Hi Ralph
Die Spiralform ergibt sich fuer geordnete Ziffernfolgen wie 012345678191011213.... aus der der Darstellungsform. Jede Ziffer entspricht einem Kreissektor. Das sieht man bei den Prizahlziffern 1,3,7,9 recht schoen :
Wie erwaehnt vergroessere ich in der Darstellung mit jedem Zeitschritt den Radius und daraus laesst sich bei geordneten Ziffernfolgen in etwa die Spiralform erklaeren. Es ist schon etwas komplizierter, da es sich um einen komplexwertigen Entscheidungsbaum handelt und dieser hat andere Eigenschaften als z.B. ein normaler Binaerbaum. Warum eine zufaellige Ziffernfolge die beste Flaechenfuellung ergibt kann ich auch nicht vollstaendig erklaeren. Man sieht aber, dass z.B in den Primzahlen die Ziffern 1,3,7,9 einen zufaelligen Charakter erzeugen. Die Primzahlziffern waren in dem Versuch nach ihrer Reihenfolge geordnet also wie folgt 235711131719232931374143... (Nur die Ziffern werden bewertet)
Rein intuitiv wird man sich sagen, dass die letzten Ziffern 1,3,7,9 eine entscheidende Rolle fuer die Teilbarkeit spielen. Also habe ich in einem weiteren Versuch die letzten Ziffern der Primzahlen entfernt. Dann ergibt sich dieses Bild :
Die Spiralform ist hier insofern interessant, da sie aussagt, dass die verbleibende Ziffernfolge doch sehr geordnet und kaum zufaellig ist. Das Bild aehnelt der Spirale der Ziffernfolge der natuerlichen Zahlen. D.h. es wird auch kaum eine Gesetzmaessigkeit geben, in der die vorletzte Ziffer einer Zahl eine Rolle spielt, dass man entscheiden koennte ob es sich um eine Primzahl handelt.
Auch in der ersten Abbildung kann man noch die Ordnung der Ziffernfolgen erkennen. Das bedeutet dass die Primzahlen nicht durch eine einfache nichtlineare Abbildung aus den natuerlichen Zahlen hervorgehen. Schon eine einfache nichtlineare Abbildung wie m(n)=n^2 verwuerfelt die Ziffernordnung.
Wobei dies im Grunde zunaechst widerspruechlich erscheint, denn es ist ja eine nichtlineare Abbildung bekannt, mit der sich alle Primzahlen erzeugen lassen.
Der Primzahlsatz von Wilson :
http://www.quanten.de/forum/showthread.php5?t=1963Satz A) Ist p eine Primzahl, dann ist [1+(p-1)!] / p eine ganze Zahl.
Satz B) Wenn (p-1)!+1 / p ohne Rest teilbar ist, dann ist p eine Primzahl
Man kann somit in zwei Programmzeilen alle Primzahlen erzeugen :
> for p from 1 to 1000 do
> if frac(((1+(p-1)!)/p))=0 then printf(`%g `,p);fi;od
(Die Fakultaet ist dabei natuerlich problematisch.)
Betrachtet man hier die Vorgehensweise genauer, so sieht man dass es sich um eine Ausstortierung und nicht um eine Abbildung handelt. Von daher als doch nicht widerspruechlich.
Viele Gruesse
richy