ {naN, +oo} ⊕ {naN, -oo} hinauslaufen, aber wie gesagt, ich habe das noch nicht fertig durchüberlegt.

Wenn das klappt, könnte man auch die "i"'s dazukriegen, das wäre dann IR ⊕ IR ⊕ P2 ⊕ P2 mit dem zweiten "IR" als Menge der imaginären Zahlen, aber wie gesagt - so weit bin ich noch nicht.

Was ich aber schon sagen kann: IR ⊕ P3 klappt nicht, weil die P3 eindeutig ist und ihre 3 Elemente die Eigenschaften haben, das beim mit sich selber addieren eines auf sich selber abgebildet wird und die anderen beiden wechselseitig aufeinander, während "naN + naN = naN", "+oo + (+oo)= +oo" und "-oo + (-oo)= -oo", d.h. alle drei Elemente werden beim mit sich selber addieren auf sich selber abgebildet, so dass hier also eine andere Struktur als die P3 vorliegt.

Ausserdem müssen wir ja auch noch multiplizieren, aber da die P2 = F2 ist und die F2 ein Körper ist, kann das grundsätzlich klappen, aber wie gesagt: ich habe mir das noch nicht näher angeschaut. Da naN + (+oo) = naN gilt und analog dazu naN + (-oo) = naN müssten dann aber wenn ich mich nicht irre naN * (+oo) = +oo und naN * (-oo) = -oo und ich bin mir nicht sicher, ob dem wirklich so ist. Wenn das falsch ist klappt der P2-Ansatz auch nicht.

[ralfkannenberg]

Hallo Sciencewoken,

ich komme immer mehr zur Erkenntnis, dass wir über ähnliche Dinge, aber - noch - nicht über dasselbe sprechen, deswegen kommt es ja auch immer wieder zu diesen Missverständnissen.

Diese Idee mit den zusätzlichen imaginären Komponenten halte ich für eine sehr gute Idee und ich vermute (leider ohne es wirklich zu wissen), dass es das war, was Kahan, Coonen und Stone entwickelt haben. Letztlich läuft das auf eine Art Vektorraum, das kann ich zum jetzigen Zeitpunkt noch nicht beurteilen. An sich ähnelt dieser Ansatz dem Ansatz der IQ(√2) bzw. IQ(√n mit √n nicht in IQ, n² in IQ)), bei dem √2 bzw. im allgemeinen Fall √n die Rolle eines imaginären Elementes einnimmt, was übrigens im Fall n=-1 tatsächlich der imaginären Einheit i entspricht. In diesen Fällen liegt ein Vektorraum vor, weil der zugrundeliegende Zahlenbereich ein Körper ist.

Wie in meinem vorherigen Beitrag gesehen kriege ich das aber bei den Komponenten +oo, -oo und naN so ohne weiteres nicht hin, möglicherweise habe ich aber auch nur "+/-oo" und naN falsch multipliziert.

Beim Ansatz über IR ⊕ P1 ⊕ P1 ⊕ P1 würde das zwar gehen, ist aber "unmathematisch", weil eine Struktur, die nur ein Element enthält und in der entsprechend nur x+x = x*x = x gelten kann, kein Körper ist, da ein Körper per definitionem mindestens zwei Elemente enthalten muss. Nicht dass das schlimm wäre, es ist einfach "nicht schön" und läuft auf die Fragestellung hinaus, ob die triviale Gruppe wenigstens auch eine Art Körper ist, da x+x = x*x = x nicht zu Widersprüchen führt. Hintergrund ist der, dass das Neutralelement für die Addition und das Neutralelement für die Multiplikation verschieden sein müssen, was man für Mengen mit mindestens 2 Elementen auch einfach zeigen kann, aber eben: die triviale Gruppe mit nur 1 Element nimmt da eine Sonderstellung ein.

Der Beweis ist übrigens einfach: für das Neutralelement e der Multiplikation gilt e*x=x, aber wenn dieses Neutralelement mit dem Neutralelement n der Addtion zusammenfällt - für dieses gilt ja n+x=x, dann hat man:

n*x=(x-x)*x=x*x-x*x=n, d.h. n*x=n, im Widerspruch zu n*x=e*x=x.

Das Problem aber besteht dort, wo man die Zahlen in die IEEE 754 hineinpresst - das geht noch, d.h. das kann man korrekt handhaben, aber dann wieder auf den unendlichen Zahlenbereich auszudehnen versucht - das führt dann zwangsläufig zu Widersprüchen wie diesem "Additionssatz" und als Folge davon diesem "Mittelwertsatz".