Wurzel(z)

[richy]

Hi
Mit dem Buschstaben "z" ist nicht Zarathustra gemeint sonder eine komlexwertige Zahl. z element C. Herr Z hatte jedoch einen Mathematik Thread angeregt, da das Thema der komplexwertigen Zahlen gerade auch bei quanten.de aktuell ist. Dabei ergab sich dort gerade eine Betrachtung der holomorphen Funktion s^2=z

Selbst im reellen Fall scheint fuer mache ein Sachverhalte der Wurzelfunktion unklar. (siehe WIKI Diskussion Quadratwurzel) Wobei im Fundamentalsatz der Algebra eindeutig festgelegt ist :
Ein Polynom n-ter Ordnung hat genau n Nullstellen

Damit existiert fuer
x^2=x0 zwei Losungen und fuer
x2=Wurzel(x0) eine Loesung

Aus diesem Hauptsatz folgt, dass fuer den Hauptwert einer Wurzel ein eindeutiger Wert festgelegt werden muss. Im Reellen ist dies gegeben.

Mit dem Symbol Wurzel() ist stets der positive Hauptwert gemeint.
Es gibt die Konention, dass der positive Wert der Hauptwert ist.

Im Komplexen ergeben sich nun leider einige Konventionsprobleme.
Zunaechst hat das Wurzelzeichen dort eine andere Bedeutung.

Wurzel() steht im Reellen fuer den Hauptwert
Wurzel() steht im Komplexen fuer alle Loesungen
+- Wurzel() steht im Reellen fuer beide Loesungen
(H) Wurzel() steht im Komplexen fuer den Hauptwert

Die Mehrdeutigkeit der Wurzelfunktion ergibt sich im komplexen ueber die Argumentfunktion phi=arg(z). Man kann hierzu auch eine komplexe Signumfunktion csgn vereinbaren. Mit Wurzel( z^2)) =csgn(z)*z
Die Zusammenhaenge hab ich hier schon dargestellt :
http://www.quanten.de/forum/showthread. ... 26&page=10

Nun zeigt sich, dass im deutschen Wiki Eintrag eine andere Definition des Hauptwertes und damit fuer arg(z) und csgn() vorgegeben ist als in der restlichen Welt. Und das waers im Moment auch schon

Gruesse

[Trigemina]

Hi richy

Bis anhin bin ich davon ausgegangen, dass der Hauptwert der Wurzel n aus einer komplexen Zahl z

z^(1/n) = |r|^(1/n)*exp((i*phi+k*2*Pi)/n)

mit k={0,1,2...n}

derjenige ist, der mit k=0 gebildet wird und somit den kleinsten Winkel i*phi aller Lösungen bildet, also:

z^(1/n) = |r|^(1/n)*exp(i*phi/n)


Gruss

[richy]

Hi Trigemina

Mit dem Buschstaben "z" ist nicht Zarathustra gemeint sonder eine komlexwertige Zahl. z element C. Herr Z hatte jedoch einen Mathematik Thread angeregt, da das Thema der komplexwertigen Zahlen gerade auch bei quanten.de aktuell ist. Dabei ergab sich dort gerade eine Betrachtung der holomorphen Funktion s^2=z


z^(1/n) = |r|^(1/n)*exp((i*phi+k*2*Pi)/n)

Was stellt hier phi dar ? Einen Winkel ? Was r darstellen soll kann man noch erraten. Den Betrag von z. Warum schreibst du das Betragszeichen dann nochmals an ?
Ok ich weiss natuerlich was du mit dieser Schreibweise ausdruecken moechtest. Man kann gewisse Konventionen auch erraten. Deine Schreibweise enthaelt dennoch eine Fehlerquelle. Naehmlich in der Form, dass du unter phi scheinbar einen spezielle Winkel verstehst . Den Winkel phi =0..2*Pi. Und damit einen persoenlichen Hauptwert (H) z^(1/n) angibst. Die korrekte allgemeine Schreibweise ware :
(H) z^(1/n) =|z|^(1/n)*exp((i*arg(z)i+k*2*Pi)/n), k=0
Und arg(z) ist nicht eindeutig festgelegt. Weil hier in der Mathematik eine Definitionsluecke vorliegt. Das hat sich allerdings noch nicht bis WIKI herumgesprochen.
Es gibt im Komplexen zwei sinnvolle Definitionen der arg(z) Funktion. In der Form, dass diese fuer die Quadratwurzel kompatibel mit den reellen Definitionen sind. Die eine reicht von 0..2Pi und die andere von -Pi bis Pi
Bis heute scheint es keine Entscheidung zu geben welche arg Funktion einen eindeutigen Hauptwert darstellt. Dafuer jede Menge Wikipedia Muell, der ueber die signum Funktion , voellig ungeeignet einen Hauptwert versucht zu definieren.
Voellig unnoetig weil die Konvention schon lange feststeht. arg(z)=[-Pi..Pi]

Viele Gruesse

[Uli]

Hi richy

Bis anhin bin ich davon ausgegangen, dass der Hauptwert der Wurzel n aus einer komplexen Zahl z

z^(1/n) = |r|^(1/n)*exp((i*phi+k*2*Pi)/n)

mit k={0,1,2...n}

derjenige ist, der mit k=0 gebildet wird und somit den kleinsten Winkel i*phi aller Lösungen bildet, also:

z^(1/n) = |r|^(1/n)*exp(i*phi/n)


Gruss

Genauso habe ich es auch in Erinnerung und so findet man es auch in den meisten (deutschsprachigen?) Texten.
Die Verwirrung entspringt wohl unterschiedlichen Konventionen für den Wertebereich des Polarwinkels phi. Mit
(0 ... 2*pi) landet man bei "unserer" Konvention (Winkel zum HW immer positiv und kleiner pi, obere Halbebene).
Mit der anderen Konvention (-pi ... +pi) (Bronstein etc.) landet man mit dem HW immer in der "rechten Halbene":
keine Katastrophe, aber unschön. Bei den Standardpolarkoordinaten hat man immer (-pi ... +pi), iirc, was eher für
die "Bronstein-Variante" spräche.

Gruß,
Uli

[richy]

Hi Uli
EIn bischen genauer sollte man schon sein. r=|z|, phi=arg(z).
Das Betragszeichen muss man nicht doppelt schreiben. Wenn man den Hauptwert meint sollte man dies im Grunde auch kennzeichnen. Ich wuerde stets arg(z) schreiben. Denn dann wird man auch stets daran erinnert, dass diese Funktion nicht einfach den arctan(Re/Im) darstellt. Man muss den Quadranten beachten.
phi=arg(z) muessen wir ja irgendwie bestimmen.

Die Verwirrung entspringt wohl unterschiedlichen Konventionen für den Wertebereich des Polarwinkels phi. Mit (0 ... 2*pi) landet man bei "unserer" Konvention (Winkel zum HW immer positiv und kleiner pi, obere Halbebene).
Mit der anderen Konvention (-pi ... +pi) (Bronstein etc.) landet man mit dem HW immer in der "rechten Halbene":

Genau. Das ist der Punkt. Und der alte Bronstein gibt dazu nur an, dass man meist (-pi ... +pi) verwendet. Was im Bronstein mit "um einen Hauptwert hearausgreifen zu koennen" gemeint ist, weiss ich im Moment nicht. Das "Problem" liegt in der Praxis somit darin aus vorgegebenem z ein phi=arg(z) zu bestimmen. Benuzt man den arctan() ohne Quadrantenunterscheidung liegt man mit Sicherheit falsch. Diese kann man von Hand vornehmen. Aber schon frueher hatte man eine Polarkoordinatenfunktion auf dem Taschenrechner die man als arg(z) Funktion verwendet hat.

Bei den Standardpolarkoordinaten hat man immer (-pi ... +pi),

Und das ist letzendlich eine moegliche Erklaerung warum die Ingenieure gerne dieses Intervall verwenden. Weil man schon in Taschenrechnerzeiten damit die arg Funktion berechnet hat.

keine Katastrophe, aber unschön.

Wobei ich mir nicht sicher bin ob es bei einer n-ten Wurzel , n>2 noch andere Gruende gibt dem Intervall (-pi ... +pi) den Vorzug zu geben.
Und es waere in einigen Faellen mehr als unschoen, wenn zwei Ingenieure zwei verschiedene Hauptwerte verwenden. Letztendlich ist bei Wurzel(1) der Hauptwert doch auch festgelegt.
Der Zustand ist so schon etwas unbefriedigend. Und nun fuehren die internationalen WIki Seiten eine fuer meine Begriffe voellig unsinnige kartesische Schreibweise ein. Teilweise fehlerbehaftet. Und die deutsche Seite impliziert arg(z)=[0,,2*Pi], England, Frankreich verwendet [-Pi..Pi] Italien, Holland betrachtet den Hauptwert als zweideutig. Im Grunde ist es mir egal. Aber man sollte wissen, dass man diese bei Wiki angegebenen Gleichungen besser nicht verwendet. Insbesonders weil man nicht sofort sieht welche Winkelkonvention impliziert ist. Es ist einfach eine voellig unnoetige Fehlerquelle.

Gruesse
richy

[elfenpfad]

Hi
Mit dem Buschstaben "z" ist nicht Zarathustra gemeint sonder eine komlexwertige Zahl. z element C. Herr Z hatte jedoch einen Mathematik Thread angeregt, da das Thema der komplexwertigen Zahlen gerade auch bei quanten.de aktuell ist. Dabei ergab sich dort gerade eine Betrachtung der holomorphen Funktion s^2=z


Gruesse

hi Richy

Schade, hast Du den Thread erst eröffnet, nachem Zarathustra ja nun gesperrt ist, und danach ja nur noch in seinem Bereich schreiben kann.

[Artie]

Nana Elfchen, Z. darf hier lesen und kann, wenn er will, ja im eigen Bereich was dazu sagen. So wie er sich hier im Forum über quanten de threads geäußert hat.
Sollte etwas Sinnvolles dabei sein ,werden Leute die Diskussion mit ihm auch so aufnehmen.

[richy]

Hi Elfenpfad

Das Thema Wurzel(Z) ist im Moment fuer Zarathustra sicherlich nicht so interessant. Es ging ja lediglich um gewisse Konventionen bezueglich der Mehrdeutigkeit.

Im Quantenforum hatte ich diese Mehrdeutigkeit der komplexen Wurzelfunktion jedoch schon fuer eine doch recht interessante Anwendung verwendet. So hat die Funktion x^2=1 bekannlicherweise die Loesungen x1=1 und x2=-1. Nichts besonderes wird man sich denken. Aber man kann dies auch so interpretieren, dass jede der beiden Loesungen einer Entscheidung entspricht. Nun kann man auch fuer x^4=1 die Loesungen 1, -1, i , -i als Entscheidungen auffassen. Und man sieht nun auch schon, dass jede dieser durch eine Zahl gekennzeichneten Entscheidungen auf den komplexen Einheitskreis abgebildet werden. D.h. wir koennen den komplexen Einheitskreis auf diese Weise als einen Entscheidungsbaum verwenden. Und das besondere daran ist : Es passen unendlich viele Entscheidungen auf diesen dennoch raeumlich begrenzten Entscheidungsbaum.
In der Praxis kann man so vorgehen, dass man z.B. ausgehend vom Anfangswert "eins" iterativ die Wurzel zieht. Also z(k+1)=Wurzel(z(k), z(0)=1
Was bring das ? Zunaechst Nichts Nun gibt es aber ein sehr eigentuemliches Phaenomen, dass ich mir bis heute nicht so richtig erklaeren kann. Ich bin ueber eine spezielle Juliamenge darauf gestossen.

Wenn man in der Iteration z(k+1)=Wurzel(z(k), z(0)=1 jeweils beide Loesungen darstellt, so fuellt man den Einheitskreis gleichfoermig auf. Es ist nichts weiter als die 2^k-te Wurzel. Aber wenn man in jedem Schritt nur eine Loesung verwendet, so fuellt sich der Einheitskreis nicht ganz. Dies haengt davon ab in welcher Weise man sich fuer eine der beiden Loesungen entscheidet. Das hat mit der Periodizitaet zu tun mit der die Loesungen ausgewaehlt werden. Und daher gibt es einen erstaunlichen Fall , in dem sich der Einheitskreis ebenso ganz fuellen laesst, wie wenn man alle Loesungen darstellt.
Dann wenn man bei jedem Iterationsschritt eine der beiden moeglichen Loesungen objektiv zufaellig waehlt ! entspricht dies dem "Bild" , dass man immer alle Loesungen waehlt.
Hier habe ich die Vorgehensweise naeher beschrieben :

Herleitung :
http://home.arcor.de/richardon/richy200 ... /phaso.htm
Anwendung :
http://home.arcor.de/richardon/richy200 ... phaso2.htm

Man kann bei jedem Iterationsschreit den Radius vergroessern und erhalt dann eine Kreisscheibe. Ist die Kreisscheibe homogen "gefuellt", so hat man die Auswahl rein zufaellig getroffen. Man kann statt der binaeren Entscheidung mittels x^10=1 auch in jedem Iterationsschreitt aus 10 Loesungen waehlen und somit Zifferfolgen beurteilen (Fuer Buchstaben habe ich das auch implementiert) Damit hat man ein einfaches Verfahren um die Zufaelligkeit von Ziffernfolgen (oder Buchstabenfolgen) zu beurteilen.

Beispiel :
Ergibt die Anordnung der Ziffern der natuerlichen Zahlen eine Zufallsfolge ? Nein, denn in ihnen ist eine gewisse Periodizitaet, Rhytmik enthalten :



Ergibt die Anordnung der Ziffern der Primzahlen eine Zufallsfolge ? Nein, denn in auch in ihnen ist noch eine gewisse Periodizitaet des Dezimalsystems enthalten, ueberlagert von einem Zufallsprozess :


Die 4 Sektoren zeigen, dass die Ziffern "1,3,7,9" in den Primzahlen am haeufigsten vorkommen. Dies laesst sich auch etwas eingeschraenkt ueber mathematische Ueberlegungen herleiten. Wenn man auf gut Glueck eine Primzahl sucht, so verwenet man am besten diese Ziffern. Und voila:
37313917 ist eine Primzahl

Als Beispiel einer zufaelligen Ziffernfolge die Ziffernfolge von Pi :



Eine interessante Frage ist :
Koennte ein Mensch solche Zufallsziffern am PC tippen ? Die erstaunliche Antwort scheint tatsaechlich zu sein, dass ihm dies sehr schwer faellt So sehr man sich auch bemueht, wird man sehr schnell in eine Periodizitaet fallen. Menschliche Zufallszahlen sind sehr viel schlechter, weniger zufaellig als jene von einem PC Programm.



Hier noch eine binaere menschliche Zufallsfolge :


Auch hier :
Die Flaeche ist nicht homogen ausgefuellt. Die Streifen stellen Periodizitaeten dar. Ein Digitalrechner wuerde eine homogene Ausfuellung erzeugen.


Und damit habe ich das Infinite-Monkey-Theorem widerlegt !!!
(Ueber die Wurzel(z))



http://de.wikipedia.org/wiki/Infinite-Monkey-Theorem
Es scheitert daran, dass kein Affe objektive Zufallszahlen tippen kann.
Dagegen enthaelt die Zifferfolge von Pi alle Buecher die je geschrieben wurden und je geschrieben werden.

Gruesse

[richy]

Diesen sehr einfachen Zufallsdetektor habe ich vor etwa einem Jahr zusammengebastelt. Man kann hier natuerlich auch weitaus aufwendigere Spektralschaetzungsverfahren verwenden. Neben der Einfachheit ist das Schoene, dass man mit obiger Darstellung einen etwas anderen Einblick gegenueber dem ueber den Frequenzbereich erhaelt. Ueber den Sektor kann man z.B. sofort das Auftrittsmerkmal identifizieren, anders als bei der Autokorrelation. Wobei die Interpretation der Diagramme nicht so ganz einfach ist.



Die Spiralform entsteht durch das Dezimalsystem. Die dichten Sektoren der Ziffer 1,3,7,9 zeigen, dass diese besonders haeufig in Primzahlen vorkommen. Die homogene Belegung dass diese im Gegensatz zu 0,2,4,5,6,8 zufaellig auftreten.

Ausser den Primzahlen 2 und 5 gibt es keine Primzahl, die lediglich aus den Nichtprimziffern (0,2,4,5,6,8) besteht.

"Beweis" :
Waere die letzte Ziffer 0,2,4,6,8, so waere die Zahl gerade
Waere die letzte Ziffer die 5, so waere die Zahl durch 5 teilbar.

Aus diesem Prinzip folgt die Haeufigkeitsklasse der "Primziffern" (1,3,7,9)

Fuer die Primzahlen bis 10 000 lauten die Ziffern Haeufigkeiten z.B.

1 681
3 677
7 652
9 646

2 391
6 369
4 360
5 360
8 351

0 232


Interessant waere es darzustellen was passiert wenn man die letzte Ziffer abschneidet oder ein anderes Zahlensystem (binaer oktal hexadezimal verwendet.

Gruesse

[richy]

Die letzte Ziffer einer Primzahl laesst sich leicht entfernen. p=Integer(p/10)



Aha, die verbleibenden Ziffern sind nun relativ geordnet gleichverteilt. Anhand dieser laesst sich somit nicht wie bei der letzten Ziffer eine Wahrscheinlichkeit angeben dafuer, dass eine Primzahl vorliegt.
Wobei die Quersumme schon eine Rolle spielt. Denn eine Zahl ist durch 3 teilbar, wenn ihre Quersumme durch 3 teilbar ist. Aber das laesst sich mit der Methode nicht erkennen.